Bài học

Quy tắc moment và điều kiện cân bằng của vật rắn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được quy tắc moment cho vật rắn có trục quay cố định ở trạng thái cân bằng, và vận dụng được quy tắc này để tìm khoảng cách hoặc lực chưa biết trong các bài toán kiểu bập bênh, cân đòn.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước đã học cách tính moment của một lực (kể cả khi lực hợp góc) và moment của ngẫu lực (same-grade bridge, nối tiếp trực tiếp). Bài này áp dụng đồng thời NHIỀU moment để xét xem một vật có quay hay đứng yên. Cho đến nay, mỗi bài tập chỉ tính moment của MỘT lực hoặc MỘT ngẫu lực riêng lẻ; thực tế, một vật rắn thường chịu tác dụng của nhiều lực cùng lúc, và câu hỏi quan trọng nhất là: khi nào tổng hợp các lực đó khiến vật đứng yên, không quay?

Khởi động

Hai bạn có cân nặng khác nhau cùng ngồi bập bênh. Bạn nhẹ hơn cần ngồi xa trục quay hơn hay gần trục quay hơn so với bạn nặng để bập bênh nằm thăng bằng? Em thử đoán trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Quy tắc moment: đối với một vật rắn có trục quay cố định, vật ở trạng thái cân bằng (không quay) khi tổng các moment làm vật quay theo một chiều (gọi là moment thuận) bằng tổng các moment làm vật quay theo chiều ngược lại (moment nghịch): $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$ .

Việc gọi chiều nào là "thuận", chiều nào là "nghịch" chỉ là một quy ước em tự chọn lúc bắt đầu giải bài, miễn nhất quán trong suốt bài toán. Đây là điều kiện cân bằng quay, tách biệt với điều kiện cân bằng lực (tổng các lực bằng 0) đã học ở các bài trước — một vật có thể chịu nhiều lực có tổng khác 0 nhưng vẫn không quay, miễn thoả quy tắc moment quanh trục quay cố định của nó.

**Quy tắc moment**: đối với một vật rắn có trục quay cố định, vật ở trạng thái cân bằng (không quay) khi tổng các moment làm vật quay theo một chiều (gọi là **moment thuận**) bằng tổng các moment làm vật quay theo chiều ngược lại (**moment nghịch**): $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$. Việc gọi chiều nào là "thuận", chiều nào là "nghịch" chỉ là một quy ước em tự chọn lúc bắt đầu giải bài, miễn nhất quán trong suốt bài toán. Đây là **điều kiện cân bằng quay**, tách biệt với điều kiện cân bằng lực (tổng các lực bằng 0) đã học ở các bài trước — một vật có thể chịu nhiều lực có tổng khác 0 nhưng vẫn không quay, miễn thoả quy tắc moment quanh trục quay cố định của nó.

Khi trên MỘT phía của trục quay có nhiều hơn một lực, các moment cùng chiều quay phải được CỘNG LẠI với nhau trước khi so sánh với phía đối diện — không được so từng cặp lực riêng lẻ. Quy trình áp dụng quy tắc moment gồm: xác định trục quay và mọi lực tác dụng; tính cánh tay đòn và moment của từng lực; phân loại moment thuận/nghịch theo chiều quay mà mỗi lực gây ra; rồi giải phương trình $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$ để tìm ẩn số.

Quy tắc moment chính là nguyên lý hoạt động của rất nhiều dụng cụ đo lường quen thuộc. Chiếc cân đòn truyền thống (cân Roberval, cân treo chợ) hoạt động đúng theo cách này: đặt vật cần cân một bên, di chuyển quả cân chuẩn ở bên kia cho đến khi đòn cân nằm ngang — lúc đó, theo quy tắc moment, khối lượng vật cần cân nhân với cánh tay đòn của nó phải bằng khối lượng quả cân nhân với cánh tay đòn của quả cân. Bập bênh ở sân chơi cũng vận hành theo đúng nguyên lý đó, chỉ khác là hai "quả cân" ở đây là hai bạn nhỏ.

Bập bênh dài 4 m, trục quay ở giữa (mỗi bên dài 2 m). Bạn A (40 kg) ngồi cách trục 1,2 m; bạn B (30 kg) phải ngồi cách trục 1,6 m ở phía đối diện để cân bằng — cả hai vị trí đều nằm trong giới hạn 2 m của bập bênh.

