Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tiếp tuyến của đường tròn
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em nhận biết được một đường thẳng có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không, tính được độ dài đoạn tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn, và vận dụng được tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm.
Kiến thức nền cần nhớ
Em cần vững định lí Pythagore và khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Ở Bài 2, em đã thấy đường kính vuông góc với dây tại trung điểm dây — đó là quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn khi chúng cắt nhau tại HAI điểm. Bài này xét trường hợp còn lại: đường thẳng và đường tròn chỉ có đúng MỘT điểm chung.
Khởi động
Một đường thẳng có thể có quan hệ với một đường tròn theo ba cách: không cắt (không có điểm chung), cắt tại hai điểm (như dây cung), hoặc "chạm" đường tròn tại đúng một điểm. Trường hợp thứ ba trông như đường thẳng chỉ vừa đủ chạm vào đường tròn rồi tách ra ngay — vậy điều gì về hình học (góc, khoảng cách) phân biệt chính xác trường hợp này với hai trường hợp còn lại?
Kiến thức trọng tâm
Đường thẳng chỉ có đúng một điểm chung với đường tròn được gọi là **tiếp tuyến** của đường tròn, điểm chung đó gọi là **tiếp điểm**. Khoảng cách từ tâm O đến tiếp tuyến đúng bằng bán kính R (trường hợp "chạm vừa đủ"), trong khi khoảng cách từ O đến một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm luôn nhỏ hơn R. Từ đó suy ra **dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến**: nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó, thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. Đây là cách nhanh nhất để CHỨNG MINH một đường thẳng là tiếp tuyến trong bài tập: chỉ cần chỉ ra nó đi qua một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó, không cần tính khoảng cách.
Khi từ một điểm P nằm ngoài đường tròn kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đường tròn đó (chạm tại hai tiếp điểm khác nhau), ta có **tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau**: hai đoạn tiếp tuyến kể từ P bằng nhau, và đường thẳng nối P với tâm O là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến, đồng thời cũng là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đến hai tiếp điểm. Nói cách khác, hình tạo bởi P, O và hai tiếp điểm luôn đối xứng qua đường thẳng OP — một ứng dụng trực tiếp của trục đối xứng đường tròn mà em đã gặp ở Bài 1.
Vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, tam giác tạo bởi tâm O, điểm ngoài P và một tiếp điểm T luôn vuông tại T. Đây chính là công cụ để TÍNH độ dài đoạn tiếp tuyến: biết khoảng cách OP và bán kính R, độ dài tiếp tuyến PT tính được ngay bằng Pythagore, $PT=\sqrt{OP^2-R^2}$, không cần dựng hình phức tạp.
Lời giải có hình
Hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ngoài đường tròn
Bước 1
Cho đường tròn (O; r) và điểm P nằm ngoài đường tròn.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến
1
Cho đường tròn (O; 6 cm). Điểm A nằm trên đường tròn. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với OA. Hỏi d có phải là tiếp tuyến của (O) không?
2
Đường thẳng d đi qua điểm A thuộc đường tròn (O) và vuông góc với bán kính OA tại chính điểm A đó.
3
Vậy d là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm A.
Ví dụ
Tính độ dài đoạn tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn
1
Cho đường tròn (O; 9 cm) và điểm P ở ngoài đường tròn với $OP=15$ cm. Từ P kẻ tiếp tuyến PT đến (O) (T là tiếp điểm). Tính độ dài PT.
2
Vì PT là tiếp tuyến tại T nên PT vuông góc với bán kính OT tại T, do đó tam giác OPT vuông tại T.
3
$PT^2=OP^2-OT^2=15^2-9^2=225-81=144$, suy ra $PT=\sqrt{144}=12$ cm.
4
Vậy độ dài đoạn tiếp tuyến PT bằng 12 cm.
Ví dụ
Vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
1
Từ điểm P ngoài đường tròn (O; 6 cm) kẻ hai tiếp tuyến PM, PN (M, N là tiếp điểm). Biết $OP=10$ cm, tính độ dài PM và chu vi tứ giác OMPN.
2
Tam giác OMP vuông tại M (tiếp tuyến vuông góc bán kính tại tiếp điểm), nên $PM^2=OP^2-OM^2=10^2-6^2=100-36=64$, suy ra $PM=8$ cm.
3
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại P: $PN=PM=8$ cm. Và đương nhiên $ON=OM=6$ cm (cùng là bán kính).
4
Chu vi $=OM+MP+PN+NO=6+8+8+6=28$ cm.
5
Vậy $PM=8$ cm và chu vi tứ giác OMPN bằng 28 cm.
Ví dụ
Bài toán thực tế: tính khoảng cách an toàn khi đứng ngắm một tháp tròn
1
Một tháp nước hình trụ có bán kính đáy 4 m được rào chắn bởi hàng rào tròn đồng tâm, bán kính an toàn 4 m tính từ tâm tháp (coi như đường tròn bán kính 4 m nhìn từ trên xuống). Một người đứng tại điểm P cách tâm tháp 12 m, kẻ được đường ngắm PT tiếp xúc với vòng an toàn tại T (đường ngắm thẳng gần vòng rào nhất). Tính khoảng cách PT từ người đó đến điểm tiếp xúc T.
2
Đường ngắm PT tiếp xúc với đường tròn an toàn tâm O bán kính 4 m tại T, nên PT là một tiếp tuyến của đường tròn đó, và tam giác OPT vuông tại T.
