Bài học

Ôn tập kiến thức trọng tâm biến đổi căn thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra đúng kỹ thuật cần dùng cho từng số hạng trong một biểu thức chứa nhiều căn thức khác dạng — đưa ra ngoài, đưa vào trong, khử mẫu, hay trục căn thức — rồi phối hợp chúng để rút gọn một biểu thức tổng hợp, kể cả khi biểu thức đó đến từ một tình huống thực tế.

Kiến thức nền cần nhớ

Bốn công cụ đã học đều biến đổi một căn thức về dạng gọn hơn, nhưng mỗi công cụ giải quyết một dạng "vướng" khác nhau: thừa số chính phương lẫn trong căn (đưa ra ngoài), hệ số đứng riêng cần gộp lại để so sánh (đưa vào trong), phân số nằm trọn dưới một dấu căn (khử mẫu), và dấu căn đứng ngay ở mẫu số của cả phân thức (trục căn thức). Một biểu thức thực tế hiếm khi chỉ dùng đúng một công cụ — nhận diện đúng dạng của từng số hạng trước khi động bút là kỹ năng quan trọng nhất của bài ôn tập này. Bảng dưới đây tóm tắt lại: căn thức có thừa số chính phương lẫn bên trong dùng đưa ra ngoài; một hệ số đứng riêng trước một căn thức khác dạng cần so sánh dùng đưa vào trong; một phân số nằm trọn dưới MỘT dấu căn dùng khử mẫu; và một dấu căn đứng ngay ở mẫu số của cả phân thức (không nằm chung dưới một dấu căn với tử) dùng trục căn thức.

Khởi động

Rút gọn $\dfrac{4}{\sqrt2}-\sqrt8$ : trông như hai số hạng độc lập, một số hạng cần trục căn thức, số hạng kia cần đưa thừa số ra ngoài. Sau khi rút gọn từng số hạng theo đúng công cụ của nó, kết quả cuối cùng có còn là một biểu thức phức tạp, hay bất ngờ trở nên rất gọn?

Rút gọn $\dfrac{4}{\sqrt2}-\sqrt8$: trông như hai số hạng độc lập, một số hạng cần trục căn thức, số hạng kia cần đưa thừa số ra ngoài. Sau khi rút gọn từng số hạng theo đúng công cụ của nó, kết quả cuối cùng có còn là một biểu thức phức tạp, hay bất ngờ trở nên rất gọn?

Kiến thức trọng tâm

Khi gặp một biểu thức tổng hợp nhiều căn thức khác dạng, việc đầu tiên KHÔNG PHẢI là cộng trừ ngay — mà là đưa TỪNG số hạng về dạng đơn giản nhất của riêng nó trước, dùng đúng công cụ phù hợp với dạng của số hạng đó. Chỉ sau khi mọi số hạng đã ở dạng gọn (không còn thừa số chính phương lẫn trong căn, không còn phân số dưới căn, không còn căn thức ở mẫu), việc cộng trừ chúng mới trở nên rõ ràng: các số hạng có cùng một căn thức sau khi rút gọn mới thật sự cộng trừ được với nhau.

Khi biểu thức chứa ẩn, còn thêm một lớp nữa: dấu của ẩn quyết định cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi dùng công thức $\sqrt{a^2}=|a|$ , nên bước đầu tiên với biểu thức chứa ẩn luôn là xác định ĐKXĐ và, nếu đề đã cho dấu của ẩn, ghi nhớ điều đó trước khi rút gọn — dấu này sẽ được dùng ngay khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, không phải chỉ để trang trí đầu bài.

Khi biểu thức chứa ẩn, còn thêm một lớp nữa: dấu của ẩn quyết định cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi dùng công thức $\sqrt{a^2}=|a|$, nên bước đầu tiên với biểu thức chứa ẩn luôn là xác định ĐKXĐ và, nếu đề đã cho dấu của ẩn, ghi nhớ điều đó trước khi rút gọn — dấu này sẽ được dùng ngay khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, không phải chỉ để trang trí đầu bài.

