Bài học

Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra một phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm, hiểu nghiệm của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì, và — chỉ cần nhìn vào hệ số — nói ngay hệ đó có một nghiệm, vô nghiệm hay vô số nghiệm, không cần giải hệ.

Kiến thức nền cần nhớ

Lớp 8, em đã học hàm số bậc nhất $y=ax+b$ và biết đồ thị của nó là một đường thẳng. Bài này dùng lại đúng hình ảnh đó: mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn cũng vẽ được thành một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ, chỉ khác ở cách viết — $ax+by=c$ thay vì $y=ax+b$ . Em cũng cần nhớ cách đưa một phương trình về dạng $y=ax+b$ bằng cách rút $y$ , vì hệ số góc $a$ chính là công cụ nhanh nhất để so sánh vị trí hai đường thẳng mà không cần vẽ hình.

Lớp 8, em đã học hàm số bậc nhất $y=ax+b$ và biết đồ thị của nó là một đường thẳng. Bài này dùng lại đúng hình ảnh đó: mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn cũng vẽ được thành một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ, chỉ khác ở cách viết — $ax+by=c$ thay vì $y=ax+b$. Em cũng cần nhớ cách đưa một phương trình về dạng $y=ax+b$ bằng cách rút $y$, vì hệ số góc $a$ chính là công cụ nhanh nhất để so sánh vị trí hai đường thẳng mà không cần vẽ hình.

Khởi động

Hai bạn cùng giải bài toán tìm hai số x, y thỏa hai điều kiện cho trước. Bạn Minh thử (x;y)=(1;2) và thấy đúng cả hai điều kiện. Bạn Lan thử một cặp số khác cũng đúng cả hai điều kiện luôn. Một hệ phương trình có thể có nhiều hơn một nghiệm, hay (1;2) chỉ là một cách viết may mắn trùng hợp? Muốn trả lời chắc chắn, ta cần hiểu nghiệm của một hệ hai phương trình thực ra là gì.

Kiến thức trọng tâm

Phương trình dạng $ax+by=c$ (với $a,b$ không đồng thời bằng 0) gọi là phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Một cặp số $(x_0;y_0)$ là nghiệm của phương trình nếu thay vào hai vế cho kết quả bằng nhau. Khác hẳn phương trình một ẩn (thường chỉ có hữu hạn nghiệm), một phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm — cứ chọn một giá trị x tùy ý, phương trình cho ngay giá trị y tương ứng. Tập nghiệm đó, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, chính là một đường thẳng.

Phương trình dạng $ax+by=c$ (với $a,b$ không đồng thời bằng 0) gọi là **phương trình bậc nhất hai ẩn** x, y. Một cặp số $(x_0;y_0)$ là nghiệm của phương trình nếu thay vào hai vế cho kết quả bằng nhau. Khác hẳn phương trình một ẩn (thường chỉ có hữu hạn nghiệm), một phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có **vô số nghiệm** — cứ chọn một giá trị x tùy ý, phương trình cho ngay giá trị y tương ứng. Tập nghiệm đó, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, chính là một đường thẳng.

Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hai phương trình như vậy đặt cạnh nhau. Nghiệm của hệ là cặp số thỏa mãn ĐỒNG THỜI cả hai phương trình — về mặt hình học, đó chính là điểm chung của hai đường thẳng. Nhìn theo cách này, số nghiệm của một hệ không còn là điều bí ẩn: hai đường thẳng trên mặt phẳng chỉ có đúng ba khả năng vị trí tương đối với nhau, nên một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cũng chỉ có đúng ba khả năng về số nghiệm, không hơn không kém.

Một **hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn** là hai phương trình như vậy đặt cạnh nhau. Nghiệm của hệ là cặp số thỏa mãn ĐỒNG THỜI cả hai phương trình — về mặt hình học, đó chính là điểm chung của hai đường thẳng. Nhìn theo cách này, số nghiệm của một hệ không còn là điều bí ẩn: hai đường thẳng trên mặt phẳng chỉ có đúng ba khả năng vị trí tương đối với nhau, nên một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cũng chỉ có đúng ba khả năng về số nghiệm, không hơn không kém.

Hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm khi hệ số góc của chúng khác nhau — hệ có nghiệm duy nhất. Hai đường thẳng song song (không trùng nhau) không có điểm chung nào — hệ vô nghiệm. Hai đường thẳng trùng nhau thì mọi điểm trên đường thẳng đó đều là điểm chung — hệ vô số nghiệm. So sánh các tỉ số $a_1/a_2$ , $b_1/b_2$ , $c_1/c_2$ của hai phương trình cho phép em nhận ra ngay hệ rơi vào trường hợp nào mà không cần vẽ hình hay giải hệ: hai tỉ số hệ số đầu khác nhau thì cắt nhau; hai tỉ số đó bằng nhau nhưng khác tỉ số hệ số tự do thì song song; cả ba tỉ số bằng nhau thì trùng nhau.

Hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm khi hệ số góc của chúng khác nhau — hệ có nghiệm duy nhất. Hai đường thẳng song song (không trùng nhau) không có điểm chung nào — hệ vô nghiệm. Hai đường thẳng trùng nhau thì mọi điểm trên đường thẳng đó đều là điểm chung — hệ vô số nghiệm. So sánh các tỉ số $a_1/a_2$, $b_1/b_2$, $c_1/c_2$ của hai phương trình cho phép em nhận ra ngay hệ rơi vào trường hợp nào mà không cần vẽ hình hay giải hệ: hai tỉ số hệ số đầu khác nhau thì cắt nhau; hai tỉ số đó bằng nhau nhưng khác tỉ số hệ số tự do thì song song; cả ba tỉ số bằng nhau thì trùng nhau.

Nghiệm duy nhất của hệ

\{2x-y=1; x+y=5\}

chính là tọa độ giao điểm.Nghiệm duy nhất của hệ $\{2x-y=1; x+y=5\}$ chính là tọa độ giao điểm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ hay không

1
Cặp số $(1;2)$ có là nghiệm của hệ $\{x+y=3; \ 2x-y=0\}$ không?
Cặp số $(1;2)$ có là nghiệm của hệ $\{x+y=3; \ 2x-y=0\}$ không?
2
Với $x=1,y=2$ : $x+y=1+2=3$ , đúng bằng vế phải.
Với $x=1,y=2$: $x+y=1+2=3$, đúng bằng vế phải.
3
$2x-y=2(1)-2=0$ , đúng bằng vế phải.
$2x-y=2(1)-2=0$, đúng bằng vế phải.
4
Vậy $(1;2)$ thỏa mãn ĐỒNG THỜI cả hai phương trình, nên $(1;2)$ là nghiệm của hệ đã cho.
Vậy $(1;2)$ thỏa mãn ĐỒNG THỜI cả hai phương trình, nên $(1;2)$ là nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ

Nhận ra hệ vô nghiệm từ hệ số, không cần giải

1
Không giải hệ, hãy cho biết hệ $\{2x-y=1; \ 4x-2y=3\}$ có bao nhiêu nghiệm.
Không giải hệ, hãy cho biết hệ $\{2x-y=1; \ 4x-2y=3\}$ có bao nhiêu nghiệm.
2
$a_1/a_2=2/4=1/2$ ; $b_1/b_2=(-1)/(-2)=1/2$ . Hai tỉ số này bằng nhau. (1)
$a_1/a_2=2/4=1/2$; $b_1/b_2=(-1)/(-2)=1/2$. Hai tỉ số này bằng nhau. (1)
3
$c_1/c_2=1/3$ . Rõ ràng $1/3 \ne 1/2$ . (2)
$c_1/c_2=1/3$. Rõ ràng $1/3 \ne 1/2$. (2)
4
Từ (1) và (2): hai đường thẳng song song với nhau (cùng hệ số góc, khác tung độ gốc).
5
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Ví dụ