3
$PT^2=OP^2-OT^2=12^2-4^2=144-16=128$, suy ra $PT=\sqrt{128}=8\sqrt2$ m.
4
Vậy $PT=8\sqrt2\approx11,3$ m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Rất nhiều bạn áp dụng Pythagore sai vị trí góc vuông trong tam giác OPT — nhầm tưởng vuông tại O hoặc tại P. Góc vuông LUÔN nằm tại tiếp điểm T (vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm), nên cạnh huyền của tam giác vuông đó luôn là OP (đoạn nối tâm với điểm ngoài), không phải PT. Viết nhầm thành $OP^2=OT^2+PT^2$ thì đúng công thức, nhưng nếu viết $OT^2=OP^2+PT^2$ là sai vị trí cạnh huyền.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó là tiếp tuyến. Tam giác tâm–điểm ngoài–tiếp điểm luôn vuông tại tiếp điểm, dùng được Pythagore ngay. Hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm ngoài luôn bằng nhau, và đường nối điểm đó với tâm là trục đối xứng của cả hình.
Chương tiếp theo chuyển từ ĐỘ DÀI (dây, tiếp tuyến) sang GÓC. Câu hỏi đầu tiên: một góc có đỉnh tại tâm đường tròn liên hệ thế nào với cung mà nó chắn, và với một góc có đỉnh nằm ngay trên đường tròn?
Một đường thẳng có thể có quan hệ với một đường tròn theo ba cách: không cắt (không có điểm chung), cắt tại hai điểm (như dây cung), hoặc "chạm" đường tròn tại đúng một điểm. Trường hợp thứ ba trông như đường thẳng chỉ vừa đủ chạm vào đường tròn rồi tách ra ngay — vậy điều gì về hình học (góc, khoảng cách) phân biệt chính xác trường hợp này với hai trường hợp còn lại?
Đường thẳng chỉ có đúng một điểm chung với đường tròn được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Khoảng cách từ tâm O đến tiếp tuyến đúng bằng bán kính R (trường hợp "chạm vừa đủ"), trong khi khoảng cách từ O đến một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm luôn nhỏ hơn R. Từ đó suy ra dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó, thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. Đây là cách nhanh nhất để CHỨNG MINH một đường thẳng là tiếp tuyến trong bài tập: chỉ cần chỉ ra nó đi qua một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó, không cần tính khoảng cách.
Khi từ một điểm P nằm ngoài đường tròn kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đường tròn đó (chạm tại hai tiếp điểm khác nhau), ta có tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: hai đoạn tiếp tuyến kể từ P bằng nhau, và đường thẳng nối P với tâm O là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến, đồng thời cũng là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đến hai tiếp điểm. Nói cách khác, hình tạo bởi P, O và hai tiếp điểm luôn đối xứng qua đường thẳng OP — một ứng dụng trực tiếp của trục đối xứng đường tròn mà em đã gặp ở Bài 1.
Vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, tam giác tạo bởi tâm O, điểm ngoài P và một tiếp điểm T luôn vuông tại T. Đây chính là công cụ để TÍNH độ dài đoạn tiếp tuyến: biết khoảng cách OP và bán kính R, độ dài tiếp tuyến PT tính được ngay bằng Pythagore, PT=OP2−R2, không cần dựng hình phức tạp.
Cho đường tròn (O; 9 cm) và điểm P ở ngoài đường tròn với OP=15 cm. Từ P kẻ tiếp tuyến PT đến (O) (T là tiếp điểm). Tính độ dài PT.
PT2=OP2−OT2=152−92=225−81=144, suy ra PT=144=12 cm.
Từ điểm P ngoài đường tròn (O; 6 cm) kẻ hai tiếp tuyến PM, PN (M, N là tiếp điểm). Biết OP=10 cm, tính độ dài PM và chu vi tứ giác OMPN.
Tam giác OMP vuông tại M (tiếp tuyến vuông góc bán kính tại tiếp điểm), nên PM2=OP2−OM2=102−62=100−36=64, suy ra PM=8 cm.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại P: PN=PM=8 cm. Và đương nhiên ON=OM=6 cm (cùng là bán kính).
Chu vi =OM+MP+PN+NO=6+8+8+6=28 cm.
Vậy PM=8 cm và chu vi tứ giác OMPN bằng 28 cm.
Một tháp nước hình trụ có bán kính đáy 4 m được rào chắn bởi hàng rào tròn đồng tâm, bán kính an toàn 4 m tính từ tâm tháp (coi như đường tròn bán kính 4 m nhìn từ trên xuống). Một người đứng tại điểm P cách tâm tháp 12 m, kẻ được đường ngắm PT tiếp xúc với vòng an toàn tại T (đường ngắm thẳng gần vòng rào nhất). Tính khoảng cách PT từ người đó đến điểm tiếp xúc T.
PT2=OP2−OT2=122−42=144−16=128, suy ra PT=128=82 m.
Vậy PT=82≈11,3 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Rất nhiều bạn áp dụng Pythagore sai vị trí góc vuông trong tam giác OPT — nhầm tưởng vuông tại O hoặc tại P. Góc vuông LUÔN nằm tại tiếp điểm T (vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm), nên cạnh huyền của tam giác vuông đó luôn là OP (đoạn nối tâm với điểm ngoài), không phải PT. Viết nhầm thành OP2=OT2+PT2 thì đúng công thức, nhưng nếu viết OT2=OP2+PT2 là sai vị trí cạnh huyền.