Bài học

Chuyển động ném xiên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tách được vận tốc ban đầu của chuyển động ném xiên thành hai thành phần $v_{0x}, v_{0y}$ bằng lượng giác, và dùng hai thành phần đó để tính thời gian bay, tầm xa và độ cao cực đại của vật.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã tách chuyển động ném ngang thành hai thành phần độc lập, với thành phần đứng ban đầu bằng 0 (same-grade bridge trực tiếp). Bài này thêm một góc ném $\alpha$ so với phương ngang, nên cần dùng lượng giác $\sin, \cos$ đã học ở môn Toán (prior-grade review) để tách đúng vận tốc ban đầu xiên thành hai thành phần, trước khi áp dụng lại đúng cách làm của bài trước.

Khởi động

Một cầu thủ sút phạt, một vận động viên ném lao — cả hai đều phóng vật đi xiên lên một góc, không nằm ngang cũng không thẳng đứng. Công thức ném ngang ở bài trước có dùng thẳng được không? Cần thêm bước gì trước khi áp dụng?

Kiến thức trọng tâm

Chuyển động ném xiên xảy ra khi vận tốc ban đầu $v_0$ hợp một góc $\alpha$ với phương ngang ( $0 < \alpha < 90°$ ). Bước đầu tiên, bắt buộc phải làm trước khi tính bất cứ điều gì khác, là chiếu vận tốc ban đầu lên hai phương vuông góc: $v_{0x} = v_0\cos\alpha$ (thành phần ngang) và $v_{0y} = v_0\sin\alpha$ (thành phần đứng, hướng lên).

Sau bước tách này, mọi thứ diễn ra gần giống hệt ném ngang, chỉ khác một điểm: thành phần đứng của ném ngang xuất phát từ 0, còn ở đây thành phần đứng xuất phát từ $v_{0y} \neq 0$ hướng lên, trong khi trọng lực vẫn kéo xuống — nghĩa là theo phương đứng, vật đang chuyển động chậm dần đều lúc bay lên ( $v_{0y}$ và $a=-g$ trái dấu, đúng quy tắc đã học ở bài Gia tốc), dừng lại tức thời tại đỉnh quỹ đạo (khi $v_y=0$ ), rồi nhanh dần đều theo chiều xuống khi rơi lại. Phương ngang vẫn không đổi, chuyển động thẳng đều với $v_{0x}$ suốt cả chuyến bay, y hệt bài trước.

Thời gian để vật lên tới đỉnh (nơi $v_y=0$ ) tính từ $v_y = v_{0y} - gt_{len} = 0$ , suy ra $t_{len} = v_{0y}/g$ . Nếu điểm rơi cùng độ cao với điểm ném (trường hợp thường gặp nhất ở mức nền tảng), tính đối xứng của chuyển động chậm dần rồi nhanh dần đều cho thấy thời gian đi xuống bằng đúng thời gian đi lên, nên thời gian bay toàn chuyến là $t = 2t_{len} = 2v_{0y}/g$ . Tầm xa vẫn tính như bài trước bằng phương ngang: $L = v_{0x} \times t$ . Còn độ cao cực đại $H$ đạt được tại đỉnh, tính từ công thức liên hệ vận tốc-quãng đường theo phương đứng với $v_y=0$ tại đỉnh: $0 - v_{0y}^2 = 2(-g)H \Rightarrow H = v_{0y}^2/(2g)$ .

Lưu ý quan trọng: công thức thời gian bay $t=2v_{0y}/g$ chỉ đúng khi điểm rơi ở cùng độ cao với điểm ném. Nếu vật ném xiên từ một độ cao rồi rơi xuống nền thấp hơn (hoặc cao hơn), không thể dùng trực tiếp công thức đối xứng này — phải giải lại phương trình chuyển động đầy đủ theo phương đứng.

