Bài học

Toán năng suất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập và giải được hệ phương trình cho toán năng suất — hai vòi nước, hai đội thợ, hai máy cùng làm chung một công việc — bằng cách đặt đúng ẩn ngay từ đầu để bài toán vẫn là hệ bậc nhất, không rơi vào phương trình bậc hai.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã quen với việc đặt ẩn là vận tốc trong toán chuyển động. Toán năng suất trông có vẻ tương tự — cũng có "tốc độ làm việc" và "thời gian" — nhưng có một cái bẫy: nếu đặt ẩn là THỜI GIAN làm riêng của mỗi người (như phản xạ tự nhiên), phương trình "làm chung mất T giờ" sẽ chứa các phân số nghịch đảo của ẩn, dẫn tới một phương trình không còn là bậc nhất. Bài học hôm nay dạy đúng cách né bẫy đó.

Khởi động

Một người thợ làm xong một bức tường trong 10 ngày. Nói "năng suất của người đó là 1/10 bức tường mỗi ngày" có nghĩa gì? Nghĩa là mỗi ngày người đó hoàn thành đúng một phần mười công việc. Nếu hai người cùng làm, năng suất của họ CỘNG được với nhau trực tiếp — trong khi thời gian làm riêng của họ thì không cộng được theo cách đơn giản như vậy. Sự khác biệt này chính là lý do bài học hôm nay đặt ẩn khác hẳn bài toán chuyển động.

Kiến thức trọng tâm

Đặt ẩn là năng suất — phần công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian — chứ không phải thời gian làm riêng. Nếu gọi năng suất của đối tượng thứ nhất là x (phần việc/đơn vị thời gian) và đối tượng thứ hai là y, thì khi làm chung, năng suất chung đúng bằng tổng hai năng suất riêng: $x+y$ . Nếu đề cho biết làm chung trong T đơn vị thời gian thì xong đúng 1 công việc, ta có ngay $T(x+y)=1$ , tức $x+y=1/T$ — một phương trình BẬC NHẤT theo x, y.

**Đặt ẩn là năng suất** — phần công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian — chứ không phải thời gian làm riêng. Nếu gọi năng suất của đối tượng thứ nhất là x (phần việc/đơn vị thời gian) và đối tượng thứ hai là y, thì khi làm chung, năng suất chung đúng bằng tổng hai năng suất riêng: $x+y$. Nếu đề cho biết làm chung trong T đơn vị thời gian thì xong đúng 1 công việc, ta có ngay $T(x+y)=1$, tức $x+y=1/T$ — một phương trình BẬC NHẤT theo x, y.

Dữ kiện thứ hai của bài toán năng suất thường mô tả một giai đoạn làm việc từng phần — đối tượng này làm riêng bao lâu, sau đó đối tượng kia làm tiếp bao lâu, và tổng phần việc hoàn thành được cho trước dưới dạng một phân số của công việc. Dữ kiện đó dịch trực tiếp thành phương trình thứ hai: (số đơn vị thời gian đối tượng 1 làm) $\times x$ + (số đơn vị thời gian đối tượng 2 làm) $\times y$ = phần công việc đã hoàn thành. Cả hai phương trình đều bậc nhất theo x, y — giải xong hệ, thời gian làm riêng của mỗi đối tượng chính là NGHỊCH ĐẢO của năng suất tương ứng.

Dữ kiện thứ hai của bài toán năng suất thường mô tả một giai đoạn làm việc từng phần — đối tượng này làm riêng bao lâu, sau đó đối tượng kia làm tiếp bao lâu, và tổng phần việc hoàn thành được cho trước dưới dạng một phân số của công việc. Dữ kiện đó dịch trực tiếp thành phương trình thứ hai: (số đơn vị thời gian đối tượng 1 làm)$\times x$ + (số đơn vị thời gian đối tượng 2 làm)$\times y$ = phần công việc đã hoàn thành. Cả hai phương trình đều bậc nhất theo x, y — giải xong hệ, thời gian làm riêng của mỗi đối tượng chính là NGHỊCH ĐẢO của năng suất tương ứng.

Điều kiện của x, y luôn là dương (năng suất không thể âm hay bằng 0 — bằng 0 nghĩa là không làm được gì cả, không hợp lý khi đề bài đã cho biết đối tượng đó có tham gia công việc). Bước cuối, đổi từ năng suất sang thời gian làm riêng, là bước học sinh hay quên nhất — giải hệ ra x rồi trả lời luôn x là "số ngày", trong khi x thực chất là năng suất, còn thời gian phải tính bằng $1/x$ .

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Hai vòi nước cùng chảy vào bể

1
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ rồi khóa lại, mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 4 giờ thì cả hai vòi chảy được 3/4 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể?
2
Gọi năng suất vòi 1 là x, vòi 2 là y (phần bể/giờ; $x,y>0$ ).
Gọi năng suất vòi 1 là x, vòi 2 là y (phần bể/giờ; $x,y>0$).
3
$4$ giờ $48$ phút $=4,8$ giờ $=24/5$ giờ. Năng suất chung: $x+y=1/(24/5)=5/24$ .
$4$ giờ $48$ phút $=4,8$ giờ $=24/5$ giờ. Năng suất chung: $x+y=1/(24/5)=5/24$.
4
$3x+4y=3/4$ .
$3x+4y=3/4$.
5
Từ $x+y=5/24$ : $y=5/24-x$ . Thế vào $3x+4y=3/4$ : $3x+4(5/24-x)=3/4 \iff 3x+5/6-4x=3/4 \iff -x=3/4-5/6=-1/12 \iff x=1/12$ . Suy ra $y=5/24-1/12=1/8$ .
Từ $x+y=5/24$: $y=5/24-x$. Thế vào $3x+4y=3/4$: $3x+4(5/24-x)=3/4 \iff 3x+5/6-4x=3/4 \iff -x=3/4-5/6=-1/12 \iff x=1/12$. Suy ra $y=5/24-1/12=1/8$.
6
Thời gian vòi 1 chảy một mình: $1/x=12$ giờ. Thời gian vòi 2: $1/y=8$ giờ.
Thời gian vòi 1 chảy một mình: $1/x=12$ giờ. Thời gian vòi 2: $1/y=8$ giờ.
7
Vậy vòi 1 chảy một mình mất 12 giờ, vòi 2 chảy một mình mất 8 giờ mới đầy bể.

