Bài học

Ứng dụng đo chiều cao, khoảng cách bằng góc nâng, góc hạ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dựng đúng mô hình tam giác vuông từ một tình huống đo đạc thực tế có góc nâng (nhìn lên) hoặc góc hạ (nhìn xuống), và tính được chiều cao hoặc khoảng cách không thể đo trực tiếp, kể cả khi phải cộng thêm chiều cao mắt người quan sát.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần thành thạo hệ thức $b=a\sin B$ và đặc biệt là $\tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$ từ hai bài trước. Em cũng cần biết khái niệm góc nâng: góc tạo bởi tia nhìn từ mắt người quan sát đến một điểm cao hơn, với đường nằm ngang đi qua mắt người đó. Góc hạ định nghĩa tương tự nhưng cho điểm thấp hơn đường nằm ngang.

Khởi động

Một người đứng cách gốc cây 20 m, nhìn thấy ngọn cây dưới góc nâng 35° so với phương nằm ngang (bỏ qua chiều cao mắt người quan sát). Khoảng cách 20 m và góc 35° đều đo được dễ dàng bằng thước dây và giác kế — còn chiều cao cây thì không thể đo trực tiếp nếu không trèo lên. Ba đại lượng này lại tạo thành đúng một tam giác vuông quen thuộc.

Kiến thức trọng tâm

Mọi bài toán đo đạc gián tiếp bằng góc nâng/góc hạ đều dựng theo cùng một mô hình: khoảng cách nằm ngang từ người quan sát đến chân vật là một cạnh góc vuông (cạnh KỀ góc nâng), chiều cao của vật (tính từ tầm mắt) là cạnh góc vuông còn lại (cạnh ĐỐI góc nâng), và tia nhìn là cạnh huyền. Vì đã biết cạnh kề và góc, công cụ đúng là $\tan$ : $\tan(\text{góc nâng})=\dfrac{\text{chiều cao}}{\text{khoảng cách}}$ , suy ra chiều cao = khoảng cách × tan(góc nâng).

Mọi bài toán đo đạc gián tiếp bằng góc nâng/góc hạ đều dựng theo cùng một mô hình: khoảng cách nằm ngang từ người quan sát đến chân vật là một cạnh góc vuông (cạnh KỀ góc nâng), chiều cao của vật (tính từ tầm mắt) là cạnh góc vuông còn lại (cạnh ĐỐI góc nâng), và tia nhìn là cạnh huyền. Vì đã biết cạnh kề và góc, công cụ đúng là $\tan$: $\tan(\text{góc nâng})=\dfrac{\text{chiều cao}}{\text{khoảng cách}}$, suy ra chiều cao = khoảng cách × tan(góc nâng).

Điểm dễ bỏ sót nhất: góc nâng luôn đo TỪ MẮT người quan sát, không phải từ mặt đất. Khi đề cho biết chiều cao mắt người đáng kể (ví dụ 1,5 m — 1,6 m), chiều cao tính được từ công thức tan chỉ là phần TỪ TẦM MẮT trở lên — phải cộng thêm chiều cao mắt người quan sát vào kết quả mới ra chiều cao thật của toàn bộ vật. Bài toán nào không nhắc đến chiều cao người quan sát, mặc định coi là bỏ qua (người đứng sát đất, hoặc dùng giác kế đặt trên chân đế thấp).

Lời giải có hình

Đo chiều cao cây bằng góc nâng từ một điểm quan sát

Bước 1

Người quan sát đứng tại P, cách gốc cây F một khoảng PF = 20 m (bỏ qua chiều cao mắt).

giả thiết đề bài

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Đo chiều cao cây bằng góc nâng (bỏ qua chiều cao mắt)

1
Một người đứng cách gốc cây 20 m, nhìn thấy ngọn cây dưới góc nâng 35° (bỏ qua chiều cao mắt người quan sát). Tính chiều cao cây (làm tròn đến hàng phần mười).
2
Khoảng cách 20 m là cạnh kề góc nâng, chiều cao cây là cạnh đối, tia nhìn là cạnh huyền; tam giác vuông tại chân cây.
3
$\tan35^\circ\approx0,7002 \Rightarrow h=20\times0,7002\approx14,004$ m.
$\tan35^\circ\approx0,7002 \Rightarrow h=20\times0,7002\approx14,004$ m.
4
Làm tròn đến hàng phần mười: h ≈ 14,0 m.
5
Vậy cây cao khoảng 14,0 m.