Từ hai công thức $t=2v_{0y}/g$ và $L=v_{0x}t$ , có thể gộp thành một công thức tầm xa duy nhất theo $v_0$ và góc $\alpha$ (khi điểm rơi cùng độ cao điểm ném): thay $v_{0x}=v_0\cos\alpha$ , $v_{0y}=v_0\sin\alpha$ vào $L=v_{0x}\times(2v_{0y}/g)$ , ta được $L = \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$ (dùng công thức lượng giác nhân đôi $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$ đã học ở môn Toán). Tương tự, độ cao cực đại viết theo $v_0, \alpha$ là $H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ . Hai công thức rút gọn này tiện dùng khi đề chỉ cho $v_0$ và $\alpha$ mà không cần tính riêng từng thành phần, nhưng chỉ áp dụng được khi điểm rơi cùng độ cao với điểm ném — đúng điều kiện đã nêu ở trên.

Từ công thức $L=v_0^2\sin(2\alpha)/g$ , vì $\sin(2\alpha)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi $2\alpha=90°$ , tức $\alpha=45°$ , tầm xa của chuyển động ném xiên đạt giá trị lớn nhất khi góc ném bằng $45°$ với cùng một tốc độ ban đầu $v_0$ — đây là lí do vận động viên ném lao, đẩy tạ thường cố gắng ném ở góc gần $45°$ để đạt thành tích xa nhất. Một tính chất khác của công thức này: hai góc ném phụ nhau (cộng lại bằng $90°$ ), ví dụ $30°$ và $60°$ , cho cùng một tầm xa với cùng tốc độ ban đầu, vì $\sin(2\times30°)=\sin60°$ và $\sin(2\times60°)=\sin120°=\sin60°$ bằng nhau (hai góc bù nhau có cùng sin). Tuy tầm xa bằng nhau, thời gian bay và độ cao cực đại của hai trường hợp lại khác nhau: góc ném lớn hơn ( $60°$ ) cho quỹ đạo cao hơn nhưng bay trong thời gian dài hơn, còn góc ném nhỏ hơn ( $30°$ ) cho quỹ đạo thấp và bay nhanh hơn.

Toàn bộ phần lí thuyết ném xiên ở trên chỉ áp dụng cho trường hợp góc ném $\alpha$ nằm trên phương ngang, hướng lên. Nếu một vật được ném xiên xuống dưới từ một độ cao (ví dụ ném từ vách đá xiên xuống, không phải xiên lên), thành phần đứng ban đầu $v_{0y}$ đã hướng xuống ngay từ đầu, cùng chiều với $g$ , nên vật nhanh dần đều theo phương đứng suốt cả quá trình (không có giai đoạn chậm dần rồi đổi chiều như ném xiên lên) — khi đó phải giải trực tiếp bằng phương trình chuyển động đầy đủ, không dùng được công thức đối xứng $t=2v_{0y}/g$ của trường hợp ném xiên lên đã học ở bài này.

