Bài học

Công thức cộng

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em vận dụng đúng công thức cộng để tính giá trị lượng giác chính xác của những góc không có trong bảng đặc biệt (như 75°, 15°, 105°) bằng cách phân tích chúng thành tổng hoặc hiệu của các góc đã biết, và rút gọn các biểu thức chứa tổng hai góc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này (same-grade bridge) dùng lại toàn bộ hai bài trước: bảng giá trị đặc biệt và dấu theo góc phần tư (Bài 1), hệ thức cơ bản và bốn công thức góc liên kết (Bài 2). Ngoài ra còn cần một công cụ từ lớp 10: tích vô hướng của hai vectơ (prior-grade review) — $\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos\varphi$ , với φ là góc giữa hai vectơ.

Khởi động

Máy tính cầm tay cho ngay cos75° ≈ 0,2588, nhưng nếu đề bài yêu cầu "không dùng máy tính, tính giá trị đúng" thì sao? Góc 75° không nằm trong bảng đặc biệt — nhưng 75° = 45° + 30°, hai góc ta đã biết rất rõ.

Xây dựng công thức cộng

Gọi $M_a(\cos a; \sin a)$ và $M_b(\cos b; \sin b)$ là hai điểm trên đường tròn lượng giác ứng với góc a và b. Cả hai vectơ $\vec{OM_a}$ , $\vec{OM_b}$ đều có độ dài 1 và góc giữa chúng là $a - b$ , nên theo công thức tích vô hướng: $\vec{OM_a} \cdot \vec{OM_b} = \cos(a-b)$ . Mặt khác, tính theo toạ độ: $\vec{OM_a} \cdot \vec{OM_b} = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ . So sánh hai cách tính cùng một đại lượng, ta có công thức cộng đầu tiên: $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ .

Gọi $M_a(\cos a; \sin a)$ và $M_b(\cos b; \sin b)$ là hai điểm trên đường tròn lượng giác ứng với góc a và b. Cả hai vectơ $\vec{OM_a}$, $\vec{OM_b}$ đều có độ dài 1 và góc giữa chúng là $a - b$, nên theo công thức tích vô hướng: $\vec{OM_a} \cdot \vec{OM_b} = \cos(a-b)$. Mặt khác, tính theo toạ độ: $\vec{OM_a} \cdot \vec{OM_b} = \cos a\cos b + \sin a\sin b$. So sánh hai cách tính cùng một đại lượng, ta có công thức cộng đầu tiên: $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

Thay $b$ bởi $-b$ và dùng công thức góc đối ( $\cos(-b)=\cos b$ , $\sin(-b)=-\sin b$ ) từ Bài 2, ta được $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ . Với sin, dùng công thức góc phụ: $\sin(a+b) = \cos\left(\dfrac{\pi}2 - (a+b)\right) = \cos\left(\left(\dfrac{\pi}2-a\right) - b\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}2-a\right)\cos b + \sin\left(\dfrac{\pi}2-a\right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ (lại dùng công thức góc phụ ở bước cuối để đổi $\cos(\pi/2-a)$ thành $\sin a$ và $\sin(\pi/2-a)$ thành $\cos a$ ). Tương tự, $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$ .

Thay $b$ bởi $-b$ và dùng công thức góc đối ($\cos(-b)=\cos b$, $\sin(-b)=-\sin b$) từ Bài 2, ta được $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$. Với sin, dùng công thức góc phụ: $\sin(a+b) = \cos\left(\dfrac{\pi}2 - (a+b)\right) = \cos\left(\left(\dfrac{\pi}2-a\right) - b\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}2-a\right)\cos b + \sin\left(\dfrac{\pi}2-a\right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ (lại dùng công thức góc phụ ở bước cuối để đổi $\cos(\pi/2-a)$ thành $\sin a$ và $\sin(\pi/2-a)$ thành $\cos a$). Tương tự, $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$.

Với tang, chia tử và mẫu của $\tan(a+b) = \dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}$ cho $\cos a\cos b$ (giả sử khác 0), ta được $\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$ (điều kiện: $\cos a, \cos b, \cos(a+b)$ đều khác 0). Đổi dấu $b$ tương tự cho $\tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b}$ .

