Bài học

Tỉ số lượng giác của góc đặc biệt và hai góc phụ nhau

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thuộc và tính lại nhanh giá trị $\sin,\cos,\tan$ của ba góc đặc biệt 30°, 45°, 60° từ hai tam giác dựng được (đều và vuông cân), và áp dụng đúng tính chất hai góc phụ nhau để chuyển đổi giữa tỉ số của một góc và tỉ số của góc bù 90° với nó.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ định nghĩa bốn tỉ số lượng giác vừa học ở bài trước, tính chất tam giác đều (ba cạnh bằng nhau, ba góc đều 60°, đường cao từ một đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đối diện), và tam giác vuông cân (hai cạnh góc vuông bằng nhau, hai góc nhọn đều 45°). Hai loại tam giác này là chìa khoá để tính chính xác — không cần máy tính — ba góc đặc biệt xuất hiện thường xuyên nhất trong đề bài.

Khởi động

Một tam giác đều cạnh 2 đơn vị được cắt đôi bằng một đường cao. Nửa tam giác đó là một tam giác vuông có góc 30°, góc 60°, và góc vuông — với cạnh huyền vẫn giữ nguyên độ dài 2, cạnh ngắn nhất bằng đúng nửa cạnh huyền (do tính chất trung tuyến của tam giác đều). Từ hai con số đó, liệu có tính ngay được sin và cos của 30° mà không cần đo đường cao?

Kiến thức trọng tâm

Dựng tam giác đều $ABD$ cạnh 2 đơn vị, kẻ đường cao $AH$ xuống $BD$ . Vì tam giác đều nên đường cao $AH$ đồng thời là trung tuyến: $H$ là trung điểm $BD$ , tức $BH=HD=1$ . Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông $ABH$ : $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3$ . Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có góc $B=60^\circ$ (góc của tam giác đều) và góc $BAH=30^\circ$ (đường cao chia đôi góc đỉnh 60° của tam giác đều), nên đây chính là tam giác đặc biệt 30°-60°-90°.

Dựng tam giác đều $ABD$ cạnh 2 đơn vị, kẻ đường cao $AH$ xuống $BD$. Vì tam giác đều nên đường cao $AH$ đồng thời là trung tuyến: $H$ là trung điểm $BD$, tức $BH=HD=1$. Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông $ABH$: $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3$. Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có góc $B=60^\circ$ (góc của tam giác đều) và góc $BAH=30^\circ$ (đường cao chia đôi góc đỉnh 60° của tam giác đều), nên đây chính là tam giác đặc biệt 30°-60°-90°.

Từ tam giác đó: $\sin60^\circ=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\cos60^\circ=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac12$ , và theo tính chất phụ nhau (dưới đây) $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12$ , $\cos30^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Với 45°, dựng tam giác vuông cân hai cạnh góc vuông bằng 1, cạnh huyền bằng $\sqrt2$ (Pythagore): $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\tan45^\circ=1$ .

Từ tam giác đó: $\sin60^\circ=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos60^\circ=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac12$, và theo tính chất phụ nhau (dưới đây) $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12$, $\cos30^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Với 45°, dựng tam giác vuông cân hai cạnh góc vuông bằng 1, cạnh huyền bằng $\sqrt2$ (Pythagore): $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\tan45^\circ=1$.

Tính chất hai góc phụ nhau (tổng bằng $90^\circ$ ) là công cụ quan trọng thứ hai của bài: nếu $\alpha+\beta=90^\circ$ thì $\sin\alpha=\cos\beta$ , $\cos\alpha=\sin\beta$ , $\tan\alpha=\cot\beta$ , $\cot\alpha=\tan\beta$ . Tính chất này đúng với MỌI cặp góc phụ nhau, không chỉ ba góc đặc biệt — nó chính là lý do sin của một góc trong tam giác vuông luôn bằng cos của góc nhọn còn lại, như em đã thấy ở bài trước.

Tính chất hai góc phụ nhau (tổng bằng $90^\circ$) là công cụ quan trọng thứ hai của bài: nếu $\alpha+\beta=90^\circ$ thì $\sin\alpha=\cos\beta$, $\cos\alpha=\sin\beta$, $\tan\alpha=\cot\beta$, $\cot\alpha=\tan\beta$. Tính chất này đúng với MỌI cặp góc phụ nhau, không chỉ ba góc đặc biệt — nó chính là lý do sin của một góc trong tam giác vuông luôn bằng cos của góc nhọn còn lại, như em đã thấy ở bài trước.

Lời giải có hình

Tam giác đều cạnh 2 chia đôi bằng đường cao cho tam giác 30°-60°-90°

Bước 1

Vẽ tam giác đều ABD, mỗi cạnh dài 2 đơn vị.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Lập bảng tỉ số lượng giác ba góc đặc biệt

1
Từ tam giác đều cạnh 2 (góc 30°, 60°) và tam giác vuông cân cạnh góc vuông 1 (góc 45°), lập bảng sin, cos, tan của 30°, 45°, 60°.
2
$\sin30^\circ=\dfrac12$ , $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ , $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3$ ; $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ , $\cos60^\circ=\dfrac12$ , $\tan60^\circ=\sqrt3$ .
$\sin30^\circ=\dfrac12$, $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$, $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3$; $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$, $\cos60^\circ=\dfrac12$, $\tan60^\circ=\sqrt3$.
3
Cạnh huyền $=\sqrt2$ : $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2$ , $\tan45^\circ=1$ .
Cạnh huyền $=\sqrt2$: $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2$, $\tan45^\circ=1$.
4
Bảng giá trị: 30° → ( $\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac{\sqrt3}3$ ); 45° → ( $\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2,1$ ); 60° → ( $\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac12,\sqrt3$ ).
Bảng giá trị: 30° → ($\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac{\sqrt3}3$); 45° → ($\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2,1$); 60° → ($\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac12,\sqrt3$).

