Bài học

Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em chứng minh và vận dụng được: đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy, và trong một đường tròn, hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ định lí Pythagore ( $a^2+b^2=c^2$ trong tam giác vuông) và khái niệm dây cung — đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Bài trước đã cho em một công cụ quan trọng: đường kính là trục đối xứng của đường tròn. Bài này khai thác chính công cụ đó, áp dụng cho một dây cụ thể thay vì cho cả đường tròn.

Em cần nhớ định lí Pythagore ($a^2+b^2=c^2$ trong tam giác vuông) và khái niệm dây cung — đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Bài trước đã cho em một công cụ quan trọng: đường kính là trục đối xứng của đường tròn. Bài này khai thác chính công cụ đó, áp dụng cho một dây cụ thể thay vì cho cả đường tròn.

Khởi động

Vẽ một đường tròn tâm O, một dây AB bất kỳ (không đi qua O), rồi từ O hạ đường vuông góc xuống AB, cắt AB tại H. Đo thử OA, OB — hai đoạn này đương nhiên bằng nhau vì cùng là bán kính. Nhưng còn HA và HB thì sao? Chỉ vì OH vuông góc với AB, liệu H có bắt buộc phải là trung điểm của AB hay không?

Kiến thức trọng tâm

Định lí: trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Lý do nằm ở chính tính đối xứng em vừa học: gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống dây AB. Vì OH $\perp$ AB, đường thẳng OH chứa một đường kính, tức là một trục đối xứng của đường tròn. Qua phép đối xứng đó, A và B đổi chỗ cho nhau (cùng thuộc đường tròn, cùng cách H một khoảng như nhau do OH là trục), nên HA = HB — H chính là trung điểm AB. Chiều ngược lại cũng đúng: nếu đường kính đi qua trung điểm của một dây không phải đường kính, đường kính đó vuông góc với dây.

**Định lí:** trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Lý do nằm ở chính tính đối xứng em vừa học: gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống dây AB. Vì OH $\perp$ AB, đường thẳng OH chứa một đường kính, tức là một trục đối xứng của đường tròn. Qua phép đối xứng đó, A và B đổi chỗ cho nhau (cùng thuộc đường tròn, cùng cách H một khoảng như nhau do OH là trục), nên HA = HB — H chính là trung điểm AB. **Chiều ngược lại cũng đúng**: nếu đường kính đi qua trung điểm của một dây không phải đường kính, đường kính đó vuông góc với dây.

Hệ quả trực tiếp: khoảng cách từ tâm đến một dây (đoạn OH) cùng với nửa dây (HA) và bán kính (OA) tạo thành một tam giác vuông tại H, nên liên hệ với nhau qua Pythagore: $OA^2=OH^2+HA^2$ , tức $R^2=d^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$ với d là khoảng cách từ tâm đến dây. Công thức này là công cụ tính toán chính của cả bài — biết hai trong ba đại lượng R, d, độ dài dây, em tính được đại lượng còn lại.

Hệ quả trực tiếp: khoảng cách từ tâm đến một dây (đoạn OH) cùng với nửa dây (HA) và bán kính (OA) tạo thành một tam giác vuông tại H, nên liên hệ với nhau qua Pythagore: $OA^2=OH^2+HA^2$, tức $R^2=d^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$ với d là khoảng cách từ tâm đến dây. Công thức này là công cụ tính toán chính của cả bài — biết hai trong ba đại lượng R, d, độ dài dây, em tính được đại lượng còn lại.

Từ hệ thức đó suy ra ngay tính chất so sánh: trong một đường tròn, hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm; dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn, và ngược lại — vì trong hệ thức Pythagore trên, R cố định nên d càng nhỏ thì độ dài dây càng lớn. Tính chất so sánh này thường xuất hiện trong đề thi dưới dạng "không cần tính cụ thể độ dài, hãy so sánh hai dây" — đúng kiểu bài em từng gặp khi so sánh hai căn bậc hai mà không cần tính giá trị gần đúng.

Từ hệ thức đó suy ra ngay tính chất so sánh: trong một đường tròn, **hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm**; dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn, và ngược lại — vì trong hệ thức Pythagore trên, R cố định nên d càng nhỏ thì độ dài dây càng lớn. Tính chất so sánh này thường xuất hiện trong đề thi dưới dạng "không cần tính cụ thể độ dài, hãy so sánh hai dây" — đúng kiểu bài em từng gặp khi so sánh hai căn bậc hai mà không cần tính giá trị gần đúng.

Lời giải có hình

Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây

Bước 1

Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua tâm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính độ dài dây khi biết khoảng cách đến tâm

1
Đường tròn (O; R) có $R=13$ cm. Dây AB cách tâm O một khoảng $d=5$ cm. Tính độ dài dây AB.
Đường tròn (O; R) có $R=13$ cm. Dây AB cách tâm O một khoảng $d=5$ cm. Tính độ dài dây AB.
2
Kẻ OH $\perp$ AB tại H thì $OH=d=5$ cm và H là trung điểm AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây). Tam giác OHA vuông tại H nên $HA^2=OA^2-OH^2=13^2-5^2=169-25=144$ , suy ra $HA=12$ cm.
Kẻ OH $\perp$ AB tại H thì $OH=d=5$ cm và H là trung điểm AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây). Tam giác OHA vuông tại H nên $HA^2=OA^2-OH^2=13^2-5^2=169-25=144$, suy ra $HA=12$ cm.
3
Vì H là trung điểm AB nên $AB=2\times HA=2\times12=24$ cm.
Vì H là trung điểm AB nên $AB=2\times HA=2\times12=24$ cm.
4
Vậy dây AB dài 24 cm.

