Bài học

Toán chuyển động

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập và giải được hệ phương trình cho ba dạng toán chuyển động thường gặp nhất trong đề tuyển sinh 10: hai xe đi ngược chiều gặp nhau, một xe đuổi kịp xe kia, và ca nô xuôi/ngược dòng nước.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ công thức duy nhất chi phối toàn bộ bài học: quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, $s=v\cdot t$ . Từ đó suy ra $v=s/t$ và $t=s/v$ khi cần biểu diễn đại lượng còn lại. Em cũng cần đổi thành thạo phút ra giờ (chia cho 60) và đổi giờ-phút ra giờ thập phân (ví dụ 1 giờ 30 phút là 1,5 giờ) — sai một bước đổi đơn vị này là toàn bộ phương trình sau đó sai theo, dù cách lập hệ có đúng đến đâu.

Em cần nhớ công thức duy nhất chi phối toàn bộ bài học: quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, $s=v\cdot t$. Từ đó suy ra $v=s/t$ và $t=s/v$ khi cần biểu diễn đại lượng còn lại. Em cũng cần đổi thành thạo phút ra giờ (chia cho 60) và đổi giờ-phút ra giờ thập phân (ví dụ 1 giờ 30 phút là 1,5 giờ) — sai một bước đổi đơn vị này là toàn bộ phương trình sau đó sai theo, dù cách lập hệ có đúng đến đâu.

Khởi động

Hai ô tô cùng khởi hành một lúc, một xe từ A, một xe từ B, đi ngược chiều nhau trên quãng đường AB. Khi hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đã đi đúng bằng độ dài AB — dù mỗi xe đi nhanh chậm khác nhau. Nhận xét tưởng chừng hiển nhiên này chính là chìa khóa để lập phương trình đầu tiên của bài toán gặp nhau.

Kiến thức trọng tâm

Ba dạng toán chuyển động đều dùng chung công thức $s=v\cdot t$ , chỉ khác ở MỐI QUAN HỆ giữa các quãng đường. Dạng ngược chiều gặp nhau: khi khởi hành cùng lúc, tổng hai quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp nhau bằng đúng độ dài quãng đường AB. Dạng đuổi kịp (cùng chiều, khởi hành lệch giờ): khi xe sau đuổi kịp xe trước, hai xe đã đi được CÙNG một quãng đường tính từ điểm xuất phát, dù thời gian đi của mỗi xe khác nhau.

Ba dạng toán chuyển động đều dùng chung công thức $s=v\cdot t$, chỉ khác ở MỐI QUAN HỆ giữa các quãng đường. Dạng **ngược chiều gặp nhau**: khi khởi hành cùng lúc, tổng hai quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp nhau bằng đúng độ dài quãng đường AB. Dạng **đuổi kịp** (cùng chiều, khởi hành lệch giờ): khi xe sau đuổi kịp xe trước, hai xe đã đi được CÙNG một quãng đường tính từ điểm xuất phát, dù thời gian đi của mỗi xe khác nhau.

Dạng thứ ba — canô hoặc thuyền chuyển động trên dòng nước — có thêm một lớp vận tốc thứ hai: vận tốc dòng nước cộng vào vận tốc thực khi đi xuôi dòng, và trừ đi khi đi ngược dòng. Nếu gọi vận tốc thực (khi nước lặng) là x, vận tốc dòng nước là c, thì vận tốc xuôi dòng là $x+c$ , vận tốc ngược dòng là $x-c$ — cùng một quãng đường AB nhưng đi với hai vận tốc khác nhau ở hai chiều, cho ra hai phương trình độc lập, đúng đủ để lập một hệ hai ẩn.

Dạng thứ ba — canô hoặc thuyền chuyển động trên dòng nước — có thêm một lớp vận tốc thứ hai: vận tốc dòng nước cộng vào vận tốc thực khi đi xuôi dòng, và trừ đi khi đi ngược dòng. Nếu gọi vận tốc thực (khi nước lặng) là x, vận tốc dòng nước là c, thì vận tốc xuôi dòng là $x+c$, vận tốc ngược dòng là $x-c$ — cùng một quãng đường AB nhưng đi với hai vận tốc khác nhau ở hai chiều, cho ra hai phương trình độc lập, đúng đủ để lập một hệ hai ẩn.

Điểm chung của cả ba dạng: đặt ẩn là vận tốc (không phải thời gian đi hết quãng đường, vì đó thường là đại lượng đề bài đã cho sẵn), điều kiện luôn là vận tốc dương, và với dạng ca nô còn cần thêm điều kiện vận tốc thực lớn hơn vận tốc dòng nước — nếu không, ca nô không thể đi ngược dòng được.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Hai xe đi ngược chiều gặp nhau

1
Quãng đường AB dài 150 km. Lúc 6 giờ, một ô tô khởi hành từ A đến B, cùng lúc một ô tô khác khởi hành từ B đến A. Hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 30 phút. Biết vận tốc xe đi từ A lớn hơn vận tốc xe đi từ B là 10 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
2
Gọi vận tốc xe từ A là x (km/h), vận tốc xe từ B là y (km/h); $x,y>0$ .
Gọi vận tốc xe từ A là x (km/h), vận tốc xe từ B là y (km/h); $x,y>0$.
3
Thời gian đến lúc gặp nhau: $7g30-6g=1,5$ giờ. Hai xe đi ngược chiều nên tổng quãng đường bằng AB: $1,5x+1,5y=150 \iff x+y=100$ .
Thời gian đến lúc gặp nhau: $7g30-6g=1,5$ giờ. Hai xe đi ngược chiều nên tổng quãng đường bằng AB: $1,5x+1,5y=150 \iff x+y=100$.
4
$x-y=10$ .
$x-y=10$.
5
Cộng hai phương trình: $2x=110 \iff x=55$ . Thay vào $x+y=100$ : $y=45$ .
Cộng hai phương trình: $2x=110 \iff x=55$. Thay vào $x+y=100$: $y=45$.
6
Vậy vận tốc xe đi từ A là 55 km/h, vận tốc xe đi từ B là 45 km/h (cả hai đều dương, thỏa điều kiện).

