Bài học

Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng đúng bốn hệ thức $b=a\sin B=a\cos C$ , $c=a\sin C=a\cos B$ để tính một cạnh của tam giác vuông khi biết cạnh huyền và một góc nhọn, hoặc tính cạnh góc vuông này khi biết cạnh góc vuông kia và một góc nhọn.

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng đúng bốn hệ thức $b=a\sin B=a\cos C$, $c=a\sin C=a\cos B$ để tính một cạnh của tam giác vuông khi biết cạnh huyền và một góc nhọn, hoặc tính cạnh góc vuông này khi biết cạnh góc vuông kia và một góc nhọn.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này chỉ là một cách VIẾT LẠI định nghĩa sin, cos đã học — không có kiến thức thật sự mới. Em cần nhớ: $\sin B=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ và cạnh đối của góc B (khi vuông tại A) chính là cạnh AC = b; cạnh huyền là BC = a. Chỉ cần nhân chéo mẫu số sang vế kia của định nghĩa, em có ngay một công thức tính cạnh.

Khởi động

Với tam giác quen thuộc $AB=6,AC=8,BC=10$ : $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=0,8$ . Nhân chéo: $AC=BC\times\sin B=10\times0,8=8$ — đúng bằng AC ban đầu! Có vẻ định nghĩa sin và "công thức tính cạnh" chỉ là một, được viết theo hai chiều khác nhau. Nếu vậy, ta có cần học thêm công thức mới nào không, hay chỉ cần biết CÁCH ĐỌC định nghĩa theo chiều ngược?

Với tam giác quen thuộc $AB=6,AC=8,BC=10$: $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=0,8$. Nhân chéo: $AC=BC\times\sin B=10\times0,8=8$ — đúng bằng AC ban đầu! Có vẻ định nghĩa sin và \"công thức tính cạnh\" chỉ là một, được viết theo hai chiều khác nhau. Nếu vậy, ta có cần học thêm công thức mới nào không, hay chỉ cần biết CÁCH ĐỌC định nghĩa theo chiều ngược?

Kiến thức trọng tâm

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , cạnh huyền $a=BC$ . Từ định nghĩa $\sin B=\dfrac{b}{a}$ (đối B là b=AC), nhân cả hai vế với $a$ : $b=a\sin B$ . Tương tự từ $\cos C=\dfrac{b}{a}$ (kề C cũng là b=AC, vì cạnh AC chạm đỉnh C và không phải cạnh huyền): $b=a\cos C$ . Vậy CÙNG một cạnh $b$ tính được bằng hai công thức khác nhau, vì sin của một góc luôn bằng cos của góc phụ với nó — không phải trùng hợp, mà là hệ quả trực tiếp của bài trước.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $a=BC$. Từ định nghĩa $\sin B=\dfrac{b}{a}$ (đối B là b=AC), nhân cả hai vế với $a$: $b=a\sin B$. Tương tự từ $\cos C=\dfrac{b}{a}$ (kề C cũng là b=AC, vì cạnh AC chạm đỉnh C và không phải cạnh huyền): $b=a\cos C$. Vậy CÙNG một cạnh $b$ tính được bằng hai công thức khác nhau, vì sin của một góc luôn bằng cos của góc phụ với nó — không phải trùng hợp, mà là hệ quả trực tiếp của bài trước.

Đầy đủ bốn hệ thức: $b=a\sin B=a\cos C$ và $c=a\sin C=a\cos B$ . Cách nhớ nhanh không cần học vẹt bốn công thức: cạnh góc vuông cần tìm LUÔN bằng cạnh huyền nhân với sin của góc ĐỐI DIỆN cạnh đó, hoặc bằng cạnh huyền nhân với cos của góc KỀ cạnh đó — hai cách tính ra cùng một kết quả, chọn cách nào tùy góc nào đề đã cho sẵn.

Đầy đủ bốn hệ thức: $b=a\sin B=a\cos C$ và $c=a\sin C=a\cos B$. Cách nhớ nhanh không cần học vẹt bốn công thức: cạnh góc vuông cần tìm LUÔN bằng cạnh huyền nhân với sin của góc ĐỐI DIỆN cạnh đó, hoặc bằng cạnh huyền nhân với cos của góc KỀ cạnh đó — hai cách tính ra cùng một kết quả, chọn cách nào tùy góc nào đề đã cho sẵn.

Còn khi đề cho hai cạnh góc vuông thay vì cạnh huyền? Dùng $\tan$ hoặc $\cot$ trực tiếp: $b=c\cdot\tan B$ (vì $\tan B=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}=\dfrac{b}{c}$ ), không cần tính cạnh huyền trước. Chọn hệ thức nào phụ thuộc hoàn toàn vào đề đã cho sẵn hai đại lượng nào trong ba (hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc).

Còn khi đề cho hai cạnh góc vuông thay vì cạnh huyền? Dùng $\tan$ hoặc $\cot$ trực tiếp: $b=c\cdot\tan B$ (vì $\tan B=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}=\dfrac{b}{c}$), không cần tính cạnh huyền trước. Chọn hệ thức nào phụ thuộc hoàn toàn vào đề đã cho sẵn hai đại lượng nào trong ba (hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc).

