Bài học

Ôn tập rút gọn biểu thức chứa căn, giải hệ phương trình và bất phương trình

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn hai dạng câu luôn mở đầu đề thi tuyển sinh vào lớp 10: câu 1 — rút gọn một biểu thức chứa căn rồi trả lời một câu hỏi phụ dựa trên kết quả rút gọn, và câu 2 — giải một hệ hai phương trình bằng phép biến đổi đại số, hoặc lập hệ từ một tình huống thực tế rồi giải nó. Em cũng ôn lại cách giải bất phương trình khi nó đi kèm điều kiện xác định của căn thức, vì hai kỹ năng này thường xuất hiện chung trong câu hỏi phụ.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ lại bốn công cụ đã học rải rác trong năm: điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một căn thức $\sqrt{A}$ là $A \ge 0$ và của một phân thức là mẫu khác 0; quy đồng mẫu chung rồi rút gọn tử bằng hằng đẳng thức hoặc phân tích thành nhân tử; phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; và quy trình lập hệ phương trình — đặt ẩn kèm đơn vị và điều kiện, dịch từng câu trong đề sang một phương trình, rồi giải hệ vừa lập. Bốn công cụ này không mới, chỉ là em chưa từng dùng chúng trong cùng một đề — bài ôn tập hôm nay ghép chúng lại đúng như đề thi thật sẽ đòi hỏi.

Khởi động

Ở hầu hết đề tuyển sinh 10, câu 1 luôn là rút gọn biểu thức chứa căn, câu 2 luôn là hệ phương trình — hai câu này chiếm gần một nửa số điểm phần đại số. Vì sao đề lại xếp chúng lên đầu? Vì chúng kiểm tra đúng những kỹ năng nền mà mọi câu phía sau đều cần dùng lại: quy đồng chính xác, biến đổi không sai dấu, và mô hình hoá một tình huống bằng phương trình. Nắm chắc hai câu này trước, các câu khó hơn phía sau sẽ nhẹ đi rất nhiều.

Kiến thức trọng tâm

Với dạng rút gọn, làm theo ba bước: tìm ĐKXĐ trước (kết quả rút gọn chỉ có giá trị trong ĐKXĐ đó), quy đồng mẫu chung, rồi rút gọn tử bằng hằng đẳng thức hoặc phân tích nhân tử chung với mẫu. Câu hỏi phụ thường thuộc ba kiểu: tính giá trị tại một $x$ cụ thể (thay số, kiểm tra TMĐK), tìm $x$ để biểu thức thoả một điều kiện cho trước (giải theo kết quả đã rút gọn, không quay lại biểu thức gốc), hoặc so sánh biểu thức với một số. Với hệ phương trình, dùng phép thế khi một ẩn dễ rút ra, dùng phép cộng đại số khi hệ số một ẩn ở hai phương trình đối nhau hoặc dễ nhân để đối nhau. Khi lập hệ, đặt ẩn kèm điều kiện thực tế, viết mỗi câu của đề thành một phương trình, rồi giải như hệ thông thường.

Quy trình này áp dụng cho mọi bài rút gọn dạng câu 1 đề tuyển sinh 10.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Rút gọn biểu thức và trả lời câu hỏi phụ (dạng câu 1 đề tuyển sinh 10)

