Bài học

Định nghĩa sin, cos, tan, cot

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em định nghĩa đúng bốn tỉ số lượng giác $\sin, \cos, \tan, \cot$ của một góc nhọn trong tam giác vuông theo cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền, và tính được tỉ số lượng giác của một góc khi biết độ dài các cạnh hoặc khi biết một tỉ số lượng giác khác của cùng góc đó.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhận diện đúng ba cạnh của một tam giác vuông theo VỊ TRÍ của chúng so với một góc nhọn đang xét: cạnh huyền (luôn là cạnh dài nhất, đối diện góc vuông), cạnh kề (cạnh góc vuông tạo thành góc đang xét cùng với cạnh huyền), và cạnh đối (cạnh góc vuông còn lại, không chạm đỉnh của góc đang xét). Vị trí này thay đổi tuỳ theo em đang xét góc nào — cùng một cạnh có thể là "đối" với góc này nhưng lại là "kề" với góc kia.

Khởi động

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, $BC=10$ cm (số liệu quen thuộc từ chương trước). Với góc $B$ , cạnh $AC$ nằm đối diện đỉnh $B$ , còn cạnh $AB$ thì kề với góc $B$ . Tỉ số $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=0,8$ có phải là một đại lượng đặc trưng riêng cho góc $B$ hay không — tức là nếu vẽ một tam giác vuông KHÁC nhưng vẫn có góc B giữ nguyên số đo, tỉ số đó có còn bằng 0,8 hay không?

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, $BC=10$ cm (số liệu quen thuộc từ chương trước). Với góc $B$, cạnh $AC$ nằm đối diện đỉnh $B$, còn cạnh $AB$ thì kề với góc $B$. Tỉ số $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=0,8$ có phải là một đại lượng đặc trưng riêng cho góc $B$ hay không — tức là nếu vẽ một tam giác vuông KHÁC nhưng vẫn có góc B giữ nguyên số đo, tỉ số đó có còn bằng 0,8 hay không?

Kiến thức trọng tâm

Với góc nhọn $\alpha$ trong một tam giác vuông, bốn tỉ số lượng giác được định nghĩa:

$\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}} \qquad \cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}} \qquad \tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}} \qquad \cot\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}$

$$\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}} \qquad \cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}} \qquad \tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}} \qquad \cot\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}$$

Vì mọi tam giác vuông có cùng một góc nhọn α đều đồng dạng với nhau (hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng), nên các tỉ số cạnh này không phụ thuộc vào kích thước tam giác — chỉ phụ thuộc vào số đo góc α. Đó là lý do bốn tỉ số này XỨNG ĐÁNG có một cái tên và ký hiệu riêng: chúng là những đặc trưng CHỈ CỦA GÓC, không phải của một tam giác cụ thể nào.

Hai hệ thức nền tảng liên hệ bốn tỉ số với nhau, dùng suốt cả khóa: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ (với mọi góc nhọn α), và $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (suy ra $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$ ). Nhờ đó, chỉ cần biết MỘT tỉ số lượng giác của một góc, em tính được cả ba tỉ số còn lại mà không cần biết độ dài cạnh nào của tam giác.

Hai hệ thức nền tảng liên hệ bốn tỉ số với nhau, dùng suốt cả khóa: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ (với mọi góc nhọn α), và $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (suy ra $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$). Nhờ đó, chỉ cần biết MỘT tỉ số lượng giác của một góc, em tính được cả ba tỉ số còn lại mà không cần biết độ dài cạnh nào của tam giác.

Lời giải có hình

Cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền của góc B trong tam giác vuông ABC

Bước 1

Vẽ tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính cả bốn tỉ số lượng giác của hai góc nhọn

1
Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tính sin, cos, tan, cot của góc B và góc C.
2
Đối B là AC, kề B là AB, huyền là BC: $\sin B=\dfrac{8}{10}=0,8$ ; $\cos B=\dfrac{6}{10}=0,6$ ; $\tan B=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$ ; $\cot B=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$ .
Đối B là AC, kề B là AB, huyền là BC: $\sin B=\dfrac{8}{10}=0,8$; $\cos B=\dfrac{6}{10}=0,6$; $\tan B=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$; $\cot B=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$.
3
Đối C là AB, kề C là AC: $\sin C=\dfrac{6}{10}=0,6$ ; $\cos C=\dfrac{8}{10}=0,8$ ; $\tan C=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$ ; $\cot C=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$ .
Đối C là AB, kề C là AC: $\sin C=\dfrac{6}{10}=0,6$; $\cos C=\dfrac{8}{10}=0,8$; $\tan C=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$; $\cot C=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$.
4
$\sin B=\cos C$ và $\cos B=\sin C$ — hai góc B, C phụ nhau (cùng bằng 90° khi cộng lại) nên tỉ số của góc này bằng tỉ số "chéo" của góc kia.
$\sin B=\cos C$ và $\cos B=\sin C$ — hai góc B, C phụ nhau (cùng bằng 90° khi cộng lại) nên tỉ số của góc này bằng tỉ số \"chéo\" của góc kia.
5
Vậy sinB=0,8; cosB=0,6; tanB=4/3; cotB=3/4 và sinC=0,6; cosC=0,8; tanC=3/4; cotC=4/3.