Nhìn vào vị trí hai bạn trên trục, em thấy ngay: bạn A nặng hơn (40 kg) ngồi GẦN trục quay hơn (1,2 m), còn bạn B nhẹ hơn (30 kg) phải ngồi XA trục quay hơn (1,6 m) để bù lại. Đây đúng là câu trả lời cho câu hỏi khởi động: bạn nhẹ hơn cần ngồi xa trục quay hơn, vì cánh tay đòn lớn hơn bù lại cho trọng lượng nhỏ hơn, giữ cho tích số (trọng lượng × cánh tay đòn) của hai bên bằng nhau.

Ví dụ

Hai bạn ngồi bập bênh

1
Một chiếc bập bênh dài 4 m, trục quay đặt tại chính giữa (mỗi bên dài 2 m). Bạn A nặng 40 kg ngồi cách trục quay 1,2 m về một phía. Hỏi bạn B nặng 30 kg phải ngồi cách trục quay bao xa ở phía đối diện để bập bênh nằm cân bằng ngang? Lấy $g = 10$ m/s².
Một chiếc bập bênh dài 4 m, trục quay đặt tại chính giữa (mỗi bên dài 2 m). Bạn A nặng 40 kg ngồi cách trục quay 1,2 m về một phía. Hỏi bạn B nặng 30 kg phải ngồi cách trục quay bao xa ở phía đối diện để bập bênh nằm cân bằng ngang? Lấy $g = 10$ m/s².
2
Trọng lượng của A gây moment $M_A = 40g \times 1,2$ (theo một chiều); trọng lượng của B gây moment $M_B = 30g \times d$ (theo chiều ngược lại). Áp dụng quy tắc moment: $M_A = M_B$ , tức $40g \times 1,2 = 30g \times d$ .
Trọng lượng của A gây moment $M_A = 40g \times 1,2$ (theo một chiều); trọng lượng của B gây moment $M_B = 30g \times d$ (theo chiều ngược lại). Áp dụng quy tắc moment: $M_A = M_B$, tức $40g \times 1,2 = 30g \times d$.
3
Vì $g$ có mặt ở cả hai vế nên triệt tiêu: $40 \times 1,2 = 30 \times d \Rightarrow d = \dfrac{48}{30} = 1,6$ m.
Vì $g$ có mặt ở cả hai vế nên triệt tiêu: $40 \times 1,2 = 30 \times d \Rightarrow d = \dfrac{48}{30} = 1,6$ m.
4
$1,6$ m nhỏ hơn $2$ m (nửa chiều dài bập bênh), nên bạn B vẫn ngồi trong giới hạn của tấm ván, không bị "rơi ra ngoài đầu ván". Đây là bước kiểm tra quan trọng ở mọi bài toán bập bênh/cân đòn: một đáp số đúng về mặt số học nhưng vượt quá chiều dài vật lý của tấm ván là một đáp số vô nghĩa trong thực tế, dù phép tính moment không sai. Vậy bạn B cần ngồi cách trục quay 1,6 m.
$1,6$ m nhỏ hơn $2$ m (nửa chiều dài bập bênh), nên bạn B vẫn ngồi trong giới hạn của tấm ván, không bị "rơi ra ngoài đầu ván". Đây là bước kiểm tra quan trọng ở mọi bài toán bập bênh/cân đòn: một đáp số đúng về mặt số học nhưng vượt quá chiều dài vật lý của tấm ván là một đáp số vô nghĩa trong thực tế, dù phép tính moment không sai. Vậy bạn B cần ngồi cách trục quay 1,6 m.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: khi có NHIỀU lực trên cùng một phía của trục quay, nhiều em so sánh từng cặp lực riêng lẻ với phía đối diện thay vì CỘNG DỒN tất cả các moment cùng chiều trên một phía trước khi so với phía kia. Luôn cộng đủ các moment cùng chiều rồi mới áp dụng $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$ .

