Bài học

Cân bằng của thanh có trọng lượng bản thân đáng kể

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng được quy tắc moment cho bài toán trong đó TRỌNG LƯỢNG CỦA CHÍNH THANH/DẦM là một trong các lực gây moment (đặt tại trọng tâm), và giải được các bài toán dầm/xà kiểu đề kiểm tra, đề thi.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã học quy tắc moment với các vật treo bên ngoài một thanh coi như "nhẹ", bỏ qua trọng lượng thanh (same-grade bridge, nối tiếp trực tiếp). Bài này bổ sung một ý mới: khi đề bài cho biết khối lượng hoặc trọng lượng của chính thanh/dầm, trọng lượng đó KHÔNG được bỏ qua mà phải tính như MỘT lực nữa trong quy tắc moment. Đây là bước chuyển từ mô hình lý tưởng hoá (thanh không khối lượng, chỉ có trong bài tập) sang mô hình gần với thực tế hơn (thanh/dầm thật luôn có khối lượng), đúng với các đề thi và đề kiểm tra vận dụng.

Khởi động

Một chiếc xà beng bằng gỗ khá dày và nặng, được dùng để bẩy một hòn đá lớn. Bản thân chiếc xà beng, ngoài vai trò trung gian truyền lực, có "tự góp phần" vào việc giữ hòn đá hay không, hay chỉ đơn thuần là một vật không trọng lượng? Em thử đoán trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Với một thanh, dầm hoặc xà đồng chất, tiết diện đều, trọng lượng của nó phân bố đều dọc theo chiều dài, nhưng có thể coi như tương đương với MỘT lực duy nhất đặt tại trọng tâm — chính là trung điểm hình học của thanh. Khi áp dụng quy tắc moment cho một thanh như vậy, trọng lượng bản thân $P = mg$ (hoặc cho trực tiếp bằng đơn vị N) đóng vai trò hoàn toàn như bất kỳ lực nào khác, có cánh tay đòn bằng khoảng cách từ trục quay đến trung điểm của thanh.

Quy trình bốn bước để giải bài toán loại này: (1) xác định trục quay và liệt kê MỌI lực tác dụng lên thanh, kể cả trọng lượng bản thân nếu đề bài đã cho; (2) tính cánh tay đòn của từng lực — với trọng lượng thẳng đứng đặt trên một thanh nằm ngang, cánh tay đòn chính là khoảng cách ngang từ trục quay tới điểm đặt (ở đây là trung điểm); (3) phân loại moment thuận/nghịch theo chiều quay mỗi lực gây ra; (4) áp dụng $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$ để giải ẩn số.

Với một thanh, dầm hoặc xà **đồng chất, tiết diện đều**, trọng lượng của nó phân bố đều dọc theo chiều dài, nhưng có thể coi như tương đương với MỘT lực duy nhất đặt tại **trọng tâm** — chính là trung điểm hình học của thanh. Khi áp dụng quy tắc moment cho một thanh như vậy, trọng lượng bản thân $P = mg$ (hoặc cho trực tiếp bằng đơn vị N) đóng vai trò hoàn toàn như bất kỳ lực nào khác, có cánh tay đòn bằng khoảng cách từ trục quay đến trung điểm của thanh. Quy trình bốn bước để giải bài toán loại này: (1) xác định trục quay và liệt kê MỌI lực tác dụng lên thanh, kể cả trọng lượng bản thân nếu đề bài đã cho; (2) tính cánh tay đòn của từng lực — với trọng lượng thẳng đứng đặt trên một thanh nằm ngang, cánh tay đòn chính là khoảng cách ngang từ trục quay tới điểm đặt (ở đây là trung điểm); (3) phân loại moment thuận/nghịch theo chiều quay mỗi lực gây ra; (4) áp dụng $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$ để giải ẩn số.

Điều quan trọng cần phân biệt: trọng tâm chỉ trùng đúng trung điểm hình học KHI thanh đồng chất, tiết diện đều — nghĩa là vật liệu và độ dày phân bố như nhau trên toàn bộ chiều dài. Nếu một thanh có phần đầu làm bằng kim loại nặng và phần đuôi bằng gỗ nhẹ, trọng tâm sẽ lệch về phía đầu kim loại, không còn ở trung điểm nữa. Ở mức nền tảng, các bài toán trong khoá này chỉ xét thanh/dầm đồng chất, nên em luôn có thể dùng trung điểm làm vị trí đặt trọng lượng — nhưng cần đọc kỹ đề để chắc chắn giả thiết "đồng chất" thực sự được cho.

