Bài học

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự đặt ẩn, đặt điều kiện và lập được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ một đề bài kể bằng lời — với các dạng toán tìm hai số, toán chữ số và toán tuổi — rồi giải hệ, đối chiếu điều kiện và trả lời đúng câu hỏi đề bài.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã thành thạo cả hai cách giải một hệ đã cho sẵn: thế và cộng đại số. Bài này không dạy thêm một kỹ thuật giải mới nào — nó dạy kỹ năng khó hơn nằm TRƯỚC bước giải: biến một đoạn văn tiếng Việt thành một hệ phương trình. Em cũng cần nhớ cách biểu diễn một số có hai chữ số theo chữ số hàng chục và hàng đơn vị: nếu hàng chục là a, hàng đơn vị là b ( $0\le a\le9, 0\le b\le9, a\ne0$ ), thì số đó bằng $10a+b$ , chứ không phải $a\cdot b$ .

Em đã thành thạo cả hai cách giải một hệ đã cho sẵn: thế và cộng đại số. Bài này không dạy thêm một kỹ thuật giải mới nào — nó dạy kỹ năng khó hơn nằm TRƯỚC bước giải: biến một đoạn văn tiếng Việt thành một hệ phương trình. Em cũng cần nhớ cách biểu diễn một số có hai chữ số theo chữ số hàng chục và hàng đơn vị: nếu hàng chục là a, hàng đơn vị là b ($0\le a\le9, 0\le b\le9, a\ne0$), thì số đó bằng $10a+b$, chứ không phải $a\cdot b$.

Khởi động

Đề bài: "Tổng của hai số bằng 26, hiệu của chúng bằng 6. Tìm hai số đó." Có thể nhẩm ra ngay hai số đó không? Có thể, nhưng cách nhẩm sẽ không dùng lại được khi bài toán phức tạp hơn — mấu chốt cần học là một QUY TRÌNH cố định, dùng được cho mọi bài toán "tìm hai số" dù đề bài khác nhau đến đâu.

Kiến thức trọng tâm

Giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình luôn theo đúng sáu bước: đặt ẩn (kèm đơn vị nếu có); đặt điều kiện cho ẩn theo đúng ý nghĩa thực tế của nó (số tuổi phải dương, chữ số hàng chục phải khác 0…); lập hệ phương trình biểu diễn hai mối quan hệ mà đề bài cho; giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số; đối chiếu nghiệm với điều kiện đã đặt ở bước hai; và kết luận — trả lời ĐÚNG câu hỏi đề bài, không chỉ nêu giá trị của ẩn.

Bước dễ mất điểm nhất không phải là giải hệ, mà là bước lập hệ: đề bài cho hai dữ kiện, mỗi dữ kiện phải được dịch thành đúng một phương trình. Với bài toán chữ số, dữ kiện về giá trị của số (ví dụ 42 hay số viết ngược 24) luôn phải viết qua công thức $10a+b$ — không được nhầm số đó với chính hai chữ số của nó cộng lại. Với bài toán tuổi, mấu chốt là hiệu số tuổi giữa hai người KHÔNG đổi theo thời gian — chỉ tổng, thương hay bội số của hai tuổi mới thay đổi khi cộng thêm cùng một số năm vào cả hai.

Bước đối chiếu điều kiện tưởng như thừa, nhưng lại là bước duy nhất phát hiện một nghiệm đúng về mặt đại số nhưng vô lý về mặt thực tế — chẳng hạn một chữ số ra số âm, hay một số tuổi ra số không nguyên. Khi điều đó xảy ra, lỗi thường nằm ở chính bước lập hệ, không phải ở bước giải — nên quay lại đọc kỹ đề, không phải giải lại hệ với hy vọng ra kết quả khác.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Toán tìm hai số biết tổng và hiệu

1
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 26 và hiệu của chúng bằng 6.
2
Gọi số lớn là x, số bé là y ( $x>y>0$ ).
Gọi số lớn là x, số bé là y ($x>y>0$).
3
Tổng bằng 26: $x+y=26$ . Hiệu bằng 6: $x-y=6$ .
Tổng bằng 26: $x+y=26$. Hiệu bằng 6: $x-y=6$.
4
Cộng hai phương trình: $2x=32 \iff x=16$ . Thay vào $x+y=26$ : $y=10$ .
Cộng hai phương trình: $2x=32 \iff x=16$. Thay vào $x+y=26$: $y=10$.
5
$x=16>y=10>0$ : thỏa điều kiện đã đặt.
$x=16>y=10>0$: thỏa điều kiện đã đặt.
6
Vậy hai số cần tìm là 16 và 10.

