Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em giải được một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế — kể cả khi hệ có hệ số phân số hoặc chứa tham số — và biết cách thử lại nghiệm vào cả hai phương trình ban đầu.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước đã cho em biết một hệ có nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau, nhưng đọc tọa độ giao điểm trên hình vẽ chỉ chính xác khi số đẹp. Bài này đưa việc giải hệ về đúng một kỹ năng em đã vững từ lớp 8: giải phương trình bậc nhất một ẩn. Em cũng cần nhớ cách rút một ẩn từ một đẳng thức — chẳng hạn từ $x-y=1$ suy ra $x=y+1$ — và quy tắc khử mẫu bằng cách nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Khởi động
Hệ $\{x-y=1; \ 2x+y=5\}$ có nghiệm duy nhất (bài trước đã dạy cách nhận ra điều này). Từ phương trình đầu, $x=y+1$ — nghĩa là bất cứ đâu trong hệ xuất hiện chữ x, ta đều có thể thay bằng $y+1$. Nếu thay $x=y+1$ vào chính phương trình thứ hai, hệ hai ẩn hai phương trình sẽ biến thành một phương trình chỉ còn MỘT ẩn y — một dạng toán em đã giải thành thạo.
Kiến thức trọng tâm
**Phương pháp thế** gồm bốn thao tác: rút một ẩn từ một trong hai phương trình theo ẩn còn lại; thế biểu thức vừa rút vào phương trình kia để được một phương trình bậc nhất một ẩn; giải phương trình một ẩn đó; rồi thay giá trị vừa tìm ngược lại để tính nốt ẩn còn lại. Chọn rút ẩn nào, từ phương trình nào, quyết định bài toán dễ hay khó — nên ưu tiên rút ẩn có hệ số bằng 1 hoặc −1, vì khi đó biểu thức rút ra không có mẫu số.
Khi hệ có hệ số là phân số, đừng vội thế ngay biểu thức phân số vào — nhân cả hai vế của phương trình đang xét với mẫu số chung trước, để đưa phương trình đó về dạng không còn phân số, rồi mới rút ẩn. Bước khử mẫu này không bắt buộc về mặt toán học, nhưng bỏ qua nó thường khiến bài toán rối hơn hẳn vì các bước sau đều phải cộng trừ phân số.
Khi hệ có thêm tham số (thường ký hiệu m), phương pháp thế vẫn hoạt động y hệt — chỉ là kết quả cuối cùng không còn là một con số cụ thể, mà là một biểu thức chứa m. Đây chính là kỹ năng nền để giải các bài toán dạng "tìm m để nghiệm của hệ thỏa mãn một điều kiện cho trước" — dạng câu hỏi rất quen thuộc trong đề tuyển sinh 10: trước tiên vẫn giải hệ theo m như bình thường, sau đó mới thay biểu thức nghiệm vào điều kiện đề cho để tìm ra giá trị m thỏa mãn.
Sau khi tính ra cả x lẫn y, đừng dừng lại ngay — thay cả hai giá trị vào CẢ HAI phương trình ban đầu (không chỉ phương trình dùng để tính ẩn cuối) để chắc chắn không có phép biến đổi nào bị sai dấu dọc đường. Thói quen thử lại này tốn thêm nửa phút nhưng thường là cách duy nhất phát hiện một lỗi cộng trừ nhỏ trước khi nộp bài — và trong phòng thi, nửa phút đó luôn đáng giá hơn một điểm bị trừ.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Giải hệ cơ bản bằng phương pháp thế
1
Giải hệ $\{2x+y=5; \ x-y=1\}$.
2
Từ $x-y=1$: $x=y+1$. (1)
3
$2(y+1)+y=5 \iff 2y+2+y=5 \iff 3y=3$.
4
$3y=3 \iff y=1$.
5
Từ (1): $x=y+1=1+1=2$.
6
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;1)$ (thử lại: $2(2)+1=5$ đúng, $2-1=1$ đúng).
Ví dụ
Giải hệ có hệ số phân số bằng cách khử mẫu trước khi thế
1
Giải hệ $\{x/2+y=3; \ x-y=3\}$.
