Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Góc ở tâm và góc nội tiếp
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em tính được số đo cung dựa trên góc ở tâm chắn cung đó, tính được góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung, và nhận ra ngay góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn bằng 90°.
Kiến thức nền cần nhớ
Em cần nhớ khái niệm cung tròn (phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm) và số đo cung được quy ước bằng đúng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Ba chương trước xoay quanh ĐỘ DÀI — dây, khoảng cách đến tâm, đoạn tiếp tuyến. Từ bài này, trọng tâm chuyển sang GÓC, và mọi phát biểu về góc trong đường tròn đều quy về việc so sánh góc đó với số đo cung mà nó chắn.
Khởi động
Đặt một chiếc kim đồng hồ tưởng tượng tại tâm O của một đường tròn, quay từ vị trí A đến vị trí B, quét một góc AOB. Bây giờ đứng tại một điểm C khác trên chính đường tròn đó (không nằm giữa A và B) và nhìn về A, B — góc ACB mà em nhìn thấy có bằng góc AOB ở tâm hay không? Trực giác có thể nói "gần bằng", nhưng toán học khẳng định một tỉ lệ chính xác giữa hai góc này.
Kiến thức trọng tâm
**Góc ở tâm** là góc có đỉnh trùng với tâm O của đường tròn; số đo cung bị chắn (cung nằm bên trong góc) được QUY ƯỚC bằng đúng số đo của góc ở tâm đó. Ví dụ góc ở tâm AOB bằng 70° thì cung nhỏ AB cũng được nói là có số đo 70°. Với cả đường tròn, tổng số đo các cung phải bằng $360°$, đúng bằng góc ở tâm đầy đủ một vòng.
**Góc nội tiếp** là góc có đỉnh nằm TRÊN đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung. Định lí trung tâm của bài: **số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn** — và vì số đo cung bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó, điều này cũng có nghĩa góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung. Một hệ quả rất hay dùng: **các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau** — vì tất cả chúng đều bằng đúng một nửa của cùng một số đo cung, bất kể đỉnh góc nội tiếp nằm ở vị trí nào trên cung còn lại.
Hệ quả quan trọng nhất để tính toán nhanh: khi dây căng cung là một **đường kính**, cung bị chắn có số đo 180° (nửa đường tròn), nên góc nội tiếp chắn cung đó luôn bằng $180°:2=90°$. Nói gọn: **góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông**. Tính chất này cực kỳ hữu ích — nó cho phép "tạo ra" một góc vuông chỉ bằng cách vẽ một đường kính, không cần đo đạc gì thêm, và thường là bước đầu tiên để giải một bài toán tổng hợp có tam giác vuông ẩn bên trong đường tròn.
Lời giải có hình
Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung
Bước 1
Cho đường tròn (O), lấy ba điểm A, B, C phân biệt trên đường tròn.
Lời giải có hình
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Bước 1
Cho đường tròn (O), AB là đường kính.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tính góc nội tiếp từ số đo cung bị chắn
1
Đường tròn (O) có cung AB (không chứa C) số đo 80°. C là một điểm trên đường tròn thuộc cung lớn AB. Tính số đo góc ACB.
2
Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB (cung 80° đã cho), nên số đo góc ACB bằng nửa số đo cung bị chắn.
3
Số đo góc $ACB=80°:2=40°$.
4
Vậy góc ACB bằng 40°.
Ví dụ
Tam giác nội tiếp trong nửa đường tròn
1
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C nằm trên đường tròn, C không trùng A hoặc B. Chứng minh tam giác ABC vuông.
2
Vì AB là đường kính, cung AB (không chứa C) có số đo 180° (nửa đường tròn).
3
Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB đó nên $\widehat{ACB}=180°:2=90°$.
4
Vậy tam giác ABC vuông tại C.
Ví dụ
Bài toán kết hợp nhiều góc ở tâm liên tiếp
1
Đường tròn (O) có bốn điểm A, B, C, D theo đúng thứ tự đó trên đường tròn, với góc ở tâm AOB = 100° và góc ở tâm BOC = 120° (hai góc kề nhau, không chồng lấn). Điểm D nằm trên cung AC không chứa B. Tính số đo góc ADC.
2
Vì hai góc ở tâm AOB và BOC kề nhau, không chồng lấn, số đo cung AC đi qua B bằng tổng hai cung thành phần: $\text{cung }AC\text{ (qua }B) = \widehat{AOB}+\widehat{BOC}=100°+120°=220°$.