**Chuyển động ném xiên** xảy ra khi vận tốc ban đầu $v_0$ hợp một góc $\alpha$ với phương ngang ($0 < \alpha < 90°$). Bước đầu tiên, bắt buộc phải làm trước khi tính bất cứ điều gì khác, là chiếu vận tốc ban đầu lên hai phương vuông góc: $v_{0x} = v_0\cos\alpha$ (thành phần ngang) và $v_{0y} = v_0\sin\alpha$ (thành phần đứng, hướng lên). Sau bước tách này, mọi thứ diễn ra gần giống hệt ném ngang, chỉ khác một điểm: thành phần đứng của ném ngang xuất phát từ 0, còn ở đây thành phần đứng xuất phát từ $v_{0y} \neq 0$ hướng lên, trong khi trọng lực vẫn kéo xuống — nghĩa là theo phương đứng, vật đang chuyển động **chậm dần đều** lúc bay lên ($v_{0y}$ và $a=-g$ trái dấu, đúng quy tắc đã học ở bài Gia tốc), dừng lại tức thời tại đỉnh quỹ đạo (khi $v_y=0$), rồi **nhanh dần đều** theo chiều xuống khi rơi lại. Phương ngang vẫn không đổi, chuyển động thẳng đều với $v_{0x}$ suốt cả chuyến bay, y hệt bài trước. Thời gian để vật lên tới đỉnh (nơi $v_y=0$) tính từ $v_y = v_{0y} - gt_{len} = 0$, suy ra $t_{len} = v_{0y}/g$. Nếu điểm rơi cùng độ cao với điểm ném (trường hợp thường gặp nhất ở mức nền tảng), tính đối xứng của chuyển động chậm dần rồi nhanh dần đều cho thấy thời gian đi xuống bằng đúng thời gian đi lên, nên **thời gian bay** toàn chuyến là $t = 2t_{len} = 2v_{0y}/g$. **Tầm xa** vẫn tính như bài trước bằng phương ngang: $L = v_{0x} \times t$. Còn **độ cao cực đại** $H$ đạt được tại đỉnh, tính từ công thức liên hệ vận tốc-quãng đường theo phương đứng với $v_y=0$ tại đỉnh: $0 - v_{0y}^2 = 2(-g)H \Rightarrow H = v_{0y}^2/(2g)$. Lưu ý quan trọng: công thức thời gian bay $t=2v_{0y}/g$ chỉ đúng khi điểm rơi ở cùng độ cao với điểm ném. Nếu vật ném xiên từ một độ cao rồi rơi xuống nền thấp hơn (hoặc cao hơn), không thể dùng trực tiếp công thức đối xứng này — phải giải lại phương trình chuyển động đầy đủ theo phương đứng. Từ hai công thức $t=2v_{0y}/g$ và $L=v_{0x}t$, có thể gộp thành một công thức tầm xa duy nhất theo $v_0$ và góc $\alpha$ (khi điểm rơi cùng độ cao điểm ném): thay $v_{0x}=v_0\cos\alpha$, $v_{0y}=v_0\sin\alpha$ vào $L=v_{0x}\times(2v_{0y}/g)$, ta được $L = \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$ (dùng công thức lượng giác nhân đôi $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$ đã học ở môn Toán). Tương tự, độ cao cực đại viết theo $v_0, \alpha$ là $H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$. Hai công thức rút gọn này tiện dùng khi đề chỉ cho $v_0$ và $\alpha$ mà không cần tính riêng từng thành phần, nhưng **chỉ áp dụng được khi điểm rơi cùng độ cao với điểm ném** — đúng điều kiện đã nêu ở trên. Từ công thức $L=v_0^2\sin(2\alpha)/g$, vì $\sin(2\alpha)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi $2\alpha=90°$, tức $\alpha=45°$, tầm xa của chuyển động ném xiên đạt giá trị lớn nhất khi góc ném bằng $45°$ với cùng một tốc độ ban đầu $v_0$ — đây là lí do vận động viên ném lao, đẩy tạ thường cố gắng ném ở góc gần $45°$ để đạt thành tích xa nhất. Một tính chất khác của công thức này: hai góc ném phụ nhau (cộng lại bằng $90°$), ví dụ $30°$ và $60°$, cho cùng một tầm xa với cùng tốc độ ban đầu, vì $\sin(2\times30°)=\sin60°$ và $\sin(2\times60°)=\sin120°=\sin60°$ bằng nhau (hai góc bù nhau có cùng sin). Tuy tầm xa bằng nhau, thời gian bay và độ cao cực đại của hai trường hợp lại khác nhau: góc ném lớn hơn ($60°$) cho quỹ đạo cao hơn nhưng bay trong thời gian dài hơn, còn góc ném nhỏ hơn ($30°$) cho quỹ đạo thấp và bay nhanh hơn. Toàn bộ phần lí thuyết ném xiên ở trên chỉ áp dụng cho trường hợp góc ném $\alpha$ nằm trên phương ngang, hướng lên. Nếu một vật được ném xiên **xuống dưới** từ một độ cao (ví dụ ném từ vách đá xiên xuống, không phải xiên lên), thành phần đứng ban đầu $v_{0y}$ đã hướng xuống ngay từ đầu, cùng chiều với $g$, nên vật nhanh dần đều theo phương đứng suốt cả quá trình (không có giai đoạn chậm dần rồi đổi chiều như ném xiên lên) — khi đó phải giải trực tiếp bằng phương trình chuyển động đầy đủ, không dùng được công thức đối xứng $t=2v_{0y}/g$ của trường hợp ném xiên lên đã học ở bài này.