Điều kiện xác định của công thức tang không phải chi tiết phụ — bỏ qua nó dễ dẫn đến kết luận sai. Ví dụ, với $a = b = 45°$ : $\tan a + \tan b = 2$ nhưng $1 - \tan a\tan b = 1 - 1 = 0$ , nên công thức $\tan(a+b)$ không áp dụng được — đúng vậy, vì $a+b = 90°$ là góc mà tan không xác định. Trước khi dùng công thức tang, luôn kiểm tra nhanh xem $\cos a$ , $\cos b$ , và góc tổng/hiệu có khác $\pi/2 + k\pi$ hay không; nếu không, nên quay lại tính bằng công thức của sin và cos rồi chia trực tiếp.

Điều kiện xác định của công thức tang không phải chi tiết phụ — bỏ qua nó dễ dẫn đến kết luận sai. Ví dụ, với $a = b = 45°$: $\tan a + \tan b = 2$ nhưng $1 - \tan a\tan b = 1 - 1 = 0$, nên công thức $\tan(a+b)$ không áp dụng được — đúng vậy, vì $a+b = 90°$ là góc mà tan không xác định. Trước khi dùng công thức tang, luôn kiểm tra nhanh xem $\cos a$, $\cos b$, và góc tổng/hiệu có khác $\pi/2 + k\pi$ hay không; nếu không, nên quay lại tính bằng công thức của sin và cos rồi chia trực tiếp.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Tính cos75° bằng công thức cộng

1
Tính $\cos75°$ không dùng máy tính.
Tính $\cos75°$ không dùng máy tính.
2
Ta có $75° = 45° + 30°$ , hai góc đều có trong bảng giá trị đặc biệt.
Ta có $75° = 45° + 30°$, hai góc đều có trong bảng giá trị đặc biệt.
3
$\cos75° = \cos(45°+30°) = \cos45°\cos30° - \sin45°\sin30°$ .
$\cos75° = \cos(45°+30°) = \cos45°\cos30° - \sin45°\sin30°$.
4
$= \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12 = \dfrac{\sqrt6}{4} - \dfrac{\sqrt2}{4} = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ . Vậy $\cos75° = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4} \approx 0{,}2588$ , khớp với giá trị máy tính cho.
$= \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12 = \dfrac{\sqrt6}{4} - \dfrac{\sqrt2}{4} = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$. Vậy $\cos75° = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4} \approx 0{,}2588$, khớp với giá trị máy tính cho.

Ví dụ

Tính tan15° bằng công thức cộng

1
Tính $\tan15°$ không dùng máy tính.
Tính $\tan15°$ không dùng máy tính.
2
$15° = 45° - 30°$ , nên $\tan15° = \dfrac{\tan45° - \tan30°}{1+\tan45°\tan30°} = \dfrac{1 - \sqrt3/3}{1+\sqrt3/3}$ .
$15° = 45° - 30°$, nên $\tan15° = \dfrac{\tan45° - \tan30°}{1+\tan45°\tan30°} = \dfrac{1 - \sqrt3/3}{1+\sqrt3/3}$.
3
Nhân cả tử và mẫu với 3: $= \dfrac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}$ . Nhân tiếp với lượng liên hợp $(3-\sqrt3)$ : $= \dfrac{(3-\sqrt3)^2}{9-3} = \dfrac{9-6\sqrt3+3}{6} = \dfrac{12-6\sqrt3}{6} = 2-\sqrt3$ .
Nhân cả tử và mẫu với 3: $= \dfrac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}$. Nhân tiếp với lượng liên hợp $(3-\sqrt3)$: $= \dfrac{(3-\sqrt3)^2}{9-3} = \dfrac{9-6\sqrt3+3}{6} = \dfrac{12-6\sqrt3}{6} = 2-\sqrt3$.
4
$2 - \sqrt3 \approx 2 - 1{,}732 = 0{,}268$ , khớp với $\tan15° \approx 0{,}2679$ (sai số làm tròn). Vậy $\tan15° = 2-\sqrt3$ .
$2 - \sqrt3 \approx 2 - 1{,}732 = 0{,}268$, khớp với $\tan15° \approx 0{,}2679$ (sai số làm tròn). Vậy $\tan15° = 2-\sqrt3$.