Với bài toán thực tế, còn một bước nữa đứng TRƯỚC cả bốn công cụ: dịch tình huống (diện tích, chu vi, quãng đường…) thành đúng biểu thức chứa căn cần rút gọn. Bỏ qua bước dịch này mà cố áp dụng công thức lên những con số rời rạc là nguyên nhân phổ biến nhất khiến lời giải bài toán thực tế bị lạc đề.

Một cách kiểm tra nhanh trước khi nộp bài: nhìn lại kết quả cuối cùng và tự hỏi ba điều — còn thừa số chính phương nào chưa được đưa ra ngoài không, còn phân số nào dưới dấu căn không, và còn dấu căn nào ở mẫu số không. Trả lời "không" cho cả ba câu là dấu hiệu bài rút gọn đã hoàn chỉnh; hễ còn một câu trả lời "có", chắc chắn còn ít nhất một công cụ trong bốn công cụ đã học chưa được áp dụng.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Phối hợp đưa ra ngoài với khử mẫu

1
Rút gọn $F=\sqrt{48}-\sqrt{\dfrac13}+\sqrt{27}$ .
Rút gọn $F=\sqrt{48}-\sqrt{\dfrac13}+\sqrt{27}$.
2
$\sqrt{48}=4\sqrt3$ (đưa ra ngoài); $\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ (khử mẫu); $\sqrt{27}=3\sqrt3$ (đưa ra ngoài).
$\sqrt{48}=4\sqrt3$ (đưa ra ngoài); $\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ (khử mẫu); $\sqrt{27}=3\sqrt3$ (đưa ra ngoài).
3
$F=4\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}+3\sqrt3=7\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{21\sqrt3}{3}-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{20\sqrt3}{3}$ .
$F=4\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}+3\sqrt3=7\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{21\sqrt3}{3}-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{20\sqrt3}{3}$.
4
Vậy $F=\dfrac{20\sqrt3}{3}$ .
Vậy $F=\dfrac{20\sqrt3}{3}$.

Ví dụ

Phối hợp trục căn thức với đưa ra ngoài

1
Rút gọn $G=\dfrac{3}{\sqrt2}-2\sqrt2$ .
Rút gọn $G=\dfrac{3}{\sqrt2}-2\sqrt2$.
2
$\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$ .
$\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$.
3
$G=\dfrac{3\sqrt2}{2}-2\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{2}-\dfrac{4\sqrt2}{2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
$G=\dfrac{3\sqrt2}{2}-2\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{2}-\dfrac{4\sqrt2}{2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.
4
Vậy $G=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
Vậy $G=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Ví dụ

Phối hợp bỏ dấu giá trị tuyệt đối với khử mẫu (biểu thức chứa ẩn)

1
Rút gọn $H=\sqrt{x^2}-\sqrt{\dfrac4x}$ với $x>0$ .
Rút gọn $H=\sqrt{x^2}-\sqrt{\dfrac4x}$ với $x>0$.
2
$\sqrt{x^2}=|x|=x$ (vì $x>0$ ).
$\sqrt{x^2}=|x|=x$ (vì $x>0$).
3
$\sqrt{\dfrac4x}=\sqrt{\dfrac{4x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{4x}}{x}=\dfrac{2\sqrt x}{x}$ (vì $x>0$ ).
$\sqrt{\dfrac4x}=\sqrt{\dfrac{4x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{4x}}{x}=\dfrac{2\sqrt x}{x}$ (vì $x>0$).
4
$H=x-\dfrac{2\sqrt x}{x}=\dfrac{x^2-2\sqrt x}{x}$ .
$H=x-\dfrac{2\sqrt x}{x}=\dfrac{x^2-2\sqrt x}{x}$.
5
Vậy với $x>0$ , ta có $H=\dfrac{x^2-2\sqrt x}{x}$ .
Vậy với $x>0$, ta có $H=\dfrac{x^2-2\sqrt x}{x}$.