Trước khi tính toán, đưa bài toán thực tế về mô hình: dầm 4 m được đặt trên trục số, trục quay

O

tại vị trí 1 m (cách đầu

A

), trọng tâm dầm tại 2 m (trung điểm hình học), đầu

B

tại 4 m.Trước khi tính toán, đưa bài toán thực tế về mô hình: dầm 4 m được đặt trên trục số, trục quay $O$ tại vị trí 1 m (cách đầu $A$), trọng tâm dầm tại 2 m (trung điểm hình học), đầu $B$ tại 4 m.

Bước "đưa về mô hình" như trên luôn nên làm TRƯỚC khi viết bất kỳ phương trình moment nào, đặc biệt với các bài có nhiều điểm mốc (trục quay, trọng tâm, các điểm treo tải). Vẽ một trục số đơn giản giúp em nhìn ngay điểm nào ở bên nào của trục quay, tránh nhầm lẫn khi phân loại moment thuận/nghịch ở bước sau.

Ví dụ

Thanh đồng chất giữ cân bằng nhờ một sợi dây

1
Một thanh đồng chất $AB$ dài 3 m, trọng lượng 60 N, đầu $A$ tựa lên một giá đỡ đóng vai trò trục quay, còn đầu $B$ được giữ bằng một sợi dây buộc thẳng đứng để thanh nằm cân bằng ngang. Tính lực căng dây tại $B$ .
Một thanh đồng chất $AB$ dài 3 m, trọng lượng 60 N, đầu $A$ tựa lên một giá đỡ đóng vai trò trục quay, còn đầu $B$ được giữ bằng một sợi dây buộc thẳng đứng để thanh nằm cân bằng ngang. Tính lực căng dây tại $B$.
2
Trọng lượng $P = 60$ N đặt tại trung điểm, cách trục quay $A$ đúng $1,5$ m (nửa chiều dài thanh). Lực căng $T$ tại $B$ , cách trục quay $A$ đúng $3$ m.
Trọng lượng $P = 60$ N đặt tại trung điểm, cách trục quay $A$ đúng $1,5$ m (nửa chiều dài thanh). Lực căng $T$ tại $B$, cách trục quay $A$ đúng $3$ m.
3
Trọng lượng gây moment $P \times 1,5$ theo chiều làm đầu $B$ đi xuống; lực căng gây moment $T \times 3$ theo chiều ngược lại (giữ đầu $B$ lên). Cân bằng: $T \times 3 = 60 \times 1,5 = 90 \Rightarrow T = 30$ N.
Trọng lượng gây moment $P \times 1,5$ theo chiều làm đầu $B$ đi xuống; lực căng gây moment $T \times 3$ theo chiều ngược lại (giữ đầu $B$ lên). Cân bằng: $T \times 3 = 60 \times 1,5 = 90 \Rightarrow T = 30$ N.
4
Vì trọng tâm nằm đúng ở trung điểm (cách trục quay $A$ bằng nửa cánh tay đòn tới $B$ ), lực căng luôn bằng đúng NỬA trọng lượng thanh trong tình huống này: $T = P/2 = 30$ N, khớp với kết quả trên. Đây là một trường hợp riêng đáng nhớ: bất cứ khi nào một thanh đồng chất được tựa tại một đầu và giữ bằng dây thẳng đứng ở đầu kia (không có lực nào khác), lực căng dây luôn bằng đúng nửa trọng lượng thanh, vì trọng tâm luôn nằm ở giữa hai đầu.
Vì trọng tâm nằm đúng ở trung điểm (cách trục quay $A$ bằng nửa cánh tay đòn tới $B$), lực căng luôn bằng đúng NỬA trọng lượng thanh trong tình huống này: $T = P/2 = 30$ N, khớp với kết quả trên. Đây là một trường hợp riêng đáng nhớ: bất cứ khi nào một thanh đồng chất được tựa tại một đầu và giữ bằng dây thẳng đứng ở đầu kia (không có lực nào khác), lực căng dây luôn bằng đúng nửa trọng lượng thanh, vì trọng tâm luôn nằm ở giữa hai đầu.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất ở dạng bài này: quên tính trọng lượng bản thân của thanh (mặc định coi thanh "nhẹ") dù đề bài đã cho rõ khối lượng hoặc trọng lượng của thanh. Ở mức nền tảng, ta chỉ xét thanh đồng chất nên trọng tâm luôn là trung điểm hình học — cần xác định đúng khoảng cách từ trục quay đến trung điểm đó, không phải đến một đầu thanh.