Nhận ra hệ vô số nghiệm từ hệ số, không cần giải

1
Không giải hệ, hãy cho biết hệ $\{x-2y=3; \ -2x+4y=-6\}$ có bao nhiêu nghiệm.
Không giải hệ, hãy cho biết hệ $\{x-2y=3; \ -2x+4y=-6\}$ có bao nhiêu nghiệm.
2
$a_1/a_2=1/(-2)=-1/2$ ; $b_1/b_2=(-2)/4=-1/2$ ; $c_1/c_2=3/(-6)=-1/2$ . Cả ba tỉ số đều bằng nhau.
$a_1/a_2=1/(-2)=-1/2$; $b_1/b_2=(-2)/4=-1/2$; $c_1/c_2=3/(-6)=-1/2$. Cả ba tỉ số đều bằng nhau.
3
Ba tỉ số bằng nhau nghĩa là phương trình thứ hai chỉ là phương trình thứ nhất nhân với −2 — hai đường thẳng trùng nhau.
4
Vậy hệ đã cho vô số nghiệm.

Ví dụ

Xác định số nghiệm bằng hệ số góc, chuẩn bị cho phương pháp giải

1
Không giải hệ, hãy cho biết hệ $\{2x-y=1; \ x+y=5\}$ có bao nhiêu nghiệm, sau đó tìm nghiệm đó bằng đồ thị.
Không giải hệ, hãy cho biết hệ $\{2x-y=1; \ x+y=5\}$ có bao nhiêu nghiệm, sau đó tìm nghiệm đó bằng đồ thị.
2
Từ $2x-y=1$ : $y=2x-1$ (hệ số góc $a_1=2$ ). Từ $x+y=5$ : $y=-x+5$ (hệ số góc $a_2=-1$ ).
Từ $2x-y=1$: $y=2x-1$ (hệ số góc $a_1=2$). Từ $x+y=5$: $y=-x+5$ (hệ số góc $a_2=-1$).
3
$a_1=2\ne a_2=-1$ , nên hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm.
$a_1=2\ne a_2=-1$, nên hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm.
4
Tại giao điểm, hai vế phải bằng nhau: $2x-1=-x+5 \iff 3x=6 \iff x=2$ , suy ra $y=2(2)-1=3$ .
Tại giao điểm, hai vế phải bằng nhau: $2x-1=-x+5 \iff 3x=6 \iff x=2$, suy ra $y=2(2)-1=3$.
5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;3)$ — đúng là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;3)$ — đúng là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn chỉ kiểm tra một trong hai phương trình rồi vội kết luận một cặp số là nghiệm của hệ. Nghiệm của HỆ bắt buộc phải thỏa mãn CẢ HAI phương trình cùng lúc — đúng một phương trình mà sai phương trình còn lại thì cặp số đó vẫn không phải là nghiệm của hệ. Một lỗi khác: khi so sánh tỉ số $a_1/a_2$ và $b_1/b_2$ mà quên đổi dấu hệ số khi phương trình viết dưới dạng có dấu trừ, dẫn đến kết luận nhầm từ cắt nhau sang song song hoặc ngược lại.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ có đúng ba khả năng: nghiệm duy nhất (hai đường thẳng cắt nhau), vô nghiệm (song song) hoặc vô số nghiệm (trùng nhau) — xét bằng cách so sánh $a_1/a_2$ , $b_1/b_2$ , $c_1/c_2$ , không cần vẽ hình. Muốn kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ, phải thay vào và đúng cả hai phương trình.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ có đúng ba khả năng: nghiệm duy nhất (hai đường thẳng cắt nhau), vô nghiệm (song song) hoặc vô số nghiệm (trùng nhau) — xét bằng cách so sánh $a_1/a_2$, $b_1/b_2$, $c_1/c_2$, không cần vẽ hình. Muốn kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ, phải thay vào và đúng cả hai phương trình.

Biết một hệ có nghiệm duy nhất là một chuyện, tìm ra chính xác nghiệm đó lại là chuyện khác — vẽ đồ thị để đọc tọa độ giao điểm chỉ chính xác khi tọa độ là số đẹp. Bài sau giới thiệu một cách làm đại số, luôn cho kết quả chính xác dù nghiệm có là số lẻ: phương pháp thế.