Bài học

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu được điều kiện để một đường tròn đi qua ba điểm cho trước, xác định đúng tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông, và giải thích được vì sao mỗi đường kính là một trục đối xứng của đường tròn.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp các điểm cách O một khoảng bằng R. Từ lớp 8, em cũng đã học một tính chất quan trọng của tam giác vuông: đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Bài học hôm nay dùng lại đúng tính chất đó, nhưng đặt nó vào một câu hỏi hoàn toàn mới — khi nào một tập hợp điểm cho trước xác định được đúng một đường tròn duy nhất đi qua tất cả các điểm đó.

Khởi động

Ba bạn học sinh đứng ở ba vị trí không thẳng hàng trên sân trường. Có bao nhiêu đường tròn đi qua đúng cả ba vị trí đó? Nếu đổi lại, ba bạn đứng thẳng hàng nhau thì sao — còn tìm được đường tròn nào đi qua cả ba không? Câu trả lời cho hai tình huống này khác nhau ở đúng một điều kiện, và điều kiện ấy chính là nội dung chính của bài học.

Kiến thức trọng tâm

Qua một điểm, vẽ được vô số đường tròn. Qua hai điểm, vẫn còn vô số đường tròn (tâm là bất kỳ điểm nào cách đều hai điểm đó, tức nằm trên đường trung trực của đoạn nối chúng). Nhưng qua ba điểm không thẳng hàng, chỉ có đúng một đường tròn đi qua cả ba: tâm của nó là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba điểm ấy, còn gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ba điểm thẳng hàng thì không có đường tròn nào đi qua cả ba, vì lúc đó ba đường trung trực song song với nhau, không cắt nhau tại một điểm chung.

Qua một điểm, vẽ được vô số đường tròn. Qua hai điểm, vẫn còn vô số đường tròn (tâm là bất kỳ điểm nào cách đều hai điểm đó, tức nằm trên đường trung trực của đoạn nối chúng). Nhưng qua **ba điểm không thẳng hàng**, chỉ có **đúng một** đường tròn đi qua cả ba: tâm của nó là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba điểm ấy, còn gọi là **tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác**. Ba điểm thẳng hàng thì không có đường tròn nào đi qua cả ba, vì lúc đó ba đường trung trực song song với nhau, không cắt nhau tại một điểm chung.

Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp có một vị trí đặc biệt dễ nhớ: chính là trung điểm cạnh huyền. Điều này không phải một tiên đề riêng mà là hệ quả trực tiếp của tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền em đã học — trung điểm O của cạnh huyền cách đều cả ba đỉnh, nên O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp, và bán kính bằng nửa cạnh huyền. Ngược lại, nếu một tam giác có trung điểm một cạnh cách đều ba đỉnh, tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện cạnh ấy — hai chiều suy luận này đều dùng được khi giải toán.

Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp có một vị trí đặc biệt dễ nhớ: chính là **trung điểm cạnh huyền**. Điều này không phải một tiên đề riêng mà là hệ quả trực tiếp của tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền em đã học — trung điểm O của cạnh huyền cách đều cả ba đỉnh, nên O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp, và bán kính bằng nửa cạnh huyền. Ngược lại, nếu một tam giác có trung điểm một cạnh cách đều ba đỉnh, tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện cạnh ấy — hai chiều suy luận này đều dùng được khi giải toán.

Đường tròn còn mang một tính chất hình học nữa: mỗi đường kính là một trục đối xứng của đường tròn đó. Lấy một điểm A bất kỳ trên đường tròn (O), gọi A' là điểm đối xứng với A qua một đường kính CD. Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách, và O nằm trên trục đối xứng CD, nên OA' = OA = R — tức A' cũng nằm trên đường tròn (O). Tính chất này lý giải vì sao đường tròn trông "cân đối" theo mọi hướng đi qua tâm, và sẽ còn dùng lại khi em học về dây cung ở bài sau.