Ví dụ

Toán chữ số

1
Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 2 đơn vị, và tổng của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại hai chữ số bằng 66. Tìm số đó.
2
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y ( $x,y\in\mathbb{N}$ , $1\le x\le9$ , $0\le y\le9$ ). Số cần tìm là $10x+y$ , số viết ngược là $10y+x$ .
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y ($x,y\in\mathbb{N}$, $1\le x\le9$, $0\le y\le9$). Số cần tìm là $10x+y$, số viết ngược là $10y+x$.
3
Hàng chục hơn hàng đơn vị 2: $x-y=2$ . Tổng số ban đầu và số ngược bằng 66: $(10x+y)+(10y+x)=66 \iff 11x+11y=66 \iff x+y=6$ .
Hàng chục hơn hàng đơn vị 2: $x-y=2$. Tổng số ban đầu và số ngược bằng 66: $(10x+y)+(10y+x)=66 \iff 11x+11y=66 \iff x+y=6$.
4
Cộng hai phương trình: $2x=8 \iff x=4$ . Thay vào $x+y=6$ : $y=2$ .
Cộng hai phương trình: $2x=8 \iff x=4$. Thay vào $x+y=6$: $y=2$.
5
$x=4\in[1;9]$ , $y=2\in[0;9]$ : thỏa điều kiện đã đặt.
$x=4\in[1;9]$, $y=2\in[0;9]$: thỏa điều kiện đã đặt.
6
Vậy số cần tìm là 42 (số viết ngược là 24, tổng $42+24=66$ , đúng như đề cho).
Vậy số cần tìm là 42 (số viết ngược là 24, tổng $42+24=66$, đúng như đề cho).

Ví dụ

Toán tuổi

1
Tuổi mẹ hiện nay hơn tuổi con 24 tuổi. Sau 2 năm nữa, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
2
Gọi tuổi mẹ hiện nay là x, tuổi con hiện nay là y (đơn vị: tuổi; $x>y>0$ ).
Gọi tuổi mẹ hiện nay là x, tuổi con hiện nay là y (đơn vị: tuổi; $x>y>0$).
3
Hiệu tuổi không đổi: $x-y=24$ . Sau 2 năm, mẹ gấp 3 lần con: $x+2=3(y+2) \iff x-3y=4$ .
Hiệu tuổi không đổi: $x-y=24$. Sau 2 năm, mẹ gấp 3 lần con: $x+2=3(y+2) \iff x-3y=4$.
4
Trừ vế theo vế: $(x-y)-(x-3y)=24-4 \iff 2y=20 \iff y=10$ . Thay vào $x-y=24$ : $x=34$ .
Trừ vế theo vế: $(x-y)-(x-3y)=24-4 \iff 2y=20 \iff y=10$. Thay vào $x-y=24$: $x=34$.
5
$x=34>y=10>0$ : thỏa điều kiện đã đặt.
$x=34>y=10>0$: thỏa điều kiện đã đặt.
6
Vậy tuổi mẹ hiện nay là 34 tuổi, tuổi con hiện nay là 10 tuổi (sau 2 năm: mẹ 36, con 12, và $36=3\times12$ , đúng như đề cho).
Vậy tuổi mẹ hiện nay là 34 tuổi, tuổi con hiện nay là 10 tuổi (sau 2 năm: mẹ 36, con 12, và $36=3\times12$, đúng như đề cho).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Với toán chữ số, rất nhiều bạn viết số có hai chữ số là $a+b$ hoặc $ab$ (phép nhân) thay vì $10a+b$ — công thức đúng phải nhân hàng chục với 10 để phản ánh đúng giá trị vị trí của nó. Với toán tuổi, lỗi phổ biến nhất là dùng nhầm hiệu tuổi TẠI THỜI ĐIỂM TƯƠNG LAI để lập phương trình tổng hay bội — trong khi hiệu tuổi giữa hai người luôn không đổi theo thời gian, chỉ tỉ số (gấp bao nhiêu lần) mới thay đổi.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Sáu bước lập hệ: đặt ẩn kèm đơn vị, đặt điều kiện đúng ý nghĩa thực tế, lập hệ từ hai dữ kiện, giải hệ, đối chiếu điều kiện, kết luận đúng câu hỏi. Số có hai chữ số hàng chục a, hàng đơn vị b viết là $10a+b$ ; hiệu tuổi giữa hai người không đổi theo thời gian.

Sáu bước lập hệ: đặt ẩn kèm đơn vị, đặt điều kiện đúng ý nghĩa thực tế, lập hệ từ hai dữ kiện, giải hệ, đối chiếu điều kiện, kết luận đúng câu hỏi. Số có hai chữ số hàng chục a, hàng đơn vị b viết là $10a+b$; hiệu tuổi giữa hai người không đổi theo thời gian.

Toán tìm số, chữ số và tuổi đều lập hệ trực tiếp từ những đại lượng đã cho sẵn. Nhưng có một họ bài toán khác — chuyển động và năng suất — mà việc khó nhất lại là CHỌN ẩn đúng ngay từ đầu, vì chọn sai (ví dụ đặt ẩn là thời gian thay vì vận tốc) có thể biến một hệ bậc nhất thành một phương trình bậc hai. Chương sau sẽ chỉ rõ cách chọn ẩn cho từng dạng.