Ví dụ

Dầm mang tải trọng ở đầu ngắn, tìm lực giữ ở đầu dài (dạng thi)

1
Một dầm đồng chất dài 4 m, trọng lượng 200 N, được đặt lên một giá đỡ đóng vai trò trục quay tại vị trí cách một đầu (đầu ngắn) 1 m. Đầu ngắn treo một tải trọng 50 N. Tính lực (theo phương thẳng đứng, hướng lên) cần tác dụng tại đầu dài để dầm cân bằng.
2
Chọn trục quay $O$ làm gốc. Đầu ngắn (tải trọng 50 N) cách $O$ đúng $1$ m. Trọng tâm dầm nằm ở trung điểm của cả dầm dài 4 m, tức cách đầu ngắn $2$ m, nên cách $O$ là $2 - 1 = 1$ m, về phía đầu dài. Đầu dài (nơi đặt lực cần tìm) cách $O$ là $4 - 1 = 3$ m.
Chọn trục quay $O$ làm gốc. Đầu ngắn (tải trọng 50 N) cách $O$ đúng $1$ m. Trọng tâm dầm nằm ở trung điểm của cả dầm dài 4 m, tức cách đầu ngắn $2$ m, nên cách $O$ là $2 - 1 = 1$ m, về phía đầu dài. Đầu dài (nơi đặt lực cần tìm) cách $O$ là $4 - 1 = 3$ m.
3
Tải trọng 50 N (đầu ngắn) và lực cần tìm $F$ (đầu dài, hướng lên) cùng có xu hướng làm đầu dài đi LÊN — gọi là moment thuận: $M_{thuận} = 50 \times 1 + F \times 3$ . Trọng lượng dầm 200 N (đặt ở phía đầu dài, hướng xuống) có xu hướng làm đầu dài đi XUỐNG — moment nghịch: $M_{nghịch} = 200 \times 1 = 200$ N·m.
Tải trọng 50 N (đầu ngắn) và lực cần tìm $F$ (đầu dài, hướng lên) cùng có xu hướng làm đầu dài đi LÊN — gọi là moment thuận: $M_{thuận} = 50 \times 1 + F \times 3$. Trọng lượng dầm 200 N (đặt ở phía đầu dài, hướng xuống) có xu hướng làm đầu dài đi XUỐNG — moment nghịch: $M_{nghịch} = 200 \times 1 = 200$ N·m.
4
$\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch} \Rightarrow 50 \times 1 + F \times 3 = 200 \Rightarrow 3F = 150 \Rightarrow F = 50$ N.
$\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch} \Rightarrow 50 \times 1 + F \times 3 = 200 \Rightarrow 3F = 150 \Rightarrow F = 50$ N.
5
Thay lại: $50 \times 1 + 50 \times 3 = 50 + 150 = 200$ N·m, đúng bằng $M_{nghịch} = 200$ N·m. Nếu quên không tính trọng lượng bản thân của dầm (200 N) và chỉ cân bằng tải trọng với lực $F$ , sẽ ra $F = 50/3 \approx 16,7$ N — sai hoàn toàn so với đáp số đúng, minh hoạ rõ vì sao bỏ quên trọng lượng bản thân là lỗi nghiêm trọng nhất của dạng bài này. Vậy cần một lực hướng lên $F = 50$ N tại đầu dài để dầm cân bằng.
Thay lại: $50 \times 1 + 50 \times 3 = 50 + 150 = 200$ N·m, đúng bằng $M_{nghịch} = 200$ N·m. Nếu quên không tính trọng lượng bản thân của dầm (200 N) và chỉ cân bằng tải trọng với lực $F$, sẽ ra $F = 50/3 \approx 16,7$ N — sai hoàn toàn so với đáp số đúng, minh hoạ rõ vì sao bỏ quên trọng lượng bản thân là lỗi nghiêm trọng nhất của dạng bài này. Vậy cần một lực hướng lên $F = 50$ N tại đầu dài để dầm cân bằng.

Khi

F = 50

N, hai tổng moment bằng nhau (đều bằng 200 N·m), đúng như điều kiện cân bằng quay yêu cầu.Khi $F = 50$ N, hai tổng moment bằng nhau (đều bằng 200 N·m), đúng như điều kiện cân bằng quay yêu cầu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ghi nhớ: khi thanh/dầm có trọng lượng bản thân đáng kể, phải đưa trọng lượng đó vào phương trình quy tắc moment như một lực đặt tại trung điểm (nếu thanh đồng chất) — quên bước này là lỗi phổ biến nhất của dạng bài này.

Bài tiếp theo ôn tập toàn bộ chương trình moment lực, ngẫu lực và quy tắc cân bằng vật rắn qua các bài toán tổng hợp, chuẩn bị nền tảng vững chắc trước khi bước sang chủ đề công và năng lượng ở khoá học tiếp theo.