Bài học

Ôn tập hệ thức lượng, tỉ số lượng giác và tứ giác nội tiếp đường tròn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác để tính độ dài, góc trong tình huống thực tế, và trình bày trọn vẹn một bài toán hình học ba phần — chứng minh tứ giác nội tiếp, tính một góc, tính một độ dài — đúng cấu trúc câu hình học của đề tuyển sinh 10.

Kiến thức nền cần nhớ

Trong tam giác vuông tại A có đường cao AH: $AB^2=BH\cdot BC$ , $AC^2=CH\cdot BC$ , $AH^2=BH\cdot HC$ , $AB\cdot AC=AH\cdot BC$ . Tỉ số lượng giác của góc nhọn: $\sin=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ , $\cos=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$ , $\tan=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$ . Về đường tròn, em cần nhớ dấu hiệu: hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông thì cùng thuộc đường tròn đường kính đoạn đó, và trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối bằng 180°.

Trong tam giác vuông tại A có đường cao AH: $AB^2=BH\cdot BC$, $AC^2=CH\cdot BC$, $AH^2=BH\cdot HC$, $AB\cdot AC=AH\cdot BC$. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: $\sin=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$, $\cos=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$, $\tan=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$. Về đường tròn, em cần nhớ dấu hiệu: hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông thì cùng thuộc đường tròn đường kính đoạn đó, và trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối bằng 180°.

Khởi động

Câu hình học của đề tuyển sinh 10 gần như luôn có ba phần: a) chứng minh một tứ giác nội tiếp, b) dùng kết quả đó tính một góc, c) dùng dữ kiện độ dài để tính một đoạn hoặc một bán kính. Ba phần này không độc lập — phần b thường dùng ngay tính chất của tứ giác vừa chứng minh ở phần a. Bỏ dở phần a coi như mất luôn điểm phần b và c phía sau, dù em có biết công thức tính góc hay bán kính.

Kiến thức trọng tâm

Với hệ thức lượng, xác định đúng cạnh nào là cạnh góc vuông, cạnh nào là cạnh huyền, hình chiếu nào ứng với cạnh nào trước khi áp dụng công thức — viết nhầm vị trí là nguồn sai số một phổ biến nhất. Với bài toán thực tế dùng tỉ số lượng giác (bóng cây, cột đèn, chân thang...), luôn chuyển tình huống thành một tam giác vuông có đủ nhãn trước khi tính, không nhảy thẳng vào công thức. Với chứng minh tứ giác nội tiếp, cách nhanh nhất khi đề cho sẵn hai đường cao là chỉ ra hai góc vuông cùng nhìn một đoạn — từ đó suy ra ngay bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Khi đã có tứ giác nội tiếp, dùng tính chất góc đối bù nhau để tính góc còn thiếu mà không cần đo đạc hay dựng thêm hình phụ.

Bốn bước này mô phỏng đúng trình tự lời giải ở worked-figure bên dưới.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Tính BC, AH, BH, CH.
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Tính BC, AH, BH, CH.
2
Theo định lý Pythagore: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.
Theo định lý Pythagore: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.
3
Theo hệ thức $AB\cdot AC=AH\cdot BC$ : $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8$ cm.
Theo hệ thức $AB\cdot AC=AH\cdot BC$: $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8$ cm.
4
Theo hệ thức $AB^2=BH\cdot BC$ : $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=3,6$ cm. Tương tự $CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{64}{10}=6,4$ cm.
Theo hệ thức $AB^2=BH\cdot BC$: $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=3,6$ cm. Tương tự $CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{64}{10}=6,4$ cm.
5
Vậy $BC=10$ cm, $AH=4,8$ cm, $BH=3,6$ cm, $CH=6,4$ cm (kiểm tra: $BH+CH=3,6+6,4=10=BC$ , đúng).
Vậy $BC=10$ cm, $AH=4,8$ cm, $BH=3,6$ cm, $CH=6,4$ cm (kiểm tra: $BH+CH=3,6+6,4=10=BC$, đúng).

Ví dụ

Tỉ số lượng giác trong tình huống thực tế

1
Một cột đèn cao 6 m, bóng của nó đổ dài 6√3 m trên mặt đất phẳng. Tính góc tạo bởi tia nắng với mặt đất.
2
Cột đèn, mặt đất và tia nắng tạo thành một tam giác vuông tại chân cột: cạnh đối góc cần tìm là chiều cao cột (6 m), cạnh kề là bóng (6√3 m).
3
$\tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}=\dfrac{6}{6\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
$\tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}=\dfrac{6}{6\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
4
Vì $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}$ nên $\alpha=30^\circ$ . Vậy tia nắng tạo với mặt đất một góc 30°.
Vì $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}$ nên $\alpha=30^\circ$. Vậy tia nắng tạo với mặt đất một góc 30°.

Bài toán hình học ba phần (dạng câu hình học đề tuyển sinh 10)

Bài toán dưới đây trình bày trọn vẹn cả ba phần bằng một hình vẽ tiến triển theo từng bước lập luận — mỗi yếu tố phụ chỉ xuất hiện đúng ở bước mà lời giải dựng ra nó.

Lời giải có hình

Tam giác nhọn nội tiếp đường tròn — tứ giác nội tiếp, góc, độ dài (câu hình học tuyển sinh 10)

Bước 1

Đề bài: tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O); biết BC = 10 cm, góc BAC = 60°.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Một lỗi rất hay gặp là nhầm điều kiện của dấu hiệu "cùng nhìn một đoạn dưới góc vuông" — chỉ áp dụng được khi góc đó chính xác bằng 90°, không phải bất kỳ góc bằng nhau nào. Lỗi thứ hai là quên giả thiết tam giác nhọn: nếu tam giác có góc tù, trực tâm H nằm ngoài tam giác và hình vẽ cùng vài lập luận về vị trí H sẽ thay đổi. Lỗi thứ ba là nhầm góc nội tiếp với góc ở tâm khi tính bán kính — định lý sin dùng góc nội tiếp (góc tại đỉnh A), không phải góc ở tâm O.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hệ thức lượng và tỉ số lượng giác luôn cần xác định đúng vai trò từng cạnh trước khi tính. Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng hai góc vuông cùng nhìn một đoạn là kỹ thuật nhanh và phổ biến nhất ở lớp 9; sau khi có tứ giác nội tiếp, dùng tổng hai góc đối bằng 180° để tính góc, và dùng định lý sin mở rộng khi cần liên hệ cạnh — góc — bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bài tiếp theo rời khỏi hình học phẳng, chuyển sang ôn công thức diện tích — thể tích hình khối tròn xoay và hai nội dung thường bị bỏ quên khi ôn thi: thống kê và xác suất.