Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Ôn tập góc và tứ giác nội tiếp
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em giải được một bài toán tổng hợp phối hợp các định lí về GÓC trong đường tròn — góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, dấu hiệu tứ giác nội tiếp — theo đúng cấu trúc nhiều ý của một câu hình học đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Kiến thức nền cần nhớ
Em cần huy động lại cả bốn định lí về góc đã học: góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90°; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung; và dấu hiệu tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°, hoặc hai góc vuông cùng nhìn một đoạn). Bài toán tổng hợp thường có cấu trúc nhiều ý (a), (b), (c) — mỗi ý dùng kết quả của ý trước, nên làm sai một ý sớm sẽ ảnh hưởng dây chuyền đến các ý sau.
Khởi động
Một câu hình học đề thi tuyển sinh 10 thường có ba ý: ý (a) yêu cầu chứng minh một tứ giác nội tiếp, ý (b) dùng kết quả đó để tính một góc hoặc chứng minh một quan hệ khác, ý (c) thường là ý khó nhất, kết hợp thêm một yếu tố mới. Vì sao gần như MỌI câu hình học tổng hợp đều bắt đầu bằng việc chứng minh một tứ giác nội tiếp, trước khi làm bất cứ điều gì khác?
Kiến thức trọng tâm
Lý do tứ giác nội tiếp luôn là ý (a): một khi bốn điểm đã được xác nhận cùng nằm trên một đường tròn, TOÀN BỘ kho định lí về góc nội tiếp, góc ở tâm, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung đều có thể áp dụng cho hình đó — mở ra rất nhiều cách tính góc mới ở các ý sau. Nói cách khác, chứng minh tứ giác nội tiếp không chỉ là một kết quả riêng lẻ, mà là chiếc CHÌA KHÓA mở khóa toàn bộ phần còn lại của bài toán.
Mẫu hình rất phổ biến để tạo tứ giác nội tiếp: nếu đề bài cho một đường kính AC và hai điểm B, D trên đường tròn sao cho góc ABC và góc ADC đều nhìn về AC, thì cả hai góc đó tự động bằng 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên tổng hai góc đối diện B, D của tứ giác ABCD tự động bằng 180° — chứng minh tứ giác nội tiếp trong trường hợp này gần như chỉ là một dòng.
Sau khi có tứ giác nội tiếp, bước tiếp theo thường là dùng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để "chuyển" một góc từ vị trí khó tính sang vị trí dễ tính hơn — vì góc đó bằng góc nội tiếp cùng chắn cung, mà góc nội tiếp lại liên hệ trực tiếp với các góc đã biết của tứ giác nội tiếp vừa chứng minh. Chuỗi lập luận "tứ giác nội tiếp → góc nội tiếp → góc tiếp tuyến-dây" chính là bộ khung của phần lớn câu hình học đề thi tuyển sinh 10.
Lời giải có hình
Ôn tập: hai góc vuông cùng nhìn một đường kính suy ra tứ giác nội tiếp
Bước 1
Cho đường tròn (O), AC là đường kính. Lấy B, D trên đường tròn (khác A, C và khác phía nhau).
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Chứng minh tứ giác nội tiếp từ đường kính, rồi tính một góc
1
Đường tròn (O), AC là đường kính. B, D là hai điểm trên đường tròn, khác phía đường thẳng AC (B, D khác A, C). Biết $\widehat{BAC}=35°$, chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp (hiển nhiên vì cùng thuộc (O)) và tính $\widehat{BDC}$.
2
Vì AC là đường kính nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
3
Tam giác ABC vuông tại B nên $\widehat{BCA}=90°-\widehat{BAC}=90°-35°=55°$.
4
Theo thứ tự A, B, C, D quanh đường tròn, cả A và D đều nằm trên cùng một cung lớn BC (cung đi qua A và D), nên hai góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ cùng chắn cung nhỏ BC còn lại — do đó $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=35°$.
5
Vậy $\widehat{BCA}=55°$ và $\widehat{BDC}=35°$.
Ví dụ
Bài toán tổng hợp: đường kính, tam giác vuông và góc tiếp tuyến-dây
1
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C trên đường tròn (C khác A, B), kẻ tiếp tuyến Cx tại C. Biết $\widehat{CAB}=40°$, tính số đo góc tạo bởi tiếp tuyến Cx và dây CB (ở phía cung CB chứa điểm A).
2
Vì AB là đường kính nên $\widehat{ACB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Trong tam giác ACB vuông tại C: $\widehat{ABC}=90°-\widehat{CAB}=90°-40°=50°$.
3
Góc tạo bởi tiếp tuyến Cx và dây CB (ở phía chứa cung CB không chứa A) bằng góc nội tiếp CAB cùng chắn cung CB ở phía đối diện (tính chất góc trong cung xen kẽ).
4
Do đó góc tạo bởi Cx và CB (phía chứa A) bằng $\widehat{CAB}=40°$.
