Bài học

Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em biến đổi được một tích hai giá trị lượng giác thành một tổng, và ngược lại, một tổng thành một tích — công cụ để tính giá trị và rút gọn những biểu thức mà công thức cộng một mình không xử lý gọn được.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này (same-grade bridge) quay lại đúng bốn công thức cộng của Bài 3: $\cos(a+b)$ , $\cos(a-b)$ , $\sin(a+b)$ , $\sin(a-b)$ . Không có công thức mới nào phải học thuộc từ đầu — chỉ là cộng và trừ từng cặp công thức cộng theo một cách khéo léo. Nếu em còn chưa thuộc chắc bốn công thức cộng, nên ôn lại Bài 3 trước, vì cả bài học hôm nay chỉ là một phép biến đổi đại số trên chính bốn công thức đó — không xuất phát từ ý tưởng hình học mới nào.

Bài này (same-grade bridge) quay lại đúng bốn công thức cộng của Bài 3: $\cos(a+b)$, $\cos(a-b)$, $\sin(a+b)$, $\sin(a-b)$. Không có công thức mới nào phải học thuộc từ đầu — chỉ là cộng và trừ từng cặp công thức cộng theo một cách khéo léo. Nếu em còn chưa thuộc chắc bốn công thức cộng, nên ôn lại Bài 3 trước, vì cả bài học hôm nay chỉ là một phép biến đổi đại số trên chính bốn công thức đó — không xuất phát từ ý tưởng hình học mới nào.

Khởi động

Có cách nào biến $\sin x + \sin y$ thành một TÍCH duy nhất không, để dễ xét dấu hoặc so sánh với 0 hơn là giữ nguyên một tổng? Và ngược lại, một tích như $\cos15° \cdot \cos75°$ có biến được thành một tổng đơn giản hơn không?

Biến đổi tích thành tổng

Cộng hai công thức $\cos(a-b) = \cos a\cos b+\sin a\sin b$ và $\cos(a+b) = \cos a\cos b-\sin a\sin b$ (Bài 3), số hạng $\sin a\sin b$ triệt tiêu: $\cos(a-b)+\cos(a+b) = 2\cos a\cos b$ , tức $\cos a\cos b = \dfrac12\left[\cos(a-b)+\cos(a+b)\right]$ . Trừ hai công thức đó theo chiều ngược lại, số hạng $\cos a\cos b$ triệt tiêu: $\sin a\sin b = \dfrac12\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$ . Cộng hai công thức $\sin(a+b)$ và $\sin(a-b)$ , số hạng $\cos a\sin b$ triệt tiêu: $\sin a\cos b = \dfrac12\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]$ .

Cộng hai công thức $\cos(a-b) = \cos a\cos b+\sin a\sin b$ và $\cos(a+b) = \cos a\cos b-\sin a\sin b$ (Bài 3), số hạng $\sin a\sin b$ triệt tiêu: $\cos(a-b)+\cos(a+b) = 2\cos a\cos b$, tức $\cos a\cos b = \dfrac12\left[\cos(a-b)+\cos(a+b)\right]$. Trừ hai công thức đó theo chiều ngược lại, số hạng $\cos a\cos b$ triệt tiêu: $\sin a\sin b = \dfrac12\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$. Cộng hai công thức $\sin(a+b)$ và $\sin(a-b)$, số hạng $\cos a\sin b$ triệt tiêu: $\sin a\cos b = \dfrac12\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]$.

Biến đổi tổng thành tích

Ba công thức trên đổi TÍCH thành TỔNG. Muốn đi chiều ngược lại — tổng thành tích — đặt $u=a+b$ , $v=a-b$ , suy ra $a=\dfrac{u+v}2$ , $b=\dfrac{u-v}2$ , rồi thay ngược lại. Ví dụ với sin: $\sin u + \sin v$ đúng bằng $2\sin a\cos b$ ở trên (vì $u=a+b, v=a-b$ ), nên $\sin x + \sin y = 2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$ (đổi lại tên biến $x,y$ cho quen thuộc với đề bài). Ba công thức còn lại suy ra tương tự: $\sin x - \sin y = 2\cos\dfrac{x+y}2\sin\dfrac{x-y}2$ ; $\cos x + \cos y = 2\cos\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$ ; $\cos x - \cos y = -2\sin\dfrac{x+y}2\sin\dfrac{x-y}2$ (chú ý dấu trừ riêng ở công thức cuối cùng này — lỗi hay gặp nhất của cả nhóm công thức). Bốn công thức tổng thành tích này thường được trình bày trong SGK như một nhóm độc lập cần học thuộc, nhưng bản chất chỉ là phép đặt ẩn phụ ngược của ba công thức tích thành tổng ở trên — hiểu được nguồn gốc này giúp em tự suy ra lại công thức nếu quên, thay vì phải học thuộc lòng cả tám công thức tách rời nhau.