Ví dụ

Thanh treo hai vật cùng một phía trục quay (dạng thi)

1
Một thanh nhẹ (bỏ qua trọng lượng thanh) dài 2 m, trục quay cách đầu trái 0,5 m. Đầu trái treo một vật nặng 45 N. Phía đầu phải (cách trục 1,5 m) treo hai vật: một vật 20 N cách trục 0,6 m và một vật nặng $P$ chưa biết ở đúng đầu phải, cách trục 1,5 m. Tìm $P$ để thanh cân bằng.
Một thanh nhẹ (bỏ qua trọng lượng thanh) dài 2 m, trục quay cách đầu trái 0,5 m. Đầu trái treo một vật nặng 45 N. Phía đầu phải (cách trục 1,5 m) treo hai vật: một vật 20 N cách trục 0,6 m và một vật nặng $P$ chưa biết ở đúng đầu phải, cách trục 1,5 m. Tìm $P$ để thanh cân bằng.
2
Vật duy nhất bên trái là 45 N, cách trục 0,5 m, nên $M_{trái} = 45 \times 0,5 = 22,5$ N·m — bên này không cần cộng dồn vì chỉ có một lực.
Vật duy nhất bên trái là 45 N, cách trục 0,5 m, nên $M_{trái} = 45 \times 0,5 = 22,5$ N·m — bên này không cần cộng dồn vì chỉ có một lực.
3
Bên phải có HAI vật cùng gây moment theo một chiều (cùng làm thanh quay về phía đó), nên bắt buộc phải cộng lại trước khi so sánh: $M_{phải} = 20 \times 0,6 + P \times 1,5 = 12 + 1,5P$ .
Bên phải có HAI vật cùng gây moment theo một chiều (cùng làm thanh quay về phía đó), nên bắt buộc phải cộng lại trước khi so sánh: $M_{phải} = 20 \times 0,6 + P \times 1,5 = 12 + 1,5P$.
4
Áp dụng quy tắc moment $M_{trái} = M_{phải}$ : $22,5 = 12 + 1,5P \Rightarrow 1,5P = 22,5 - 12 = 10,5 \Rightarrow P = 7$ N.
Áp dụng quy tắc moment $M_{trái} = M_{phải}$: $22,5 = 12 + 1,5P \Rightarrow 1,5P = 22,5 - 12 = 10,5 \Rightarrow P = 7$ N.
5
Thay lại: $12 + 1,5 \times 7 = 12 + 10,5 = 22,5$ N·m, đúng bằng $M_{trái} = 22,5$ N·m. Nếu quên cộng dồn và chỉ so $45 \times 0,5$ với riêng $P \times 1,5$ (bỏ sót vật 20 N), sẽ ra $P = 15$ N — một đáp số sai điển hình của lỗi "quên cộng moment cùng phía" đã nêu ở phần lưu ý. Vậy đáp số đúng là $P = 7$ N.
Thay lại: $12 + 1,5 \times 7 = 12 + 10,5 = 22,5$ N·m, đúng bằng $M_{trái} = 22,5$ N·m. Nếu quên cộng dồn và chỉ so $45 \times 0,5$ với riêng $P \times 1,5$ (bỏ sót vật 20 N), sẽ ra $P = 15$ N — một đáp số sai điển hình của lỗi "quên cộng moment cùng phía" đã nêu ở phần lưu ý. Vậy đáp số đúng là $P = 7$ N.

Hai ví dụ trên dùng chung một quy trình: xác định trục quay, tính moment từng lực, cộng dồn moment cùng chiều nếu cần, rồi giải phương trình cân bằng. Phần luyện tập dưới đây lặp lại đúng quy trình này với các số liệu khác nhau, từ đơn giản (một lực mỗi bên) đến phức tạp hơn (nhiều lực một bên), để em thành thạo quy trình trước khi sang bài tiếp theo — nơi thanh/dầm còn có thêm trọng lượng bản thân cần tính.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ghi nhớ: quy tắc moment — $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$ . Khi một phía có nhiều lực, phải cộng dồn các moment cùng chiều trước khi so sánh hai phía.

Ghi nhớ: quy tắc moment — $\sum M_{thuận} = \sum M_{nghịch}$. Khi một phía có nhiều lực, phải cộng dồn các moment cùng chiều trước khi so sánh hai phía.

Bài tiếp theo áp dụng chính quy tắc moment này cho một loại vật đặc biệt: thanh hoặc dầm có TRỌNG LƯỢNG BẢN THÂN đáng kể, không thể bỏ qua như các bài toán "thanh nhẹ" vừa học — một dạng bài rất thường gặp trong đề kiểm tra.