Ví dụ

Áp dụng tính chất hai góc phụ nhau

1
So sánh tan30° và cot60°, không tính giá trị số cụ thể.
2
$30^\circ+60^\circ=90^\circ$ nên 30° và 60° là hai góc phụ nhau.
$30^\circ+60^\circ=90^\circ$ nên 30° và 60° là hai góc phụ nhau.
3
Theo tính chất phụ nhau: $\tan30^\circ=\cot60^\circ$ (tan của góc này bằng cot của góc phụ với nó).
Theo tính chất phụ nhau: $\tan30^\circ=\cot60^\circ$ (tan của góc này bằng cot của góc phụ với nó).
4
Vậy $\tan30^\circ=\cot60^\circ$ — hai tỉ số này bằng nhau (đều bằng $\dfrac{\sqrt3}3$ ).
Vậy $\tan30^\circ=\cot60^\circ$ — hai tỉ số này bằng nhau (đều bằng $\dfrac{\sqrt3}3$).

Ví dụ

Bài toán dạng thi — tính giá trị biểu thức không dùng máy tính

1
Tính giá trị biểu thức $A=\sin30^\circ\cdot\cos60^\circ+\sin60^\circ\cdot\cos30^\circ$ (không dùng máy tính).
Tính giá trị biểu thức $A=\sin30^\circ\cdot\cos60^\circ+\sin60^\circ\cdot\cos30^\circ$ (không dùng máy tính).
2
$A=\dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac{\sqrt3}2$ .
$A=\dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac{\sqrt3}2$.
3
$A=\dfrac14+\dfrac34$ .
$A=\dfrac14+\dfrac34$.
4
$A=\dfrac14+\dfrac34=1$ .
$A=\dfrac14+\dfrac34=1$.
5
Vậy $A=1$ .
Vậy $A=1$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhớ lẫn giá trị của 30° và 60° cho nhau (nhầm $\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ thay vì $\dfrac12$ ). Cách tránh: nhớ rằng góc CÀNG LỚN thì sin CÀNG LỚN (trong khoảng 0°-90°) — vì vậy sin60° (khoảng 0,87) phải lớn hơn sin30° (bằng 0,5), không thể ngược lại. Một lỗi khác: áp dụng tính chất phụ nhau sai chiều, viết $\sin\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)$ thay vì $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — hàm số đổi tên (sin thành cos, tan thành cot) khi chuyển sang góc phụ, chứ không giữ nguyên tên.

Nhiều bạn nhớ lẫn giá trị của 30° và 60° cho nhau (nhầm $\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ thay vì $\dfrac12$). Cách tránh: nhớ rằng góc CÀNG LỚN thì sin CÀNG LỚN (trong khoảng 0°-90°) — vì vậy sin60° (khoảng 0,87) phải lớn hơn sin30° (bằng 0,5), không thể ngược lại. Một lỗi khác: áp dụng tính chất phụ nhau sai chiều, viết $\sin\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)$ thay vì $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — hàm số đổi tên (sin thành cos, tan thành cot) khi chuyển sang góc phụ, chứ không giữ nguyên tên.

Một mẹo nhớ khác cho ba giá trị tan: $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3\approx0,58$ (nhỏ hơn 1, vì góc 30° nhỏ nên cạnh đối ngắn hơn cạnh kề), $\tan45^\circ=1$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau), $\tan60^\circ=\sqrt3\approx1,73$ (lớn hơn 1, vì góc 60° lớn nên cạnh đối dài hơn cạnh kề). Ba giá trị này TĂNG DẦN đúng theo chiều góc tăng dần — một quy luật chung của hàm tan trên khoảng góc nhọn, giúp em phát hiện ngay nếu nhớ nhầm thứ tự.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

30°: ( $\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac{\sqrt3}3$ ); 45°: ( $\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2,1$ ); 60°: ( $\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac12,\sqrt3$ ) theo thứ tự (sin, cos, tan). Hai góc phụ nhau: sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia — tên hàm đổi chéo khi chuyển góc.

30°: ($\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac{\sqrt3}3$); 45°: ($\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2,1$); 60°: ($\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac12,\sqrt3$) theo thứ tự (sin, cos, tan). Hai góc phụ nhau: sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia — tên hàm đổi chéo khi chuyển góc.

Em đã biết định nghĩa và giá trị đặc biệt của bốn tỉ số lượng giác — bước tiếp theo là dùng chúng để tính THẲNG một cạnh của tam giác vuông khi biết cạnh kia và một góc, hoặc tính góc khi biết hai cạnh. Đó chính là nội dung chương tiếp theo: hệ thức giữa cạnh và góc. Ba giá trị 30°, 45°, 60° hôm nay sẽ còn quay lại liên tục ở đó, vì phần lớn bài toán đo đạc thực tế trong đề thi đều cố tình chọn một trong ba góc này để đáp số ra đẹp.