Ba công thức trên đổi TÍCH thành TỔNG. Muốn đi chiều ngược lại — tổng thành tích — đặt $u=a+b$, $v=a-b$, suy ra $a=\dfrac{u+v}2$, $b=\dfrac{u-v}2$, rồi thay ngược lại. Ví dụ với sin: $\sin u + \sin v$ đúng bằng $2\sin a\cos b$ ở trên (vì $u=a+b, v=a-b$), nên $\sin x + \sin y = 2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$ (đổi lại tên biến $x,y$ cho quen thuộc với đề bài). Ba công thức còn lại suy ra tương tự: $\sin x - \sin y = 2\cos\dfrac{x+y}2\sin\dfrac{x-y}2$; $\cos x + \cos y = 2\cos\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$; $\cos x - \cos y = -2\sin\dfrac{x+y}2\sin\dfrac{x-y}2$ (chú ý dấu trừ riêng ở công thức cuối cùng này — lỗi hay gặp nhất của cả nhóm công thức). Bốn công thức tổng thành tích này thường được trình bày trong SGK như một nhóm độc lập cần học thuộc, nhưng bản chất chỉ là phép đặt ẩn phụ ngược của ba công thức tích thành tổng ở trên — hiểu được nguồn gốc này giúp em tự suy ra lại công thức nếu quên, thay vì phải học thuộc lòng cả tám công thức tách rời nhau.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Viết sinx + siny dưới dạng tích

1
Chứng minh $\sin x + \sin y = 2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$ .
Chứng minh $\sin x + \sin y = 2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$.
2
Đặt $u = \dfrac{x+y}2$ , $v=\dfrac{x-y}2$ , khi đó $x=u+v$ , $y=u-v$ .
Đặt $u = \dfrac{x+y}2$, $v=\dfrac{x-y}2$, khi đó $x=u+v$, $y=u-v$.
3
$\sin x = \sin(u+v) = \sin u\cos v+\cos u\sin v$ và $\sin y = \sin(u-v) = \sin u\cos v-\cos u\sin v$ .
$\sin x = \sin(u+v) = \sin u\cos v+\cos u\sin v$ và $\sin y = \sin(u-v) = \sin u\cos v-\cos u\sin v$.
4
$\sin x+\sin y = 2\sin u\cos v = 2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$ — đúng như cần chứng minh, và cách đặt ẩn phụ này áp dụng y hệt cho ba công thức tổng thành tích còn lại.
$\sin x+\sin y = 2\sin u\cos v = 2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$ — đúng như cần chứng minh, và cách đặt ẩn phụ này áp dụng y hệt cho ba công thức tổng thành tích còn lại.

Ví dụ

Tính cos15°·cos75° bằng công thức tích thành tổng

1
Tính $\cos15° \cdot \cos75°$ .
Tính $\cos15° \cdot \cos75°$.
2
$\cos15°\cos75° = \dfrac12\left[\cos(75°-15°)+\cos(75°+15°)\right] = \dfrac12\left[\cos60°+\cos90°\right]$ .
$\cos15°\cos75° = \dfrac12\left[\cos(75°-15°)+\cos(75°+15°)\right] = \dfrac12\left[\cos60°+\cos90°\right]$.
3
$\cos60° = \dfrac12$ , $\cos90° = 0$ , nên $= \dfrac12\left[\dfrac12+0\right] = \dfrac14$ .
$\cos60° = \dfrac12$, $\cos90° = 0$, nên $= \dfrac12\left[\dfrac12+0\right] = \dfrac14$.
4
Với giá trị gần đúng: $\cos15° \approx 0{,}9659$ , $\cos75° \approx 0{,}2588$ , tích $\approx 0{,}25$ — khớp với $\dfrac14$ . Vậy $\cos15°\cos75° = \dfrac14$ .
Với giá trị gần đúng: $\cos15° \approx 0{,}9659$, $\cos75° \approx 0{,}2588$, tích $\approx 0{,}25$ — khớp với $\dfrac14$. Vậy $\cos15°\cos75° = \dfrac14$.