Ví dụ

Bài toán ngược: tìm khoảng cách đến tâm khi biết độ dài dây

1
Đường tròn (O; R) có $R=10$ cm. Dây CD dài 16 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây CD.
Đường tròn (O; R) có $R=10$ cm. Dây CD dài 16 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây CD.
2
Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ O xuống CD thì K là trung điểm CD, nên $KC=CD:2=8$ cm.
Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ O xuống CD thì K là trung điểm CD, nên $KC=CD:2=8$ cm.
3
$OK^2=OC^2-KC^2=10^2-8^2=100-64=36$ , suy ra $OK=6$ cm.
$OK^2=OC^2-KC^2=10^2-8^2=100-64=36$, suy ra $OK=6$ cm.
4
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây CD bằng 6 cm.

Ví dụ

So sánh hai dây mà không cần tính độ dài cụ thể

1
Cho đường tròn (O), hai dây MN và PQ với khoảng cách từ O đến MN là 4 cm, khoảng cách từ O đến PQ là 7 cm. So sánh độ dài hai dây MN và PQ.
2
Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dài hơn. Vì $4<7$ nên MN gần tâm O hơn PQ.
Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dài hơn. Vì $4<7$ nên MN gần tâm O hơn PQ.
3
Vậy MN dài hơn PQ, dù ta chưa hề tính độ dài cụ thể của dây nào.

Ví dụ

Bài toán thực tế: tính bề rộng chân một cổng vòm hình cung tròn

1
Một cổng vòm có dạng một cung tròn bán kính 5 m. Khoảng cách từ đỉnh vòm (điểm cao nhất của cung) xuống đường thẳng nối hai chân cổng là 3 m. Tính bề rộng đáy cổng (khoảng cách giữa hai chân cổng).
2
Gọi A, B là hai chân cổng — đó là hai đầu mút của dây AB thuộc đường tròn tâm O bán kính 5 m sinh ra cung vòm. Gọi H là trung điểm AB (chân đường vuông góc hạ từ O), M là đỉnh vòm (điểm của cung xa dây AB nhất, cũng là giao điểm của đường thẳng OH với đường tròn). Ba điểm O, H, M thẳng hàng, nên chiều cao đỉnh vòm chính là $HM=OM-OH=R-OH$ .
Gọi A, B là hai chân cổng — đó là hai đầu mút của dây AB thuộc đường tròn tâm O bán kính 5 m sinh ra cung vòm. Gọi H là trung điểm AB (chân đường vuông góc hạ từ O), M là đỉnh vòm (điểm của cung xa dây AB nhất, cũng là giao điểm của đường thẳng OH với đường tròn). Ba điểm O, H, M thẳng hàng, nên chiều cao đỉnh vòm chính là $HM=OM-OH=R-OH$.
3
Theo đề, $HM=3$ m và $R=5$ m, nên $OH=R-HM=5-3=2$ m.
Theo đề, $HM=3$ m và $R=5$ m, nên $OH=R-HM=5-3=2$ m.
4
$HA^2=OA^2-OH^2=5^2-2^2=25-4=21$ , suy ra $HA=\sqrt{21}$ m.
$HA^2=OA^2-OH^2=5^2-2^2=25-4=21$, suy ra $HA=\sqrt{21}$ m.
5
Vậy bề rộng đáy cổng $AB=2\times HA=2\sqrt{21}\approx9,2$ m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Vậy bề rộng đáy cổng $AB=2\times HA=2\sqrt{21}\approx9,2$ m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Định lí "đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây" chỉ áp dụng đúng chiều khi đường thẳng đó THỰC SỰ vuông góc với dây. Nhiều bạn suy luận ngược sai: thấy một đường kính đi qua trung điểm của MỘT DÂY LÀ ĐƯỜNG KÍNH KHÁC thì vội kết luận chúng vuông góc — chiều ngược chỉ đúng khi dây đó KHÔNG PHẢI là một đường kính (hai đường kính bất kỳ luôn cùng đi qua trung điểm của nhau, tức tâm O, nhưng không nhất thiết vuông góc với nhau).

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây (và ngược lại, với dây không phải đường kính). Ba đại lượng bán kính R, khoảng cách đến tâm d, nửa dây liên hệ qua $R^2=d^2+(\text{nửa dây})^2$ . Dây gần tâm hơn thì dài hơn; hai dây bằng nhau khi và chỉ khi cách đều tâm.

Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây (và ngược lại, với dây không phải đường kính). Ba đại lượng bán kính R, khoảng cách đến tâm d, nửa dây liên hệ qua $R^2=d^2+(\text{nửa dây})^2$. Dây gần tâm hơn thì dài hơn; hai dây bằng nhau khi và chỉ khi cách đều tâm.

Dây cung là một đoạn thẳng cắt đường tròn tại hai điểm. Còn một đường thẳng chỉ chạm đường tròn tại đúng một điểm thì gọi là gì, và nó có tính chất riêng nào? Bài sau trả lời câu hỏi đó.