Ví dụ

Xe đuổi kịp xe kia

1
Một xe đạp khởi hành từ A lúc 7 giờ. Đến 8 giờ, một xe máy cũng khởi hành từ A đuổi theo trên cùng quãng đường, với vận tốc lớn hơn vận tốc xe đạp 20 km/h. Xe máy đuổi kịp xe đạp lúc 9 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
2
Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc xe máy là y (km/h); $0<x<y$ .
Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc xe máy là y (km/h); $0<x<y$.
3
$y-x=20$ .
$y-x=20$.
4
Xe đạp đi từ 7g đến 9g30 (2,5 giờ): quãng đường $2,5x$ . Xe máy đi từ 8g đến 9g30 (1,5 giờ): quãng đường $1,5y$ .
Xe đạp đi từ 7g đến 9g30 (2,5 giờ): quãng đường $2,5x$. Xe máy đi từ 8g đến 9g30 (1,5 giờ): quãng đường $1,5y$.
5
Đuổi kịp nghĩa là cùng một vị trí, nên hai quãng đường bằng nhau: $2,5x=1,5y$ .
Đuổi kịp nghĩa là cùng một vị trí, nên hai quãng đường bằng nhau: $2,5x=1,5y$.
6
Từ $y-x=20$ : $y=x+20$ . Thế vào $2,5x=1,5y$ : $2,5x=1,5(x+20) \iff 2,5x=1,5x+30 \iff x=30$ . Suy ra $y=50$ .
Từ $y-x=20$: $y=x+20$. Thế vào $2,5x=1,5y$: $2,5x=1,5(x+20) \iff 2,5x=1,5x+30 \iff x=30$. Suy ra $y=50$.
7
Vậy vận tốc xe đạp là 30 km/h, vận tốc xe máy là 50 km/h (cả hai quãng đường đến lúc gặp đều bằng 75 km, khớp với nhau).

Ví dụ

Ca nô xuôi dòng và ngược dòng

1
Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B hết 3 giờ và ngược dòng từ B về A hết 4 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc thực của ca nô và quãng đường AB.
2
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h, $x>2$ ), quãng đường AB là y (km, $y>0$ ).
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h, $x>2$), quãng đường AB là y (km, $y>0$).
3
Vận tốc xuôi dòng là $x+2$ : $y=3(x+2)$ .
Vận tốc xuôi dòng là $x+2$: $y=3(x+2)$.
4
Vận tốc ngược dòng là $x-2$ : $y=4(x-2)$ .
Vận tốc ngược dòng là $x-2$: $y=4(x-2)$.
5
Vì cùng bằng y: $3(x+2)=4(x-2) \iff 3x+6=4x-8 \iff x=14$ . Suy ra $y=3(14+2)=48$ .
Vì cùng bằng y: $3(x+2)=4(x-2) \iff 3x+6=4x-8 \iff x=14$. Suy ra $y=3(14+2)=48$.
6
Vậy vận tốc thực của ca nô là 14 km/h, quãng đường AB dài 48 km (thử lại chiều ngược: $4(14-2)=48$ , khớp với y).
Vậy vận tốc thực của ca nô là 14 km/h, quãng đường AB dài 48 km (thử lại chiều ngược: $4(14-2)=48$, khớp với y).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất ở toán đuổi kịp: dùng chung MỘT khoảng thời gian cho cả hai xe, trong khi hai xe khởi hành lệch giờ nên thời gian đi thực tế của mỗi xe (tính đến lúc gặp nhau) là khác nhau — phải trừ đúng mốc khởi hành của từng xe. Với ca nô, lỗi thường gặp là cộng nhầm vận tốc dòng nước khi đi ngược dòng (phải TRỪ) hoặc trừ khi đi xuôi dòng (phải CỘNG) — nhớ: xuôi dòng thì nước đẩy thuyền đi nhanh hơn, ngược dòng thì nước cản thuyền lại.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Mọi bài toán chuyển động đều dựa trên $s=v\cdot t$ . Ngược chiều gặp nhau: tổng hai quãng đường bằng AB. Đuổi kịp: hai quãng đường (tính từ hai mốc thời gian khác nhau) bằng nhau. Ca nô: vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc thực cộng vận tốc dòng nước, vận tốc ngược dòng bằng vận tốc thực trừ vận tốc dòng nước.

Mọi bài toán chuyển động đều dựa trên $s=v\cdot t$. Ngược chiều gặp nhau: tổng hai quãng đường bằng AB. Đuổi kịp: hai quãng đường (tính từ hai mốc thời gian khác nhau) bằng nhau. Ca nô: vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc thực cộng vận tốc dòng nước, vận tốc ngược dòng bằng vận tốc thực trừ vận tốc dòng nước.

Chuyển động không phải dạng toán thực tế duy nhất dẫn đến một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài sau chuyển sang một bối cảnh khác — hai đội, hai vòi nước, hai máy cùng làm chung một công việc — nơi bước chọn ẩn còn quan trọng hơn cả ở đây, vì chọn sai ẩn có thể biến bài toán từ bậc nhất thành bậc hai.