1
Cho biểu thức $A = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x - 1} - \dfrac{2}{\sqrt x + 1} - \dfrac{2}{x-1}$ . a) Rút gọn $A$ . b) Tìm $x$ để $A = \dfrac{2}{5}$ .
Cho biểu thức $A = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x - 1} - \dfrac{2}{\sqrt x + 1} - \dfrac{2}{x-1}$. a) Rút gọn $A$. b) Tìm $x$ để $A = \dfrac{2}{5}$.
2
Biểu thức có nghĩa khi $x \ge 0$ (để $\sqrt x$ xác định) và $x \ne 1$ (để hai mẫu $\sqrt x - 1$ và $x - 1$ khác 0). Vậy ĐKXĐ: $x \ge 0,\ x \ne 1$ .
Biểu thức có nghĩa khi $x \ge 0$ (để $\sqrt x$ xác định) và $x \ne 1$ (để hai mẫu $\sqrt x - 1$ và $x - 1$ khác 0). Vậy ĐKXĐ: $x \ge 0,\ x \ne 1$.
3
Vì $x - 1 = (\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)$ , mẫu chung là $x-1$ . Ta có $A = \dfrac{\sqrt x(\sqrt x + 1) - 2(\sqrt x - 1) - 2}{x-1}$ .
Vì $x - 1 = (\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)$, mẫu chung là $x-1$. Ta có $A = \dfrac{\sqrt x(\sqrt x + 1) - 2(\sqrt x - 1) - 2}{x-1}$.
4
Khai triển tử: $\sqrt x(\sqrt x+1) - 2(\sqrt x - 1) - 2 = x + \sqrt x - 2\sqrt x + 2 - 2 = x - \sqrt x$ . Suy ra $A = \dfrac{x - \sqrt x}{x-1}$ .
Khai triển tử: $\sqrt x(\sqrt x+1) - 2(\sqrt x - 1) - 2 = x + \sqrt x - 2\sqrt x + 2 - 2 = x - \sqrt x$. Suy ra $A = \dfrac{x - \sqrt x}{x-1}$.
5
Ta có $x - \sqrt x = \sqrt x(\sqrt x - 1)$ và $x - 1 = (\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$ . Do đó $A = \dfrac{\sqrt x(\sqrt x - 1)}{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)} = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1}$ (với $x \ne 1$ nên $\sqrt x - 1 \ne 0$ , được phép cắt).
Ta có $x - \sqrt x = \sqrt x(\sqrt x - 1)$ và $x - 1 = (\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$. Do đó $A = \dfrac{\sqrt x(\sqrt x - 1)}{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)} = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1}$ (với $x \ne 1$ nên $\sqrt x - 1 \ne 0$, được phép cắt).
6
$A = \dfrac{2}{5} \iff \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1} = \dfrac{2}{5} \iff 5\sqrt x = 2\sqrt x + 2 \iff 3\sqrt x = 2 \iff \sqrt x = \dfrac{2}{3} \iff x = \dfrac{4}{9}$ .
$A = \dfrac{2}{5} \iff \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1} = \dfrac{2}{5} \iff 5\sqrt x = 2\sqrt x + 2 \iff 3\sqrt x = 2 \iff \sqrt x = \dfrac{2}{3} \iff x = \dfrac{4}{9}$.
7
$x = \dfrac{4}{9}$ thoả $x \ge 0,\ x \ne 1$ nên TMĐK. Vậy $A = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1}$ với $x \ge 0,\ x \ne 1$ , và $A = \dfrac{2}{5} \iff x = \dfrac{4}{9}$ .
$x = \dfrac{4}{9}$ thoả $x \ge 0,\ x \ne 1$ nên TMĐK. Vậy $A = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1}$ với $x \ge 0,\ x \ne 1$, và $A = \dfrac{2}{5} \iff x = \dfrac{4}{9}$.

Ví dụ

Giải hệ hai phương trình bằng phương pháp thế (dạng câu 2a)

1
Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + y = 3 \end{cases}$ .
Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + y = 3 \end{cases}$.
2
Từ phương trình thứ hai, $x = 3 - y$ .
Từ phương trình thứ hai, $x = 3 - y$.
3
Thay vào phương trình đầu: $3(3-y) - 2y = 4 \iff 9 - 3y - 2y = 4 \iff 9 - 5y = 4 \iff 5y = 5 \iff y = 1$ .
Thay vào phương trình đầu: $3(3-y) - 2y = 4 \iff 9 - 3y - 2y = 4 \iff 9 - 5y = 4 \iff 5y = 5 \iff y = 1$.
4
Với $y = 1$ , ta có $x = 3 - 1 = 2$ .
Với $y = 1$, ta có $x = 3 - 1 = 2$.
5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y) = (2;1)$ (thử lại: $3\cdot2-2\cdot1=4$ đúng, $2+1=3$ đúng).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y) = (2;1)$ (thử lại: $3\cdot2-2\cdot1=4$ đúng, $2+1=3$ đúng).

Ví dụ

Lập hệ phương trình từ bài toán thực tế (dạng câu 2b)

1
Một cửa hàng bán hai loại vé xem triển lãm: vé người lớn giá 50 000 đồng, vé trẻ em giá 30 000 đồng. Hôm qua cửa hàng bán được 80 vé, thu về 3 400 000 đồng. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu vé mỗi loại?
2
Gọi $x$ (vé), $y$ (vé) lần lượt là số vé người lớn và số vé trẻ em đã bán, điều kiện $x, y \in \mathbb{N}^*$ .
Gọi $x$ (vé), $y$ (vé) lần lượt là số vé người lớn và số vé trẻ em đã bán, điều kiện $x, y \in \mathbb{N}^*$.
3
Tổng số vé: $x + y = 80$ . Tổng tiền thu được (đổi ra đơn vị nghìn đồng cho gọn): $50x + 30y = 3400$ , tức $5x + 3y = 340$ .
Tổng số vé: $x + y = 80$. Tổng tiền thu được (đổi ra đơn vị nghìn đồng cho gọn): $50x + 30y = 3400$, tức $5x + 3y = 340$.
4
Từ phương trình đầu, $y = 80 - x$ . Thế vào phương trình sau: $5x + 3(80-x) = 340 \iff 5x + 240 - 3x = 340 \iff 2x = 100 \iff x = 50$ . Suy ra $y = 80 - 50 = 30$ .
Từ phương trình đầu, $y = 80 - x$. Thế vào phương trình sau: $5x + 3(80-x) = 340 \iff 5x + 240 - 3x = 340 \iff 2x = 100 \iff x = 50$. Suy ra $y = 80 - 50 = 30$.
5
$x=50,\ y=30$ đều là số nguyên dương nên TMĐK. Vậy cửa hàng bán được 50 vé người lớn và 30 vé trẻ em (kiểm tra: $50\cdot50\,000 + 30\cdot30\,000 = 3\,400\,000$ đồng, đúng như đề cho).
$x=50,\ y=30$ đều là số nguyên dương nên TMĐK. Vậy cửa hàng bán được 50 vé người lớn và 30 vé trẻ em (kiểm tra: $50\cdot50\,000 + 30\cdot30\,000 = 3\,400\,000$ đồng, đúng như đề cho).