Đường tròn còn mang một tính chất hình học nữa: mỗi **đường kính là một trục đối xứng** của đường tròn đó. Lấy một điểm A bất kỳ trên đường tròn (O), gọi A' là điểm đối xứng với A qua một đường kính CD. Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách, và O nằm trên trục đối xứng CD, nên OA' = OA = R — tức A' cũng nằm trên đường tròn (O). Tính chất này lý giải vì sao đường tròn trông "cân đối" theo mọi hướng đi qua tâm, và sẽ còn dùng lại khi em học về dây cung ở bài sau.

Lời giải có hình

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Bước 1

Cho tam giác ABC vuông tại A.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

1
Tam giác ABC vuông tại A có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tam giác ABC vuông tại A có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2
Theo định lí Pythagore: $BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100$ , nên $BC=10$ cm.
Theo định lí Pythagore: $BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100$, nên $BC=10$ cm.
3
Tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm O của cạnh huyền BC, và bán kính bằng nửa cạnh huyền.
4
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=BC:2=5$ cm.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=BC:2=5$ cm.

Ví dụ

Bài toán ngược: biết bán kính và một cạnh góc vuông, tìm cạnh còn lại

1
Tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp bán kính $R=6,5$ cm và $AB=5$ cm. Tính độ dài cạnh AC.
Tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp bán kính $R=6,5$ cm và $AB=5$ cm. Tính độ dài cạnh AC.
2
Vì tam giác vuông tại A nên $R=BC:2$ , suy ra $BC=2R=2\times6,5=13$ cm.
Vì tam giác vuông tại A nên $R=BC:2$, suy ra $BC=2R=2\times6,5=13$ cm.
3
$AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144$ , nên $AC=\sqrt{144}=12$ cm.
$AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144$, nên $AC=\sqrt{144}=12$ cm.
4
Vậy $AC=12$ cm.
Vậy $AC=12$ cm.

Ví dụ

Vận dụng tính đối xứng của đường tròn

1
Cho đường tròn (O) đường kính CD. Điểm A nằm trên đường tròn, A không trùng C hoặc D. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng CD. Chứng tỏ A' cũng nằm trên đường tròn (O).
2
Phép đối xứng qua một đường thẳng bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Vì O nằm trên đường thẳng CD (là đường kính), O là ảnh của chính nó qua phép đối xứng đó.
3
Vì A' là ảnh của A và O là ảnh của O qua cùng một phép đối xứng, khoảng cách OA' bằng khoảng cách OA. Mà $OA=R$ (do A thuộc đường tròn), nên $OA'=R$ .
Vì A' là ảnh của A và O là ảnh của O qua cùng một phép đối xứng, khoảng cách OA' bằng khoảng cách OA. Mà $OA=R$ (do A thuộc đường tròn), nên $OA'=R$.
4
Vậy A' cách O một khoảng đúng bằng R, tức A' cũng nằm trên đường tròn (O). Điều này đúng với mọi đường kính, nên mỗi đường kính đều là một trục đối xứng của đường tròn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhầm tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông với trọng tâm hoặc trực tâm của tam giác đó — ba điểm này hoàn toàn khác nhau trong tam giác không đều. Chỉ với tam giác VUÔNG, tâm đường tròn ngoại tiếp mới trùng với trung điểm cạnh huyền; với tam giác thường (không vuông), phải dựng đúng giao điểm ba đường trung trực, không được lấy tạm trung điểm một cạnh nào đó.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ba điểm không thẳng hàng xác định đúng một đường tròn, tâm là giao ba đường trung trực. Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền, bán kính bằng nửa cạnh huyền — và ngược lại. Mỗi đường kính là một trục đối xứng của đường tròn.

Bài học hôm nay xác định TÂM của đường tròn qua ba điểm. Bài sau đi sâu vào một đối tượng khác bên trong đường tròn — dây cung — và trả lời câu hỏi: khoảng cách từ tâm đến một dây liên hệ thế nào với độ dài của chính dây đó?