Ví dụ

Áp dụng vào bài toán thực tế: diện tích và chu vi hình chữ nhật

1
Một hình chữ nhật có chiều dài $\dfrac{2}{\sqrt3}$ m và chiều rộng $\sqrt3$ m. Tính diện tích và chu vi hình chữ nhật (kết quả không còn căn thức ở mẫu).
Một hình chữ nhật có chiều dài $\dfrac{2}{\sqrt3}$ m và chiều rộng $\sqrt3$ m. Tính diện tích và chu vi hình chữ nhật (kết quả không còn căn thức ở mẫu).
2
$\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ m.
$\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ m.
3
Diện tích $=\dfrac{2\sqrt3}{3}\times\sqrt3=\dfrac{2\times3}{3}=2$ m².
Diện tích $=\dfrac{2\sqrt3}{3}\times\sqrt3=\dfrac{2\times3}{3}=2$ m².
4
Chu vi $=2\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}+\sqrt3\right)=2\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}+\dfrac{3\sqrt3}{3}\right)=2\times\dfrac{5\sqrt3}{3}=\dfrac{10\sqrt3}{3}$ m.
Chu vi $=2\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}+\sqrt3\right)=2\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}+\dfrac{3\sqrt3}{3}\right)=2\times\dfrac{5\sqrt3}{3}=\dfrac{10\sqrt3}{3}$ m.
5
Vậy diện tích hình chữ nhật là 2 m², chu vi là $\dfrac{10\sqrt3}{3}$ m.
Vậy diện tích hình chữ nhật là 2 m², chu vi là $\dfrac{10\sqrt3}{3}$ m.

Ví dụ

Phối hợp ba công cụ trong cùng một biểu thức

1
Rút gọn $K=\sqrt{12}-\dfrac{3}{\sqrt3}+\sqrt{\dfrac13}$ .
Rút gọn $K=\sqrt{12}-\dfrac{3}{\sqrt3}+\sqrt{\dfrac13}$.
2
$\sqrt{12}=2\sqrt3$ (đưa ra ngoài); $\dfrac{3}{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$ (trục căn thức); $\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ (khử mẫu).
$\sqrt{12}=2\sqrt3$ (đưa ra ngoài); $\dfrac{3}{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$ (trục căn thức); $\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ (khử mẫu).
3
$K=2\sqrt3-\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{3}=\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}+\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{4\sqrt3}{3}$ .
$K=2\sqrt3-\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{3}=\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}+\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.
4
Vậy $K=\dfrac{4\sqrt3}{3}$ .
Vậy $K=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Năm ví dụ trên hệ thống lại đúng bốn công cụ đã học — ba ví dụ đầu phối hợp hai công cụ, ví dụ thứ tư gắn cả bốn vào một tình huống đo đạc thực tế, và ví dụ cuối nén BA công cụ vào cùng một biểu thức số — đúng tinh thần của một bài ôn tập: không học thêm gì mới, chỉ luyện lại việc CHỌN đúng công cụ cho từng số hạng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bốn công cụ — đưa ra ngoài, đưa vào trong, khử mẫu, trục căn thức — giải quyết bốn dạng "vướng" khác nhau; chọn đúng công cụ cho từng số hạng trước khi cộng trừ. Với bài toán thực tế, luôn dịch tình huống thành biểu thức chứa căn trước, rồi mới áp dụng các công cụ.

Bài cuối khoá không thêm kỹ thuật mới, mà ghép mọi thứ đã học vào đúng cấu trúc một câu 1 hoàn chỉnh của đề tuyển sinh vào lớp 10: rút gọn một biểu thức chứa ẩn, rồi dùng chính kết quả đó trả lời câu hỏi phụ.