Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Ôn tập dây và tiếp tuyến
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em giải được một bài toán tổng hợp phối hợp cả ba công cụ đã học về ĐỘ DÀI trong đường tròn — sự xác định tâm, liên hệ dây với khoảng cách đến tâm, và tính chất tiếp tuyến — trong đúng một bài toán nhiều bước như câu hình học của đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài ôn tập này không đưa ra định lí mới, mà hệ thống lại ba định lí của các Bài 1, 2, 3: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền; đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây; hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài thì bằng nhau. Trong một đề thi thật, ba công cụ này hiếm khi xuất hiện riêng lẻ — chúng thường được ghép vào cùng một hình vẽ, đòi hỏi em nhận ra ĐÚNG công cụ cần dùng ở từng bước.
Khởi động
Một bài toán hình học tổng hợp thường không nói thẳng "hãy dùng định lí X" — em phải tự nhận ra. Dấu hiệu nào trong đề bài gợi ý dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau? Dấu hiệu nào gợi ý dùng liên hệ dây và khoảng cách đến tâm? Luyện nhận diện những dấu hiệu đó chính là kỹ năng bài ôn tập này rèn cho em.
Kiến thức trọng tâm
Khi đọc một đề bài tổng hợp về đường tròn, hãy quét nhanh các cụm từ khóa: "vuông góc với dây" hoặc "trung điểm dây" gợi ý dùng liên hệ dây–khoảng cách đến tâm (Bài 2); "kẻ tiếp tuyến", "từ một điểm ngoài" gợi ý tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau (Bài 3); "tam giác vuông nội tiếp" gợi ý định lí về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông (Bài 1). Một bài toán tốt thường kết hợp ít nhất hai trong ba dấu hiệu đó, và lời giải đi qua đúng các bước tương ứng.
Một mẫu hình rất hay gặp: từ một điểm P ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến PM, PN. Vì OM = ON = R và PM = PN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), tam giác OMN và tam giác PMN đều cân, và đường thẳng OP là trục đối xứng chung của cả hai tam giác — đây chính là công cụ để tính độ dài dây MN (nối hai tiếp điểm) mà không cần vẽ thêm hình phức tạp: hạ đường vuông góc từ O (hoặc từ P) xuống MN, dùng đúng liên hệ dây–khoảng cách đến tâm của Bài 2 cho dây MN đó.
Một điểm cần lưu ý khi trình bày bài toán tổng hợp: mỗi bước tính toán phải neo vào đúng định lí vừa nhắc ở trên, không được nhảy thẳng đến kết quả. Người chấm bài thi thật thường cho điểm theo từng bước lập luận, nên viết rõ "vì … nên …" trước mỗi phép tính quan trọng hơn nhiều so với chỉ ghi con số cuối cùng, kể cả khi con số đó đúng.
Lời giải có hình
Ôn tập: tam giác tạo bởi hai tiếp tuyến và dây cung tiếp điểm
Bước 1
Cho đường tròn (O; R), điểm P ở ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến PM, PN (M, N là tiếp điểm).
tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tính độ dài dây nối hai tiếp điểm
1
Từ điểm P ngoài đường tròn (O; 6 cm) kẻ hai tiếp tuyến PM, PN (M, N là tiếp điểm) với $OP=10$ cm. Gọi H là giao điểm của OP với MN. Tính độ dài dây MN.
2
Tam giác OMP vuông tại M nên $PM^2=OP^2-OM^2=10^2-6^2=64$, suy ra $PM=8$ cm.
3
OP là trục đối xứng của hình (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), nên OP vuông góc với MN tại H, và H là trung điểm MN — đúng dạng liên hệ dây và khoảng cách đến tâm của Bài 2, với MN đóng vai trò dây, OH là khoảng cách từ tâm đến dây.
4
Trong tam giác OMP vuông tại M có đường cao MH ứng với cạnh huyền OP: $MH=\dfrac{OM\times PM}{OP}=\dfrac{6\times8}{10}=4,8$ cm.
5
Vậy dây $MN=2\times MH=2\times4,8=9,6$ cm.
Ví dụ
Bài toán tổng hợp: đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông kết hợp dây và tiếp tuyến
1
Tam giác ABC vuông tại A có $AB=9$ cm, $AC=12$ cm. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC (O là trung điểm BC). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống dây AB. Tính độ dài OH.
2
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm, nên bán kính $R=OA=OB=OC=15:2=7,5$ cm.
3
Vì OH vuông góc với dây AB, theo liên hệ dây và khoảng cách đến tâm (Bài 2), H là trung điểm AB, nên HA = AB:2 = 4,5 cm.
4
$OH^2=OA^2-HA^2=7,5^2-4,5^2=56,25-20,25=36$, suy ra $OH=6$ cm.