5
Vậy góc tạo bởi tiếp tuyến Cx và dây CB bằng 40°.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Ở câu hình học nhiều ý, sai lầm phổ biến nhất là dùng kết quả của ý sau để chứng minh ngược lại ý trước (lập luận vòng tròn) — mỗi ý phải CHỈ dùng những gì đã cho hoặc đã chứng minh Ở CÁC Ý TRƯỚC, không được mượn trước kết quả chưa chứng minh. Một lỗi khác: khi "chuyển góc" bằng góc nội tiếp cùng chắn cung hoặc góc tiếp tuyến-dây, quên kiểm tra hai góc so sánh có thực sự cùng chắn MỘT cung hay không — chắn nhầm cung là lỗi khiến cả chuỗi lập luận sau đó sai theo.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Khi gặp một đường kính, tìm ngay các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (90°) — đó thường là chìa khóa chứng minh tứ giác nội tiếp. Sau khi có tứ giác nội tiếp, dùng góc nội tiếp cùng chắn cung và góc tạo bởi tiếp tuyến-dây để chuyển góc khó tính sang góc dễ tính hơn — đây là bộ khung chung của câu hình học đề thi tuyển sinh 10.
Khoá Đường tròn kết thúc tại đây — em đã có đủ bộ công cụ để giải trọn vẹn câu hình học của đề thi tuyển sinh vào lớp 10: xác định tâm, dây và tiếp tuyến, góc và tứ giác nội tiếp. Khoá tiếp theo trong lộ trình chuyển sang hình khối — hình trụ, hình nón, hình cầu.
Em cần huy động lại cả bốn định lí về góc đã học: góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90°; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung; và dấu hiệu tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°, hoặc hai góc vuông cùng nhìn một đoạn). Bài toán tổng hợp thường có cấu trúc nhiều ý (a), (b), (c) — mỗi ý dùng kết quả của ý trước, nên làm sai một ý sớm sẽ ảnh hưởng dây chuyền đến các ý sau.
Một câu hình học đề thi tuyển sinh 10 thường có ba ý: ý (a) yêu cầu chứng minh một tứ giác nội tiếp, ý (b) dùng kết quả đó để tính một góc hoặc chứng minh một quan hệ khác, ý (c) thường là ý khó nhất, kết hợp thêm một yếu tố mới. Vì sao gần như MỌI câu hình học tổng hợp đều bắt đầu bằng việc chứng minh một tứ giác nội tiếp, trước khi làm bất cứ điều gì khác?
Lý do tứ giác nội tiếp luôn là ý (a): một khi bốn điểm đã được xác nhận cùng nằm trên một đường tròn, TOÀN BỘ kho định lí về góc nội tiếp, góc ở tâm, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung đều có thể áp dụng cho hình đó — mở ra rất nhiều cách tính góc mới ở các ý sau. Nói cách khác, chứng minh tứ giác nội tiếp không chỉ là một kết quả riêng lẻ, mà là chiếc CHÌA KHÓA mở khóa toàn bộ phần còn lại của bài toán.
Mẫu hình rất phổ biến để tạo tứ giác nội tiếp: nếu đề bài cho một đường kính AC và hai điểm B, D trên đường tròn sao cho góc ABC và góc ADC đều nhìn về AC, thì cả hai góc đó tự động bằng 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên tổng hai góc đối diện B, D của tứ giác ABCD tự động bằng 180° — chứng minh tứ giác nội tiếp trong trường hợp này gần như chỉ là một dòng.
Sau khi có tứ giác nội tiếp, bước tiếp theo thường là dùng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để "chuyển" một góc từ vị trí khó tính sang vị trí dễ tính hơn — vì góc đó bằng góc nội tiếp cùng chắn cung, mà góc nội tiếp lại liên hệ trực tiếp với các góc đã biết của tứ giác nội tiếp vừa chứng minh. Chuỗi lập luận "tứ giác nội tiếp → góc nội tiếp → góc tiếp tuyến-dây" chính là bộ khung của phần lớn câu hình học đề thi tuyển sinh 10.
Đường tròn (O), AC là đường kính. B, D là hai điểm trên đường tròn, khác phía đường thẳng AC (B, D khác A, C). Biết BAC=35°, chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp (hiển nhiên vì cùng thuộc (O)) và tính BDC.
Vì AC là đường kính nên ABC=ADC=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tam giác ABC vuông tại B nên BCA=90°−BAC=90°−35°=55°.
Theo thứ tự A, B, C, D quanh đường tròn, cả A và D đều nằm trên cùng một cung lớn BC (cung đi qua A và D), nên hai góc nội tiếp BAC và BDC cùng chắn cung nhỏ BC còn lại — do đó BDC=BAC=35°.
Vậy BCA=55° và BDC=35°.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C trên đường tròn (C khác A, B), kẻ tiếp tuyến Cx tại C. Biết CAB=40°, tính số đo góc tạo bởi tiếp tuyến Cx và dây CB (ở phía cung CB chứa điểm A).
Vì AB là đường kính nên ACB=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Trong tam giác ACB vuông tại C: ABC=90°−CAB=90°−40°=50°.
Do đó góc tạo bởi Cx và CB (phía chứa A) bằng CAB=40°.
Ở câu hình học nhiều ý, sai lầm phổ biến nhất là dùng kết quả của ý sau để chứng minh ngược lại ý trước (lập luận vòng tròn) — mỗi ý phải CHỈ dùng những gì đã cho hoặc đã chứng minh Ở CÁC Ý TRƯỚC, không được mượn trước kết quả chưa chứng minh. Một lỗi khác: khi "chuyển góc" bằng góc nội tiếp cùng chắn cung hoặc góc tiếp tuyến-dây, quên kiểm tra hai góc so sánh có thực sự cùng chắn MỘT cung hay không — chắn nhầm cung là lỗi khiến cả chuỗi lập luận sau đó sai theo.