Ví dụ

Tìm góc nâng từ chiều cao và bóng đổ

1
Một cột đèn cao 6 m đổ bóng dài 8 m trên mặt đất khi có nắng. Tính góc nâng α của tia nắng so với mặt đất (làm tròn đến độ).
2
Chiều cao cột (cạnh đối) và bóng đổ (cạnh kề) vuông góc nhau; tia nắng đóng vai trò cạnh huyền, góc α là góc giữa tia nắng và mặt đất.
3
$\tan\alpha=\dfrac{6}{8}=0,75$ .
$\tan\alpha=\dfrac{6}{8}=0,75$.
4
$\alpha=\arctan(0,75)\approx36,87^\circ\approx37^\circ$ (làm tròn đến độ).
$\alpha=\arctan(0,75)\approx36,87^\circ\approx37^\circ$ (làm tròn đến độ).
5
Vậy góc nâng của tia nắng khoảng 37°.

Ví dụ

Bài toán dạng thi — có tính đến chiều cao mắt người quan sát

1
Một người cao 1,6 m đứng cách chân toà nhà 30 m, nhìn thấy đỉnh toà nhà dưới góc nâng 50° so với phương ngang qua mắt. Tính chiều cao toà nhà (làm tròn đến hàng phần mười).
2
Cạnh kề là khoảng cách 30 m, góc nâng 50° đo từ tầm mắt người (cao 1,6 m so với đất), nên tam giác vuông cho phần chiều cao TỪ TẦM MẮT trở lên.
3
$\tan50^\circ\approx1,1918 \Rightarrow h_1=30\times1,1918\approx35,75$ m.
$\tan50^\circ\approx1,1918 \Rightarrow h_1=30\times1,1918\approx35,75$ m.
4
Chiều cao toà nhà $=h_1+1,6\approx35,75+1,6=37,35$ m. (1)
Chiều cao toà nhà $=h_1+1,6\approx35,75+1,6=37,35$ m. (1)
5
Từ (1), làm tròn đến hàng phần mười: chiều cao ≈ 37,4 m.
6
Vậy toà nhà cao khoảng 37,4 m — nếu bỏ quên cộng 1,6 m chiều cao mắt, đáp số sẽ thiếu, một lỗi rất hay gặp ở dạng bài này.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi nặng nhất là quên cộng chiều cao mắt người quan sát khi đề cho biết thông tin đó — kết quả tính từ tam giác vuông chỉ là phần TỪ TẦM MẮT trở lên, không phải chiều cao thật của cả vật. Lỗi thứ hai: nhầm góc nâng với góc ở đỉnh vật (góc nâng luôn đo tại vị trí người quan sát, không phải tại đỉnh cây hay đỉnh toà nhà).

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chiều cao = khoảng cách nằm ngang × tan(góc nâng); nếu biết cạnh huyền (dây, tia nhìn) thì chiều cao = cạnh huyền × sin(góc). Luôn cộng thêm chiều cao mắt người quan sát khi đề cho biết, và luôn kiểm tra góc đo từ đúng vị trí (tầm mắt, không phải mặt đất).

Chương này khép lại bộ công cụ hệ thức lượng trong tam giác vuông — từ hình chiếu, đường cao, Pythagore, đến tỉ số lượng giác và hệ thức cạnh-góc. Bài ôn tập cuối khoá sẽ ghép TẤT CẢ các công cụ đó vào chung một bài toán tổng hợp, đúng phong cách câu hình học của đề tuyển sinh vào lớp 10.