2
Từ $x-y=3$: $x=y+3$. (1)
3
$(y+3)/2+y=3$. Nhân cả hai vế với 2 để khử mẫu: $(y+3)+2y=6$.
4
$3y+3=6 \iff 3y=3 \iff y=1$.
5
Từ (1): $x=y+3=1+3=4$.
6
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(4;1)$ (thử lại: $4/2+1=3$ đúng, $4-1=3$ đúng).
Ví dụ
Giải hệ chứa tham số rồi áp dụng thêm một điều kiện
1
Cho hệ $\{x+y=5; \ 2x-y=m\}$. Tìm m để nghiệm $(x;y)$ của hệ thỏa mãn $x=2y$.
2
Từ $x+y=5$: $y=5-x$. Thế vào $2x-y=m$: $2x-(5-x)=m \iff 3x-5=m \iff x=(m+5)/3$. (1)
3
$y=5-x=5-(m+5)/3=(10-m)/3$. (2)
4
Thay (1), (2) vào $x=2y$: $(m+5)/3=2 \cdot (10-m)/3 \iff m+5=2(10-m) \iff m+5=20-2m \iff 3m=15 \iff m=5$.
5
Vậy $m=5$, khi đó $x=10/3, y=5/3$ (thử lại: $x=2y \iff 10/3=2 \cdot 5/3$ đúng).
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Rút ẩn xong, nhiều bạn thế nhầm biểu thức đó trở lại CHÍNH phương trình vừa dùng để rút — làm vậy chỉ ra một đẳng thức luôn đúng (kiểu $0=0$), không tìm được ẩn nào cả. Biểu thức vừa rút phải được thế vào phương trình CÒN LẠI. Lỗi thứ hai: quên đổi dấu khi chuyển vế lúc rút ẩn — từ $x-3y=2$ mà viết nhầm $x=2-3y$ thay vì $x=3y+2$, kéo theo toàn bộ bước sau sai theo.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Phương pháp thế: rút một ẩn từ phương trình dễ rút nhất, thế vào phương trình còn lại để chỉ còn một ẩn, giải rồi thay ngược lại. Có phân số thì khử mẫu trước khi thế. Có tham số thì cứ làm y hệt các bước trên, kết quả sẽ là một biểu thức chứa tham số thay vì một con số.
Phương pháp thế hoạt động tốt khi một ẩn dễ rút — nhưng với hệ như $\{3x+2y=12; \ 5x-2y=4\}$, rút x hay y từ bất kỳ phương trình nào cũng đều ra phân số cồng kềnh. Bài sau giới thiệu một cách làm khác, tận dụng đúng điểm mạnh của hệ số 2y và −2y đối nhau trong ví dụ này: phương pháp cộng đại số.
Bài trước đã cho em biết một hệ có nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau, nhưng đọc tọa độ giao điểm trên hình vẽ chỉ chính xác khi số đẹp. Bài này đưa việc giải hệ về đúng một kỹ năng em đã vững từ lớp 8: giải phương trình bậc nhất một ẩn. Em cũng cần nhớ cách rút một ẩn từ một đẳng thức — chẳng hạn từ x−y=1 suy ra x=y+1 — và quy tắc khử mẫu bằng cách nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Hệ {x−y=1;2x+y=5} có nghiệm duy nhất (bài trước đã dạy cách nhận ra điều này). Từ phương trình đầu, x=y+1 — nghĩa là bất cứ đâu trong hệ xuất hiện chữ x, ta đều có thể thay bằng y+1. Nếu thay x=y+1 vào chính phương trình thứ hai, hệ hai ẩn hai phương trình sẽ biến thành một phương trình chỉ còn MỘT ẩn y — một dạng toán em đã giải thành thạo.
Phương pháp thế gồm bốn thao tác: rút một ẩn từ một trong hai phương trình theo ẩn còn lại; thế biểu thức vừa rút vào phương trình kia để được một phương trình bậc nhất một ẩn; giải phương trình một ẩn đó; rồi thay giá trị vừa tìm ngược lại để tính nốt ẩn còn lại. Chọn rút ẩn nào, từ phương trình nào, quyết định bài toán dễ hay khó — nên ưu tiên rút ẩn có hệ số bằng 1 hoặc −1, vì khi đó biểu thức rút ra không có mẫu số.