Đỉnh quỹ đạo ứng với độ cao cực đại H≈5,10 m tại giữa tầm xa; quỹ đạo đối xứng hai bên đỉnh vì rơi lại cùng độ cao điểm ném.

Ví dụ

Quả bóng ném xiên góc 30°

1
Một quả bóng được ném với vận tốc $v_0=20$ m/s hợp góc $\alpha=30°$ so với phương ngang, lấy $g=9{,}8$ m/s². Tính thời gian bay, tầm xa và độ cao cực đại của quả bóng (điểm rơi cùng độ cao với điểm ném).
Một quả bóng được ném với vận tốc $v_0=20$ m/s hợp góc $\alpha=30°$ so với phương ngang, lấy $g=9{,}8$ m/s². Tính thời gian bay, tầm xa và độ cao cực đại của quả bóng (điểm rơi cùng độ cao với điểm ném).
2
$v_{0x}=v_0\cos30° = 20\times0{,}866 \approx 17{,}3$ m/s; $v_{0y}=v_0\sin30° = 20\times0{,}5 = 10$ m/s.
$v_{0x}=v_0\cos30° = 20\times0{,}866 \approx 17{,}3$ m/s; $v_{0y}=v_0\sin30° = 20\times0{,}5 = 10$ m/s.
3
$t=2v_{0y}/g = 2\times10/9{,}8 \approx 2{,}04$ s. $L=v_{0x}\times t \approx 17{,}3\times2{,}04 \approx 35{,}3$ m.
$t=2v_{0y}/g = 2\times10/9{,}8 \approx 2{,}04$ s. $L=v_{0x}\times t \approx 17{,}3\times2{,}04 \approx 35{,}3$ m.
4
$H=v_{0y}^2/(2g)=10^2/(2\times9{,}8)\approx5{,}10$ m.
$H=v_{0y}^2/(2g)=10^2/(2\times9{,}8)\approx5{,}10$ m.
5
Dùng $L=v_0^2\sin(2\alpha)/g = 20^2\times\sin60°/9{,}8 = 400\times0{,}866/9{,}8 \approx35{,}3$ m, khớp với kết quả đã tính ở bước trên, nên tầm xa nhất quán dù tính theo hai cách khác nhau.
Dùng $L=v_0^2\sin(2\alpha)/g = 20^2\times\sin60°/9{,}8 = 400\times0{,}866/9{,}8 \approx35{,}3$ m, khớp với kết quả đã tính ở bước trên, nên tầm xa nhất quán dù tính theo hai cách khác nhau.
6
Vậy quả bóng bay trong khoảng 2,04 giây, đạt tầm xa khoảng 35,3 m và độ cao cực đại khoảng 5,10 m.

