Bài học

Ôn tập kiến thức trọng tâm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp thành thạo cả hai phương pháp giải hệ, biết chọn phương pháp nhanh hơn cho một hệ cụ thể, và giải được các bài toán hệ chứa tham số kết hợp nhiều điều kiện — đúng dạng thường gặp ở câu 1 hoặc câu 2 đề tuyển sinh 10.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không đưa thêm kiến thức mới — nó hệ thống lại bốn công cụ em đã học trong cả chương: xác định số nghiệm từ hệ số, phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, và bước giải hệ chứa tham số. Cái mới duy nhất là cách GHÉP các công cụ đó lại trong cùng một bài toán, thay vì dùng riêng lẻ từng cái như ở các bài trước.

Khởi động

Cho hệ $\{3x-y=7; \ 2x+y=8\}$ . Rút y từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình sau cũng ra đúng kết quả — nhưng nhìn kỹ, hệ số của y ở hai phương trình đã đối nhau sẵn ( $-1$ và $+1$ ). Cách nào nhanh hơn trong tình huống này, và làm sao nhận ra điều đó chỉ bằng một cái liếc mắt vào đề bài, trước khi đặt bút giải?

Cho hệ $\{3x-y=7; \ 2x+y=8\}$. Rút y từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình sau cũng ra đúng kết quả — nhưng nhìn kỹ, hệ số của y ở hai phương trình đã đối nhau sẵn ($-1$ và $+1$). Cách nào nhanh hơn trong tình huống này, và làm sao nhận ra điều đó chỉ bằng một cái liếc mắt vào đề bài, trước khi đặt bút giải?

Kiến thức trọng tâm

Trước khi đặt bút giải bất kỳ hệ nào, hãy dành vài giây quan sát hệ số: nếu một ẩn có hệ số bằng 1 hoặc −1 ở một phương trình, phương pháp thế thường nhanh hơn. Nếu một ẩn đã có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau ở cả hai phương trình, phương pháp cộng đại số nhanh hơn hẳn — không phải nhân gì cả, cộng hoặc trừ trực tiếp là xong. Không có công thức bắt buộc chọn phương pháp nào; chọn đúng chỉ đến từ việc quan sát hệ số trước khi làm, một thói quen đáng luyện đến khi thành phản xạ.

Với hệ chứa tham số, kỹ năng cần luyện là giải hệ THEO m trước (biểu diễn x, y dưới dạng một biểu thức chứa m), rồi mới thay biểu thức đó vào điều kiện đề cho để tìm ra giá trị m thỏa mãn. Thứ tự này không được đảo ngược — không thể tìm m trước khi biết nghiệm phụ thuộc m như thế nào.

Một dạng câu hỏi hay gặp ở mức nâng cao vừa phải của foundation là "chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị tham số". Không cần công cụ nào mới để làm dạng này — chỉ cần giải hệ theo phương pháp thế hoặc cộng đại số như bình thường, rồi chỉ ra biểu thức nghiệm nhận được luôn xác định (mẫu số, nếu có, không bao giờ bằng 0) với MỌI giá trị của tham số.

Đề tuyển sinh 10 thường ghép cả hai kỹ năng vào một câu duy nhất: phần (a) yêu cầu giải hệ với một giá trị tham số cụ thể — chủ yếu để kiểm tra kỹ năng nền — còn phần (b) mới thật sự phân loại học sinh, vì nó đòi hỏi giải hệ TỔNG QUÁT theo tham số rồi lồng thêm một điều kiện phụ (dấu, tính nguyên, hay một đẳng thức giữa x và y). Luyện đúng thứ tự hai bước này — tổng quát trước, áp dụng điều kiện sau — là điều phân biệt một bài làm trọn điểm với một bài chỉ đúng nửa câu.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Chọn phương pháp phù hợp và thử lại bằng cách còn lại

1
Giải hệ $\{3x-y=7; \ 2x+y=8\}$ .
Giải hệ $\{3x-y=7; \ 2x+y=8\}$.
2
Hệ số của y là $-1$ và $+1$ , đối nhau — cộng vế theo vế: $(3x-y)+(2x+y)=7+8 \iff 5x=15 \iff x=3$ .
Hệ số của y là $-1$ và $+1$, đối nhau — cộng vế theo vế: $(3x-y)+(2x+y)=7+8 \iff 5x=15 \iff x=3$.
3
Thay $x=3$ vào $2x+y=8$ : $6+y=8 \iff y=2$ .
Thay $x=3$ vào $2x+y=8$: $6+y=8 \iff y=2$.
4
Từ $2x+y=8$ : $y=8-2x$ . Thay $x=3$ : $y=8-6=2$ , khớp với kết quả trên.
Từ $2x+y=8$: $y=8-2x$. Thay $x=3$: $y=8-6=2$, khớp với kết quả trên.
5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(3;2)$ (thử lại: $3(3)-2=7$ đúng).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(3;2)$ (thử lại: $3(3)-2=7$ đúng).