Ví dụ

Tìm cạnh từ một tỉ số lượng giác đã cho

1
Tam giác DEF vuông tại D, biết $\sin E=\dfrac{5}{13}$ , cạnh huyền $EF=26$ cm. Tính DF (cạnh đối góc E) và DE (cạnh kề góc E).
Tam giác DEF vuông tại D, biết $\sin E=\dfrac{5}{13}$, cạnh huyền $EF=26$ cm. Tính DF (cạnh đối góc E) và DE (cạnh kề góc E).
2
$\sin E=\dfrac{DF}{EF} \Rightarrow DF=EF\cdot\sin E=26\times\dfrac{5}{13}=10$ cm.
$\sin E=\dfrac{DF}{EF} \Rightarrow DF=EF\cdot\sin E=26\times\dfrac{5}{13}=10$ cm.
3
$DE=\sqrt{EF^2-DF^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$ cm.
$DE=\sqrt{EF^2-DF^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$ cm.
4
$\cos E=\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{24}{26}=\dfrac{12}{13}$ ; kiểm tra $\sin^2E+\cos^2E=\left(\dfrac{5}{13}\right)^2+\left(\dfrac{12}{13}\right)^2=\dfrac{25+144}{169}=1$ — đúng.
$\cos E=\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{24}{26}=\dfrac{12}{13}$; kiểm tra $\sin^2E+\cos^2E=\left(\dfrac{5}{13}\right)^2+\left(\dfrac{12}{13}\right)^2=\dfrac{25+144}{169}=1$ — đúng.
5
Vậy DF = 10 cm, DE = 24 cm.

Ví dụ

Bài toán dạng thi — suy ra các tỉ số còn lại từ một hệ thức

1
Cho góc nhọn α với $\cos\alpha=0,6$ . Không cần vẽ hình hay dùng máy tính, tính $\sin\alpha$ , $\tan\alpha$ , $\cot\alpha$ .
Cho góc nhọn α với $\cos\alpha=0,6$. Không cần vẽ hình hay dùng máy tính, tính $\sin\alpha$, $\tan\alpha$, $\cot\alpha$.
2
$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-0,36=0,64 \Rightarrow \sin\alpha=0,8$ (nhận giá trị dương vì α là góc nhọn).
$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-0,36=0,64 \Rightarrow \sin\alpha=0,8$ (nhận giá trị dương vì α là góc nhọn).
3
$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{0,8}{0,6}=\dfrac43$ .
$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{0,8}{0,6}=\dfrac43$.
4
$\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{0,6}{0,8}=\dfrac34$ (hoặc dùng $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$ ).
$\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{0,6}{0,8}=\dfrac34$ (hoặc dùng $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$).
5
Vậy $\sin\alpha=0,8$ , $\tan\alpha=\dfrac43$ , $\cot\alpha=\dfrac34$ .
Vậy $\sin\alpha=0,8$, $\tan\alpha=\dfrac43$, $\cot\alpha=\dfrac34$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất là nhầm cạnh đối với cạnh kề khi đổi từ góc này sang góc kia trong CÙNG một tam giác — cạnh vừa là "đối" của góc B lại chính là "kề" của góc C. Luôn xác định lại từ đầu: cạnh huyền cố định (không đổi theo góc), còn đối/kề phải xác định lại mỗi khi đổi góc đang xét. Một lỗi khác: viết $\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$ (nhầm với tan) — luôn nhớ sin và cos có mẫu số là cạnh huyền, còn tan và cot thì không.

Lỗi hay gặp nhất là nhầm cạnh đối với cạnh kề khi đổi từ góc này sang góc kia trong CÙNG một tam giác — cạnh vừa là "đối" của góc B lại chính là \"kề\" của góc C. Luôn xác định lại từ đầu: cạnh huyền cố định (không đổi theo góc), còn đối/kề phải xác định lại mỗi khi đổi góc đang xét. Một lỗi khác: viết $\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$ (nhầm với tan) — luôn nhớ sin và cos có mẫu số là cạnh huyền, còn tan và cot thì không.

Một cách kiểm tra nhanh sau khi tính xong bốn tỉ số của một góc: sin và cos luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (vì cạnh góc vuông luôn ngắn hơn cạnh huyền), còn $\tan$ và $\cot$ có thể lớn hơn 1 (khi cạnh đối dài hơn cạnh kề) hoặc nhỏ hơn 1 (khi cạnh đối ngắn hơn cạnh kề). Nếu tính ra sin hay cos lớn hơn 1, chắc chắn em đã đặt nhầm mẫu số hoặc nhầm cạnh huyền với một cạnh góc vuông.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ , $\cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$ , $\tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$ , $\cot\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}$ . Bốn tỉ số chỉ phụ thuộc số đo góc, không phụ thuộc kích thước tam giác; luôn có $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ và $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$ .

$\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$, $\tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$, $\cot\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}$. Bốn tỉ số chỉ phụ thuộc số đo góc, không phụ thuộc kích thước tam giác; luôn có $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ và $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$.

Bốn tỉ số hôm nay áp dụng cho MỘT góc nhọn bất kỳ — nhưng có ba số đo góc đặc biệt (30°, 45°, 60°) xuất hiện lặp đi lặp lại trong đề thi đến mức em nên thuộc lòng giá trị tỉ số lượng giác của chúng, thay vì tính lại mỗi lần. Bài sau dựng hai tam giác đặc biệt để tìm ra — và ghi nhớ — những giá trị đó.