Ví dụ

Tính sina·sinb bằng công thức tích thành tổng

1
Tính $\sin75° \cdot \sin15°$ .
Tính $\sin75° \cdot \sin15°$.
2
$\sin a\sin b = \dfrac12\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$ , với $a=75°, b=15°$ : $\sin75°\sin15° = \dfrac12\left[\cos60°-\cos90°\right]$ .
$\sin a\sin b = \dfrac12\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$, với $a=75°, b=15°$: $\sin75°\sin15° = \dfrac12\left[\cos60°-\cos90°\right]$.
3
$= \dfrac12\left[\dfrac12 - 0\right] = \dfrac14$ .
$= \dfrac12\left[\dfrac12 - 0\right] = \dfrac14$.
4
So sánh với ví dụ trước: $\cos15°\cos75°$ cũng bằng $\dfrac14$ — hai tích khác nhau cho cùng một kết quả, vì $\cos(60°)$ xuất hiện ở cả hai công thức trong khi $\cos90°=0$ triệt tiêu số hạng còn lại ở cả hai trường hợp. Vậy $\sin75°\sin15° = \dfrac14$ .
So sánh với ví dụ trước: $\cos15°\cos75°$ cũng bằng $\dfrac14$ — hai tích khác nhau cho cùng một kết quả, vì $\cos(60°)$ xuất hiện ở cả hai công thức trong khi $\cos90°=0$ triệt tiêu số hạng còn lại ở cả hai trường hợp. Vậy $\sin75°\sin15° = \dfrac14$.

Cách chọn công thức đúng hướng không khó: nếu đề bài cho một TÍCH (như $\cos15°\cdot\cos75°$ hay $\sin a\sin b$ ), dùng nhóm tích-thành-tổng để biến nó thành phép cộng/trừ dễ tính. Nếu đề bài cho một TỔNG hay HIỆU của hai sin hoặc hai cos (như $\sin7x+\sin x$ ở ví dụ tiếp theo), dùng nhóm tổng-thành-tích để biến nó thành một tích — đặc biệt hữu ích khi cần rút gọn một phân thức, vì một nhân tử chung ở tử và mẫu có thể triệt tiêu ngay.

Cách chọn công thức đúng hướng không khó: nếu đề bài cho một TÍCH (như $\cos15°\cdot\cos75°$ hay $\sin a\sin b$), dùng nhóm tích-thành-tổng để biến nó thành phép cộng/trừ dễ tính. Nếu đề bài cho một TỔNG hay HIỆU của hai sin hoặc hai cos (như $\sin7x+\sin x$ ở ví dụ tiếp theo), dùng nhóm tổng-thành-tích để biến nó thành một tích — đặc biệt hữu ích khi cần rút gọn một phân thức, vì một nhân tử chung ở tử và mẫu có thể triệt tiêu ngay.