Ví dụ

Giải hệ theo tham số rồi áp dụng thêm một điều kiện

1
Cho hệ $\{mx-y=2; \ x+y=1\}$ . Tìm m để nghiệm $(x;y)$ của hệ thỏa mãn $x+y=2x-1$ .
Cho hệ $\{mx-y=2; \ x+y=1\}$. Tìm m để nghiệm $(x;y)$ của hệ thỏa mãn $x+y=2x-1$.
2
$(mx-y)+(x+y)=2+1 \iff (m+1)x=3$ , với $m\ne-1$ : $x=3/(m+1)$ . (1)
$(mx-y)+(x+y)=2+1 \iff (m+1)x=3$, với $m\ne-1$: $x=3/(m+1)$. (1)
3
Từ $x+y=1$ : $y=1-x=1-3/(m+1)=(m-2)/(m+1)$ . (2)
Từ $x+y=1$: $y=1-x=1-3/(m+1)=(m-2)/(m+1)$. (2)
4
$x+y=2x-1 \iff y=x-1$ (chuyển x sang, đổi dấu).
$x+y=2x-1 \iff y=x-1$ (chuyển x sang, đổi dấu).
5
$(m-2)/(m+1)=3/(m+1)-1=(2-m)/(m+1)$ . Vì hai vế cùng mẫu số khác 0, cân bằng tử số: $m-2=2-m \iff 2m=4 \iff m=2$ .
$(m-2)/(m+1)=3/(m+1)-1=(2-m)/(m+1)$. Vì hai vế cùng mẫu số khác 0, cân bằng tử số: $m-2=2-m \iff 2m=4 \iff m=2$.
6
Vậy $m=2$ , khi đó $x=1, y=0$ (thử lại: $x+y=1$ , $2x-1=1$ , bằng nhau, đúng như điều kiện đề cho).
Vậy $m=2$, khi đó $x=1, y=0$ (thử lại: $x+y=1$, $2x-1=1$, bằng nhau, đúng như điều kiện đề cho).

Ví dụ

Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi tham số

1
Cho hệ $\{x+my=1; \ mx-y=m\}$ . Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m, và tìm nghiệm đó.
Cho hệ $\{x+my=1; \ mx-y=m\}$. Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m, và tìm nghiệm đó.
2
$mx-y=m \iff y=mx-m$ . (1)
$mx-y=m \iff y=mx-m$. (1)
3
$x+m(mx-m)=1 \iff x+m^2x-m^2=1 \iff x(1+m^2)=1+m^2$ .
$x+m(mx-m)=1 \iff x+m^2x-m^2=1 \iff x(1+m^2)=1+m^2$.
4
Vì $m^2\ge0$ với mọi m, nên $1+m^2\ge1>0$ — hệ số của x không bao giờ bằng 0, dù m nhận giá trị nào.
Vì $m^2\ge0$ với mọi m, nên $1+m^2\ge1>0$ — hệ số của x không bao giờ bằng 0, dù m nhận giá trị nào.
5
Chia cả hai vế cho $1+m^2$ (luôn hợp lệ vì khác 0): $x=1$ . Thay vào (1): $y=m(1)-m=0$ .
Chia cả hai vế cho $1+m^2$ (luôn hợp lệ vì khác 0): $x=1$. Thay vào (1): $y=m(1)-m=0$.
6
Vậy với mọi giá trị của m, hệ luôn có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;0)$ — một kết quả không phụ thuộc vào m (thử lại: $1+m(0)=1$ đúng, $m(1)-0=m$ đúng).
Vậy với mọi giá trị của m, hệ luôn có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;0)$ — một kết quả không phụ thuộc vào m (thử lại: $1+m(0)=1$ đúng, $m(1)-0=m$ đúng).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Với bài toán "tìm tham số để nghiệm thỏa một điều kiện", nhiều bạn vội thay điều kiện vào MỘT trong hai phương trình gốc thay vì vào biểu thức nghiệm x, y vừa tính theo m — làm vậy chỉ ra một phương trình mới chưa chắc tương thích với cả hệ ban đầu. Luôn giải hệ theo m trước, rồi mới áp dụng điều kiện lên chính biểu thức nghiệm đó.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Quan sát hệ số trước khi chọn phương pháp: hệ số một ẩn đã bằng nhau hoặc đối nhau thì dùng cộng đại số ngay; một ẩn dễ rút thì dùng phương pháp thế. Với tham số, luôn giải hệ theo tham số trước rồi mới áp dụng điều kiện. Chứng minh nghiệm duy nhất với mọi tham số chỉ cần chỉ ra hệ số của ẩn sau khi thế không bao giờ bằng 0.

Đã ôn lại đầy đủ kỹ thuật giải hệ và biện luận theo tham số. Bài cuối của khóa học ghép mọi kỹ năng đã học — lập hệ từ đề bài thực tế lẫn giải hệ có điều kiện — thành những bài tập có cấu trúc giống hệt một câu 2 hoàn chỉnh của đề tuyển sinh 10.