Ví dụ

Hai đội thợ cùng làm chung một công việc

1
Hai đội thợ cùng làm chung một công việc thì sau 6 ngày xong. Nếu đội I làm một mình trong 4 ngày rồi nghỉ, đội II làm tiếp trong 3 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 3/5 công việc. Hỏi nếu làm một mình, mỗi đội cần bao nhiêu ngày để hoàn thành?
2
Gọi năng suất đội I là x, đội II là y (phần việc/ngày; $x,y>0$ ).
Gọi năng suất đội I là x, đội II là y (phần việc/ngày; $x,y>0$).
3
Làm chung 6 ngày xong: $x+y=1/6$ . Đội I làm 4 ngày, đội II làm tiếp 3 ngày được 3/5 công việc: $4x+3y=3/5$ .
Làm chung 6 ngày xong: $x+y=1/6$. Đội I làm 4 ngày, đội II làm tiếp 3 ngày được 3/5 công việc: $4x+3y=3/5$.
4
Từ $x+y=1/6$ : $y=1/6-x$ . Thế vào $4x+3y=3/5$ : $4x+3(1/6-x)=3/5 \iff x+1/2=3/5 \iff x=1/10$ . Suy ra $y=1/6-1/10=1/15$ .
Từ $x+y=1/6$: $y=1/6-x$. Thế vào $4x+3y=3/5$: $4x+3(1/6-x)=3/5 \iff x+1/2=3/5 \iff x=1/10$. Suy ra $y=1/6-1/10=1/15$.
5
Đội I một mình: $1/x=10$ ngày. Đội II một mình: $1/y=15$ ngày.
Đội I một mình: $1/x=10$ ngày. Đội II một mình: $1/y=15$ ngày.
6
Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 10 ngày, đội II trong 15 ngày.

Ví dụ

Hai máy cùng làm một công việc, một máy làm thêm giờ đầu

1
Hai máy cùng làm một công việc thì 3 giờ xong. Nếu máy I làm một mình trong 2 giờ, sau đó cả hai máy cùng làm thêm 1 giờ nữa thì hoàn thành được 5/6 công việc. Tính thời gian mỗi máy làm một mình xong công việc.
2
Gọi năng suất máy I là x, máy II là y (phần việc/giờ; $x,y>0$ ).
Gọi năng suất máy I là x, máy II là y (phần việc/giờ; $x,y>0$).
3
$x+y=1/3$ .
$x+y=1/3$.
4
Máy I làm riêng 2 giờ, sau đó cả hai làm chung thêm 1 giờ: $2x+1\cdot(x+y)=5/6 \iff 3x+y=5/6$ .
Máy I làm riêng 2 giờ, sau đó cả hai làm chung thêm 1 giờ: $2x+1\cdot(x+y)=5/6 \iff 3x+y=5/6$.
5
Từ $x+y=1/3$ : $y=1/3-x$ . Thế vào $3x+y=5/6$ : $3x+1/3-x=5/6 \iff 2x=5/6-1/3=1/2 \iff x=1/4$ . Suy ra $y=1/3-1/4=1/12$ .
Từ $x+y=1/3$: $y=1/3-x$. Thế vào $3x+y=5/6$: $3x+1/3-x=5/6 \iff 2x=5/6-1/3=1/2 \iff x=1/4$. Suy ra $y=1/3-1/4=1/12$.
6
Máy I một mình: $1/x=4$ giờ. Máy II một mình: $1/y=12$ giờ.
Máy I một mình: $1/x=4$ giờ. Máy II một mình: $1/y=12$ giờ.
7
Vậy máy I làm một mình xong trong 4 giờ, máy II làm một mình xong trong 12 giờ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi nặng nhất ở dạng toán này là đặt nhầm ẩn thành thời gian làm riêng — khi đó phương trình "làm chung xong trong T" sẽ chứa cả x lẫn 1/x, không còn là hệ bậc nhất hai ẩn nữa. Lỗi thứ hai, nhẹ hơn nhưng vẫn phổ biến: giải hệ xong, tìm được x và y (là năng suất), rồi TRẢ LỜI LUÔN x, y là số ngày/số giờ — quên mất bước nghịch đảo cuối cùng để chuyển từ năng suất sang thời gian làm riêng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Toán năng suất: đặt ẩn là năng suất (không phải thời gian), năng suất chung bằng tổng hai năng suất riêng, mỗi giai đoạn làm riêng đóng góp một phương trình bậc nhất theo năng suất. Sau khi giải hệ, thời gian làm một mình luôn bằng nghịch đảo của năng suất tương ứng.

Sau năm bài học, em đã có đủ công cụ: nhận biết số nghiệm từ hệ số, giải hệ bằng cả hai phương pháp, và lập hệ cho bốn dạng toán thực tế phổ biến nhất. Chương ôn tập tiếp theo sẽ ghép các công cụ này lại với nhau, đúng như cách một câu 2 đề tuyển sinh 10 thật sự đòi hỏi.