Ví dụ

Rút gọn phân thức chứa tổng lượng giác

1
Rút gọn $E = \dfrac{\sin7x+\sin x}{\cos7x+\cos x}$ (với điều kiện mẫu số khác 0).
Rút gọn $E = \dfrac{\sin7x+\sin x}{\cos7x+\cos x}$ (với điều kiện mẫu số khác 0).
2
$\sin7x+\sin x = 2\sin4x\cos3x$ (tổng thành tích, với $\dfrac{7x+x}2=4x$ , $\dfrac{7x-x}2=3x$ ).
$\sin7x+\sin x = 2\sin4x\cos3x$ (tổng thành tích, với $\dfrac{7x+x}2=4x$, $\dfrac{7x-x}2=3x$).
3
$\cos7x+\cos x = 2\cos4x\cos3x$ (cùng hai góc $4x, 3x$ ).
$\cos7x+\cos x = 2\cos4x\cos3x$ (cùng hai góc $4x, 3x$).
4
$E = \dfrac{2\sin4x\cos3x}{2\cos4x\cos3x} = \dfrac{\sin4x}{\cos4x} = \tan4x$ , với ĐKXĐ $\cos3x \ne 0$ và $\cos4x \ne 0$ (để phép rút gọn và tan4x đều có nghĩa). Vậy $E = \tan4x$ .
$E = \dfrac{2\sin4x\cos3x}{2\cos4x\cos3x} = \dfrac{\sin4x}{\cos4x} = \tan4x$, với ĐKXĐ $\cos3x \ne 0$ và $\cos4x \ne 0$ (để phép rút gọn và tan4x đều có nghĩa). Vậy $E = \tan4x$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất: nhớ nhầm thứ tự $(x+y)/2$ và $(x-y)/2$ trong hai vị trí của công thức. Lỗi khác: quên dấu trừ riêng của công thức $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2$ — đây là công thức DUY NHẤT trong bốn công thức tổng thành tích có dấu trừ ở ngoài. Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn: khi rút gọn một phân thức như ví dụ E, học sinh hay quên nêu điều kiện của nhân tử chung bị triệt tiêu (ở đây là $\cos3x \ne 0$ ) — thiếu điều kiện này, lời giải bị trừ điểm trình bày dù đáp số đúng.

Sai lầm phổ biến nhất: nhớ nhầm thứ tự $(x+y)/2$ và $(x-y)/2$ trong hai vị trí của công thức. Lỗi khác: quên dấu trừ riêng của công thức $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2$ — đây là công thức DUY NHẤT trong bốn công thức tổng thành tích có dấu trừ ở ngoài. Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn: khi rút gọn một phân thức như ví dụ E, học sinh hay quên nêu điều kiện của nhân tử chung bị triệt tiêu (ở đây là $\cos3x \ne 0$) — thiếu điều kiện này, lời giải bị trừ điểm trình bày dù đáp số đúng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tóm lại: bốn công thức tích thành tổng chỉ là cộng/trừ khéo léo bốn công thức cộng của Bài 3, còn bốn công thức tổng thành tích là chiều ngược lại, qua phép đặt ẩn phụ $u=(x+y)/2, v=(x-y)/2$ . Không có công thức nào cần nhớ độc lập với công thức cộng — chỉ cần nhớ đúng một cách suy luận, mọi công thức còn lại đều tự suy ra được khi cần. Kỹ năng thực sự cần luyện là nhận diện nhanh: nhìn thấy một TÍCH thì nghĩ đến tích-thành-tổng, nhìn thấy một TỔNG/HIỆU thì nghĩ đến tổng-thành-tích — việc chọn sai hướng ngay từ đầu là nguyên nhân phổ biến khiến một bài rút gọn đơn giản trở nên rối rắm.

Tóm lại: bốn công thức tích thành tổng chỉ là cộng/trừ khéo léo bốn công thức cộng của Bài 3, còn bốn công thức tổng thành tích là chiều ngược lại, qua phép đặt ẩn phụ $u=(x+y)/2, v=(x-y)/2$. Không có công thức nào cần nhớ độc lập với công thức cộng — chỉ cần nhớ đúng một cách suy luận, mọi công thức còn lại đều tự suy ra được khi cần. Kỹ năng thực sự cần luyện là nhận diện nhanh: nhìn thấy một TÍCH thì nghĩ đến tích-thành-tổng, nhìn thấy một TỔNG/HIỆU thì nghĩ đến tổng-thành-tích — việc chọn sai hướng ngay từ đầu là nguyên nhân phổ biến khiến một bài rút gọn đơn giản trở nên rối rắm.

Chương cuối của khoá học ghép cả năm kỹ thuật — dấu theo góc phần tư, hệ thức cơ bản và góc liên kết, công thức cộng, nhân đôi và hạ bậc, và bốn công thức em vừa học hôm nay — vào cùng một bài toán tổng hợp, đúng như một đề kiểm tra cuối chương thực sự sẽ hỏi. Không có kiến thức mới nào ở chương đó — chỉ có việc nhận ra nên dùng công thức nào trước, và theo thứ tự nào.