5
Vậy OH = 6 cm.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Trong bài toán tổng hợp, dễ áp dụng nhầm định lí của chương này cho chương khác — ví dụ dùng "tiếp tuyến vuông góc bán kính" cho một đoạn thẳng thật ra chỉ là một dây, hoặc quên kiểm tra tam giác có thật sự vuông trước khi dùng Pythagore. Luôn viết rõ ràng LÍ DO mỗi bước ("vì … nên …") trước khi tính số, đúng chuẩn trình bày của một bài thi thật — người chấm cho điểm từng bước lập luận, không chỉ đáp số cuối cùng.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Khi gặp một bài toán tổng hợp, hãy quét đề tìm từ khóa để chọn đúng công cụ trong ba bài đã học (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, liên hệ dây–khoảng cách đến tâm, hai tiếp tuyến cắt nhau), vẽ hình cẩn thận và đánh dấu ngay các đoạn/góc bằng nhau vừa suy ra được — đó là cách giữ đầu óc mạch lạc qua nhiều bước tính toán.
Ba công cụ về ĐỘ DÀI đã được ôn xong. Bài ôn tập cuối cùng của khoá chuyển sang ôn các công cụ về GÓC — góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tứ giác nội tiếp — trong một bài toán tổng hợp đúng cấu trúc câu hình học của đề thi tuyển sinh 10.
Bài ôn tập này không đưa ra định lí mới, mà hệ thống lại ba định lí của các Bài 1, 2, 3: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền; đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây; hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài thì bằng nhau. Trong một đề thi thật, ba công cụ này hiếm khi xuất hiện riêng lẻ — chúng thường được ghép vào cùng một hình vẽ, đòi hỏi em nhận ra ĐÚNG công cụ cần dùng ở từng bước.
Khi đọc một đề bài tổng hợp về đường tròn, hãy quét nhanh các cụm từ khóa: "vuông góc với dây" hoặc "trung điểm dây" gợi ý dùng liên hệ dây–khoảng cách đến tâm (Bài 2); "kẻ tiếp tuyến", "từ một điểm ngoài" gợi ý tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau (Bài 3); "tam giác vuông nội tiếp" gợi ý định lí về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông (Bài 1). Một bài toán tốt thường kết hợp ít nhất hai trong ba dấu hiệu đó, và lời giải đi qua đúng các bước tương ứng.
Một mẫu hình rất hay gặp: từ một điểm P ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến PM, PN. Vì OM = ON = R và PM = PN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), tam giác OMN và tam giác PMN đều cân, và đường thẳng OP là trục đối xứng chung của cả hai tam giác — đây chính là công cụ để tính độ dài dây MN (nối hai tiếp điểm) mà không cần vẽ thêm hình phức tạp: hạ đường vuông góc từ O (hoặc từ P) xuống MN, dùng đúng liên hệ dây–khoảng cách đến tâm của Bài 2 cho dây MN đó.
Một điểm cần lưu ý khi trình bày bài toán tổng hợp: mỗi bước tính toán phải neo vào đúng định lí vừa nhắc ở trên, không được nhảy thẳng đến kết quả. Người chấm bài thi thật thường cho điểm theo từng bước lập luận, nên viết rõ "vì … nên …" trước mỗi phép tính quan trọng hơn nhiều so với chỉ ghi con số cuối cùng, kể cả khi con số đó đúng.
Từ điểm P ngoài đường tròn (O; 6 cm) kẻ hai tiếp tuyến PM, PN (M, N là tiếp điểm) với OP=10 cm. Gọi H là giao điểm của OP với MN. Tính độ dài dây MN.
Tam giác OMP vuông tại M nên PM2=OP2−OM2=102−62=64, suy ra PM=8 cm.
Trong tam giác OMP vuông tại M có đường cao MH ứng với cạnh huyền OP: MH=OPOM×PM=106×8=4,8 cm.
Vậy dây MN=2×MH=2×4,8=9,6 cm.
Tam giác ABC vuông tại A có AB=9 cm, AC=12 cm. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC (O là trung điểm BC). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống dây AB. Tính độ dài OH.
BC=AB2+AC2=81+144=225=15 cm, nên bán kính R=OA=OB=OC=15:2=7,5 cm.
OH2=OA2−HA2=7,52−4,52=56,25−20,25=36, suy ra OH=6 cm.
Trong bài toán tổng hợp, dễ áp dụng nhầm định lí của chương này cho chương khác — ví dụ dùng "tiếp tuyến vuông góc bán kính" cho một đoạn thẳng thật ra chỉ là một dây, hoặc quên kiểm tra tam giác có thật sự vuông trước khi dùng Pythagore. Luôn viết rõ ràng LÍ DO mỗi bước ("vì … nên …") trước khi tính số, đúng chuẩn trình bày của một bài thi thật — người chấm cho điểm từng bước lập luận, không chỉ đáp số cuối cùng.