Khi hệ có hệ số là phân số, đừng vội thế ngay biểu thức phân số vào — nhân cả hai vế của phương trình đang xét với mẫu số chung trước, để đưa phương trình đó về dạng không còn phân số, rồi mới rút ẩn. Bước khử mẫu này không bắt buộc về mặt toán học, nhưng bỏ qua nó thường khiến bài toán rối hơn hẳn vì các bước sau đều phải cộng trừ phân số.
Khi hệ có thêm tham số (thường ký hiệu m), phương pháp thế vẫn hoạt động y hệt — chỉ là kết quả cuối cùng không còn là một con số cụ thể, mà là một biểu thức chứa m. Đây chính là kỹ năng nền để giải các bài toán dạng "tìm m để nghiệm của hệ thỏa mãn một điều kiện cho trước" — dạng câu hỏi rất quen thuộc trong đề tuyển sinh 10: trước tiên vẫn giải hệ theo m như bình thường, sau đó mới thay biểu thức nghiệm vào điều kiện đề cho để tìm ra giá trị m thỏa mãn.
Sau khi tính ra cả x lẫn y, đừng dừng lại ngay — thay cả hai giá trị vào CẢ HAI phương trình ban đầu (không chỉ phương trình dùng để tính ẩn cuối) để chắc chắn không có phép biến đổi nào bị sai dấu dọc đường. Thói quen thử lại này tốn thêm nửa phút nhưng thường là cách duy nhất phát hiện một lỗi cộng trừ nhỏ trước khi nộp bài — và trong phòng thi, nửa phút đó luôn đáng giá hơn một điểm bị trừ.
Giải hệ {2x+y=5;x−y=1}.
Từ x−y=1: x=y+1. (1)
2(y+1)+y=5⟺2y+2+y=5⟺3y=3.
3y=3⟺y=1.
Từ (1): x=y+1=1+1=2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(2;1) (thử lại: 2(2)+1=5 đúng, 2−1=1 đúng).
Giải hệ {x/2+y=3;x−y=3}.
Từ x−y=3: x=y+3. (1)
(y+3)/2+y=3. Nhân cả hai vế với 2 để khử mẫu: (y+3)+2y=6.
3y+3=6⟺3y=3⟺y=1.
Từ (1): x=y+3=1+3=4.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(4;1) (thử lại: 4/2+1=3 đúng, 4−1=3 đúng).
Cho hệ {x+y=5;2x−y=m}. Tìm m để nghiệm (x;y) của hệ thỏa mãn x=2y.
Từ x+y=5: y=5−x. Thế vào 2x−y=m: 2x−(5−x)=m⟺3x−5=m⟺x=(m+5)/3. (1)
y=5−x=5−(m+5)/3=(10−m)/3. (2)
Thay (1), (2) vào x=2y: (m+5)/3=2⋅(10−m)/3⟺m+5=2(10−m)⟺m+5=20−2m⟺3m=15⟺m=5.
Vậy m=5, khi đó x=10/3,y=5/3 (thử lại: x=2y⟺10/3=2⋅5/3 đúng).
Rút ẩn xong, nhiều bạn thế nhầm biểu thức đó trở lại CHÍNH phương trình vừa dùng để rút — làm vậy chỉ ra một đẳng thức luôn đúng (kiểu 0=0), không tìm được ẩn nào cả. Biểu thức vừa rút phải được thế vào phương trình CÒN LẠI. Lỗi thứ hai: quên đổi dấu khi chuyển vế lúc rút ẩn — từ x−3y=2 mà viết nhầm x=2−3y thay vì x=3y+2, kéo theo toàn bộ bước sau sai theo.
Phương pháp thế hoạt động tốt khi một ẩn dễ rút — nhưng với hệ như {3x+2y=12;5x−2y=4}, rút x hay y từ bất kỳ phương trình nào cũng đều ra phân số cồng kềnh. Bài sau giới thiệu một cách làm khác, tận dụng đúng điểm mạnh của hệ số 2y và −2y đối nhau trong ví dụ này: phương pháp cộng đại số.