Ví dụ

Bất phương trình chứa căn kết hợp ĐKXĐ (câu hỏi phụ nâng cao)

1
Dùng biểu thức $A = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1}$ đã rút gọn ở ví dụ trên, tìm các số nguyên $x$ để $A < \dfrac{1}{3}$ .
Dùng biểu thức $A = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x + 1}$ đã rút gọn ở ví dụ trên, tìm các số nguyên $x$ để $A < \dfrac{1}{3}$.
2
Vì $\sqrt x + 1 > 0$ với mọi $x \ge 0$ , nhân cả hai vế với $3(\sqrt x + 1)$ mà không đổi chiều: $A < \dfrac{1}{3} \iff 3\sqrt x < \sqrt x + 1$ .
Vì $\sqrt x + 1 > 0$ với mọi $x \ge 0$, nhân cả hai vế với $3(\sqrt x + 1)$ mà không đổi chiều: $A < \dfrac{1}{3} \iff 3\sqrt x < \sqrt x + 1$.
3
$3\sqrt x < \sqrt x + 1 \iff 2\sqrt x < 1 \iff \sqrt x < \dfrac{1}{2} \iff 0 \le x < \dfrac{1}{4}$ .
$3\sqrt x < \sqrt x + 1 \iff 2\sqrt x < 1 \iff \sqrt x < \dfrac{1}{2} \iff 0 \le x < \dfrac{1}{4}$.
4
Kết hợp với ĐKXĐ $x \ge 0,\ x \ne 1$ (đã có sẵn từ điều kiện của $A$ ), tập nghiệm là $0 \le x < \dfrac14$ . Trong khoảng này chỉ có đúng một số nguyên là $x = 0$ .
Kết hợp với ĐKXĐ $x \ge 0,\ x \ne 1$ (đã có sẵn từ điều kiện của $A$), tập nghiệm là $0 \le x < \dfrac14$. Trong khoảng này chỉ có đúng một số nguyên là $x = 0$.
5
Vậy $x = 0$ là số nguyên duy nhất thoả $A < \dfrac13$ .
Vậy $x = 0$ là số nguyên duy nhất thoả $A < \dfrac13$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn rút gọn xong quên không ghi lại ĐKXĐ trong câu trả lời, dẫn tới chấm bài bị trừ điểm trình bày dù kết quả đúng. Một lỗi khác là ở câu hỏi phụ: sau khi tìm được $x$ , quên đối chiếu với ĐKXĐ ban đầu — có bài ra nghiệm âm hoặc đúng bằng giá trị bị loại (như $x=1$ ) mà vẫn kết luận TMĐK. Với bài toán lập hệ, lỗi phổ biến nhất là quên đổi đơn vị tiền cho khớp giữa hai phương trình (một bên nghìn đồng, một bên đồng), khiến hệ phương trình tuy giải đúng kỹ thuật vẫn cho nghiệm sai bài toán.

Nhiều bạn rút gọn xong quên không ghi lại ĐKXĐ trong câu trả lời, dẫn tới chấm bài bị trừ điểm trình bày dù kết quả đúng. Một lỗi khác là ở câu hỏi phụ: sau khi tìm được $x$, quên đối chiếu với ĐKXĐ ban đầu — có bài ra nghiệm âm hoặc đúng bằng giá trị bị loại (như $x=1$) mà vẫn kết luận TMĐK. Với bài toán lập hệ, lỗi phổ biến nhất là quên đổi đơn vị tiền cho khớp giữa hai phương trình (một bên nghìn đồng, một bên đồng), khiến hệ phương trình tuy giải đúng kỹ thuật vẫn cho nghiệm sai bài toán.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài rút gọn luôn theo đúng thứ tự: ĐKXĐ trước, quy đồng và rút gọn sau, đối chiếu ĐKXĐ khi kết luận. Câu hỏi phụ dùng lại kết quả đã rút gọn, không quay về biểu thức gốc. Hệ phương trình chọn thế hay cộng đại số tuỳ theo hệ số nào dễ triệt tiêu hơn; bài toán thực tế luôn cần đặt ẩn kèm điều kiện và giữ đúng đơn vị xuyên suốt.

Bài tiếp theo chuyển sang phần đồ thị hàm số và phương trình bậc hai — nơi định lý Vi-ét cho phép em tìm tham số $m$ mà không cần giải trực tiếp nghiệm, một kỹ năng mà câu 4 đề tuyển sinh 10 gần như luôn kiểm tra.