3
D nằm trên cung AC KHÔNG chứa B, nên góc nội tiếp ADC (đỉnh D) chắn đúng cung AC còn lại — cung đi qua B, số đo 220° (góc nội tiếp luôn chắn cung không chứa đỉnh của chính nó).
4
$\widehat{ADC}=220°:2=110°$.
5
Vậy số đo góc ADC bằng 110°.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Khi tính góc nội tiếp, rất dễ chắn NHẦM cung — lấy cung chứa đỉnh góc nội tiếp thay vì cung đối diện. Góc nội tiếp đỉnh D LUÔN chắn cung không đi qua D (cung nằm "phía bên kia", giữa hai cạnh của góc nhưng không chứa D). Một lỗi khác: nhầm góc ở tâm với góc nội tiếp khi cả hai cùng nhìn về một cặp điểm A, B — chỉ góc có đỉnh TẠI TÂM O mới bằng đúng số đo cung; góc có đỉnh trên đường tròn luôn chỉ bằng NỬA số đo đó.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Số đo cung bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn (nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó); các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Riêng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn bằng 90° — dấu hiệu rất hay dùng để "tạo" tam giác vuông trong bài toán tổng hợp.
Góc nội tiếp có hai cạnh đều là DÂY cung. Nếu thay một cạnh bằng một TIA TIẾP TUYẾN thì sao — góc mới đó có còn liên hệ nửa-cung với cung bị chắn hay không? Bài sau trả lời câu hỏi đó.
Em cần nhớ khái niệm cung tròn (phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm) và số đo cung được quy ước bằng đúng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Ba chương trước xoay quanh ĐỘ DÀI — dây, khoảng cách đến tâm, đoạn tiếp tuyến. Từ bài này, trọng tâm chuyển sang GÓC, và mọi phát biểu về góc trong đường tròn đều quy về việc so sánh góc đó với số đo cung mà nó chắn.
Đặt một chiếc kim đồng hồ tưởng tượng tại tâm O của một đường tròn, quay từ vị trí A đến vị trí B, quét một góc AOB. Bây giờ đứng tại một điểm C khác trên chính đường tròn đó (không nằm giữa A và B) và nhìn về A, B — góc ACB mà em nhìn thấy có bằng góc AOB ở tâm hay không? Trực giác có thể nói "gần bằng", nhưng toán học khẳng định một tỉ lệ chính xác giữa hai góc này.
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm O của đường tròn; số đo cung bị chắn (cung nằm bên trong góc) được QUY ƯỚC bằng đúng số đo của góc ở tâm đó. Ví dụ góc ở tâm AOB bằng 70° thì cung nhỏ AB cũng được nói là có số đo 70°. Với cả đường tròn, tổng số đo các cung phải bằng 360°, đúng bằng góc ở tâm đầy đủ một vòng.
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm TRÊN đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung. Định lí trung tâm của bài: số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn — và vì số đo cung bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó, điều này cũng có nghĩa góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung. Một hệ quả rất hay dùng: các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau — vì tất cả chúng đều bằng đúng một nửa của cùng một số đo cung, bất kể đỉnh góc nội tiếp nằm ở vị trí nào trên cung còn lại.
Hệ quả quan trọng nhất để tính toán nhanh: khi dây căng cung là một đường kính, cung bị chắn có số đo 180° (nửa đường tròn), nên góc nội tiếp chắn cung đó luôn bằng 180°:2=90°. Nói gọn: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Tính chất này cực kỳ hữu ích — nó cho phép "tạo ra" một góc vuông chỉ bằng cách vẽ một đường kính, không cần đo đạc gì thêm, và thường là bước đầu tiên để giải một bài toán tổng hợp có tam giác vuông ẩn bên trong đường tròn.
Số đo góc ACB=80°:2=40°.
Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB đó nên ACB=180°:2=90°.
Vì hai góc ở tâm AOB và BOC kề nhau, không chồng lấn, số đo cung AC đi qua B bằng tổng hai cung thành phần: cung AC (qua B)=AOB+BOC=100°+120°=220°.
ADC=220°:2=110°.
Khi tính góc nội tiếp, rất dễ chắn NHẦM cung — lấy cung chứa đỉnh góc nội tiếp thay vì cung đối diện. Góc nội tiếp đỉnh D LUÔN chắn cung không đi qua D (cung nằm "phía bên kia", giữa hai cạnh của góc nhưng không chứa D). Một lỗi khác: nhầm góc ở tâm với góc nội tiếp khi cả hai cùng nhìn về một cặp điểm A, B — chỉ góc có đỉnh TẠI TÂM O mới bằng đúng số đo cung; góc có đỉnh trên đường tròn luôn chỉ bằng NỬA số đo đó.