Ví dụ

Cú sút phạt góc 37° (dạng đề thi)

1
Một cầu thủ sút quả bóng với vận tốc $v_0=25$ m/s hợp góc $37°$ so với mặt sân ( $\sin37°=0{,}6$ , $\cos37°=0{,}8$ ), lấy $g=10$ m/s² để tính tròn số. Tính thời gian bay, tầm xa và độ cao cực đại của quả bóng.
Một cầu thủ sút quả bóng với vận tốc $v_0=25$ m/s hợp góc $37°$ so với mặt sân ($\sin37°=0{,}6$, $\cos37°=0{,}8$), lấy $g=10$ m/s² để tính tròn số. Tính thời gian bay, tầm xa và độ cao cực đại của quả bóng.
2
$v_{0x}=25\times0{,}8=20$ m/s; $v_{0y}=25\times0{,}6=15$ m/s. (1)
$v_{0x}=25\times0{,}8=20$ m/s; $v_{0y}=25\times0{,}6=15$ m/s. (1)
3
Từ (1): $t=2\times15/10=3$ s. $L=20\times3=60$ m. (2)
Từ (1): $t=2\times15/10=3$ s. $L=20\times3=60$ m. (2)
4
$H=15^2/(2\times10)=225/20=11{,}25$ m. (3)
$H=15^2/(2\times10)=225/20=11{,}25$ m. (3)
5
Góc $37°$ lớn hơn $30°$ của ví dụ trước nên tỉ lệ $v_{0y}/v_{0x}$ ở đây lớn hơn, quỹ đạo phải "dốc" hơn: tỉ số $H/L$ của ví dụ trước là $5{,}10/35{,}3\approx0{,}144$ , còn ở đây (từ (2), (3)) $H/L=11{,}25/60=0{,}1875$ , lớn hơn — đúng như dự đoán, nên kết quả hợp lí.
Góc $37°$ lớn hơn $30°$ của ví dụ trước nên tỉ lệ $v_{0y}/v_{0x}$ ở đây lớn hơn, quỹ đạo phải "dốc" hơn: tỉ số $H/L$ của ví dụ trước là $5{,}10/35{,}3\approx0{,}144$, còn ở đây (từ (2), (3)) $H/L=11{,}25/60=0{,}1875$, lớn hơn — đúng như dự đoán, nên kết quả hợp lí.
6
Nếu cùng tốc độ 25 m/s nhưng đổi góc ném thành $53°$ (góc phụ của $37°$ , vì $37°+53°=90°$ ), tầm xa sẽ không đổi (vẫn 60 m theo tính chất góc phụ nhau vừa nêu ở phần lí thuyết), nhưng độ cao cực đại và thời gian bay sẽ lớn hơn vì góc ném dốc hơn.
Nếu cùng tốc độ 25 m/s nhưng đổi góc ném thành $53°$ (góc phụ của $37°$, vì $37°+53°=90°$), tầm xa sẽ không đổi (vẫn 60 m theo tính chất góc phụ nhau vừa nêu ở phần lí thuyết), nhưng độ cao cực đại và thời gian bay sẽ lớn hơn vì góc ném dốc hơn.
7
Vậy quả bóng bay trong 3 giây, đạt tầm xa 60 m và độ cao cực đại 11,25 m — quỹ đạo dốc hơn ví dụ trước đúng như góc ném lớn hơn.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên trừ ảnh hưởng của trọng lực theo phương đứng, coi $v_{0y}$ không đổi suốt chuyến bay — chỉ có $v_{0x}$ (thành phần ngang) mới không đổi, còn $v_y$ giảm dần theo thời gian rồi đổi dấu khi vật rơi xuống. Sai lầm khác là dùng công thức $t=2v_{0y}/g$ cho cả trường hợp điểm rơi khác độ cao với điểm ném — công thức đối xứng này chỉ đúng khi vật rơi lại đúng độ cao ban đầu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ném xiên: tách $v_{0x}=v_0\cos\alpha$ (không đổi), $v_{0y}=v_0\sin\alpha$ (chậm dần rồi đổi chiều do trọng lực). Nếu rơi lại cùng độ cao điểm ném: $t=2v_{0y}/g$ , $L=v_{0x}t$ , $H=v_{0y}^2/(2g)$ .

Khoá tiếp theo (Course 4) hỏi một câu hoàn toàn khác: những lực nào thực sự gây ra tất cả các gia tốc mà em vừa tính trong khoá này — mở đầu bằng các định luật Newton.