Lời giải có hình

Hệ thức b = a·sinB = a·cosC trong tam giác vuông ABC

Bước 1

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, AC = 8, BC = 10 (cạnh huyền a).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính hai cạnh góc vuông từ cạnh huyền và hai tỉ số lượng giác

1
Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 10 cm, biết sinB = 0,8 và cosB = 0,6. Tính AC và AB.
2
$AC=BC\cdot\sin B=10\times0,8=8$ cm.
$AC=BC\cdot\sin B=10\times0,8=8$ cm.
3
$AB=BC\cdot\cos B=10\times0,6=6$ cm.
$AB=BC\cdot\cos B=10\times0,6=6$ cm.
4
Vậy AC = 8 cm, AB = 6 cm (đúng bằng tam giác quen thuộc).

Ví dụ

Tính cạnh khi góc không đặc biệt, dùng máy tính

1
Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 15 cm, góc B = 40°. Tính AC, AB (làm tròn đến hàng phần mười).
2
$\sin40^\circ\approx0,6428$ , $\cos40^\circ\approx0,7660$ .
$\sin40^\circ\approx0,6428$, $\cos40^\circ\approx0,7660$.
3
$AC=BC\cdot\sin B\approx15\times0,6428\approx9,6$ cm.
$AC=BC\cdot\sin B\approx15\times0,6428\approx9,6$ cm.
4
$AB=BC\cdot\cos B\approx15\times0,7660\approx11,5$ cm.
$AB=BC\cdot\cos B\approx15\times0,7660\approx11,5$ cm.
5
Vậy AC ≈ 9,6 cm, AB ≈ 11,5 cm (kết quả gần đúng do đã làm tròn từ đầu).

Ví dụ

Bài toán dạng thi — kết hợp hệ thức cạnh-góc với hệ thức đường cao

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 10 cm, góc B = 30°. Tính BC, AC, AH (giữ dạng căn nếu cần, làm tròn đến hàng phần mười nếu là số thập phân).
2
$\cos B=\dfrac{AB}{BC} \Rightarrow BC=\dfrac{AB}{\cos B}=\dfrac{10}{\frac{\sqrt3}2}=\dfrac{20\sqrt3}{3}\approx11,5$ cm.
$\cos B=\dfrac{AB}{BC} \Rightarrow BC=\dfrac{AB}{\cos B}=\dfrac{10}{\frac{\sqrt3}2}=\dfrac{20\sqrt3}{3}\approx11,5$ cm.
3
$\tan B=\dfrac{AC}{AB} \Rightarrow AC=AB\cdot\tan B=10\times\dfrac{\sqrt3}3=\dfrac{10\sqrt3}{3}\approx5,8$ cm.
$\tan B=\dfrac{AC}{AB} \Rightarrow AC=AB\cdot\tan B=10\times\dfrac{\sqrt3}3=\dfrac{10\sqrt3}{3}\approx5,8$ cm.
4
$AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=AB\cdot\sin B=10\times\dfrac12=5$ cm (một cách tính nhanh: đường cao bằng cạnh kề nhân sin góc kề đó).
$AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=AB\cdot\sin B=10\times\dfrac12=5$ cm (một cách tính nhanh: đường cao bằng cạnh kề nhân sin góc kề đó).
5
Vậy $BC=\dfrac{20\sqrt3}{3}\approx11,5$ cm, $AC=\dfrac{10\sqrt3}{3}\approx5,8$ cm, $AH=5$ cm.
Vậy $BC=\dfrac{20\sqrt3}{3}\approx11,5$ cm, $AC=\dfrac{10\sqrt3}{3}\approx5,8$ cm, $AH=5$ cm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là dùng nhầm sin thay cho cos (hoặc ngược lại) vì quên xác định cạnh cần tìm là cạnh ĐỐI hay cạnh KỀ của góc đã cho. Một lỗi khác chỉ xảy ra với góc đặc biệt (30°, 45°, 60°): làm tròn giá trị đặc biệt thành số thập phân thay vì giữ dạng căn chính xác — với góc thường (như 40°) thì bắt buộc dùng máy tính và làm tròn, nhưng với góc đặc biệt, đề bài thường yêu cầu giữ nguyên dạng căn để đáp số chính xác tuyệt đối.

Trước khi thay số, luôn viết công thức bằng CHỮ trước (ví dụ: cạnh cần tìm = cạnh huyền × sin của góc đối diện), rồi mới thay giá trị vào — bước trung gian này chỉ mất vài giây nhưng loại bỏ gần hết những lỗi chọn nhầm sin/cos kể trên, vì em buộc phải xác định rõ vai trò của cạnh trước khi tính bất cứ điều gì.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cạnh góc vuông = cạnh huyền × sin(góc đối) = cạnh huyền × cos(góc kề). Nếu chỉ biết cạnh góc vuông kia, dùng tan(góc đối) hoặc cot(góc kề) thay cho cạnh huyền. Với góc đặc biệt, giữ dạng căn; với góc thường, dùng máy tính và làm tròn theo yêu cầu đề bài.

Bốn hệ thức hôm nay giải quyết bài toán "biết cạnh và góc, tìm cạnh khác" — ứng dụng lớn nhất của chúng nằm ngoài trang giấy: đo chiều cao một cái cây, một toà nhà, hay khoảng cách một con sông, mà không cần chạm tới vật đó. Bài cuối chương đưa những hệ thức này ra thực địa.