Ví dụ

Rút gọn tổng sin(a+b) + sin(a−b)

1
Rút gọn $C = \sin(a+b) + \sin(a-b)$ , sau đó kiểm tra công thức bằng $a=75°, b=15°$ .
Rút gọn $C = \sin(a+b) + \sin(a-b)$, sau đó kiểm tra công thức bằng $a=75°, b=15°$.
2
$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ và $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$ .
$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ và $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$.
3
$C = 2\sin a\cos b$ — hai số hạng chứa $\cos a\sin b$ triệt tiêu nhau.
$C = 2\sin a\cos b$ — hai số hạng chứa $\cos a\sin b$ triệt tiêu nhau.
4
Với $a=75°, b=15°$ : trực tiếp $\sin90° + \sin60° = 1 + \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{2+\sqrt3}{2}$ . Theo công thức: $2\sin75°\cos15° = 2\cos15°\cdot\cos15°$ (vì $\sin75°=\cos15°$ theo công thức góc phụ) $= 2\cos^215° = \dfrac{2+\sqrt3}{2}$ — hai cách tính khớp nhau. Vậy $C = 2\sin a\cos b$ .
Với $a=75°, b=15°$: trực tiếp $\sin90° + \sin60° = 1 + \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{2+\sqrt3}{2}$. Theo công thức: $2\sin75°\cos15° = 2\cos15°\cdot\cos15°$ (vì $\sin75°=\cos15°$ theo công thức góc phụ) $= 2\cos^215° = \dfrac{2+\sqrt3}{2}$ — hai cách tính khớp nhau. Vậy $C = 2\sin a\cos b$.

Ví dụ

Tính cos15° và đối chiếu với công thức góc phụ

1
Tính $\cos15°$ bằng công thức cộng, rồi đối chiếu với $\sin75°$ đã tính ở ví dụ đầu bài (thông qua công thức góc phụ ở Bài 2).
Tính $\cos15°$ bằng công thức cộng, rồi đối chiếu với $\sin75°$ đã tính ở ví dụ đầu bài (thông qua công thức góc phụ ở Bài 2).
2
$15° = 45°-30°$ , nên $\cos15° = \cos(45°-30°) = \cos45°\cos30° + \sin45°\sin30° = \dfrac{\sqrt6}{4} + \dfrac{\sqrt2}{4} = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .
$15° = 45°-30°$, nên $\cos15° = \cos(45°-30°) = \cos45°\cos30° + \sin45°\sin30° = \dfrac{\sqrt6}{4} + \dfrac{\sqrt2}{4} = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
3
Theo Bài 2, $\sin75° = \sin\left(\dfrac{\pi}2 - 15°\right)$ ... nói cách khác, vì $15° + 75° = 90°$ nên $\cos15° = \sin75°$ (góc phụ nhau).
Theo Bài 2, $\sin75° = \sin\left(\dfrac{\pi}2 - 15°\right)$... nói cách khác, vì $15° + 75° = 90°$ nên $\cos15° = \sin75°$ (góc phụ nhau).
4
$\sin75° = \sin(45°+30°) = \sin45°\cos30°+\cos45°\sin30° = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ — đúng bằng $\cos15°$ vừa tính. Hai công thức độc lập cho cùng một kết quả là cách tự kiểm tra đáng tin cậy. Vậy $\cos15° = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .
$\sin75° = \sin(45°+30°) = \sin45°\cos30°+\cos45°\sin30° = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ — đúng bằng $\cos15°$ vừa tính. Hai công thức độc lập cho cùng một kết quả là cách tự kiểm tra đáng tin cậy. Vậy $\cos15° = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Sai lầm thường gặp

Bẫy phổ biến nhất: nhớ nhầm dấu, viết $\cos(a+b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ (đúng ra là dấu trừ) — lẫn với công thức của $\cos(a-b)$ . Mẹo để không nhầm: công thức của cos "đổi dấu" (cộng thì trừ, trừ thì cộng), còn công thức của sin "giữ nguyên dấu" (cộng thì cộng, trừ thì trừ). Một lỗi khác: quên điều kiện xác định của công thức tang rồi áp dụng ngay cả khi mẫu số $1 \mp \tan a\tan b$ bằng 0 — kết quả khi đó vô nghĩa, không phải một số rất lớn.

Bẫy phổ biến nhất: nhớ nhầm dấu, viết $\cos(a+b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ (đúng ra là dấu trừ) — lẫn với công thức của $\cos(a-b)$. Mẹo để không nhầm: công thức của cos "đổi dấu" (cộng thì trừ, trừ thì cộng), còn công thức của sin "giữ nguyên dấu" (cộng thì cộng, trừ thì trừ). Một lỗi khác: quên điều kiện xác định của công thức tang rồi áp dụng ngay cả khi mẫu số $1 \mp \tan a\tan b$ bằng 0 — kết quả khi đó vô nghĩa, không phải một số rất lớn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tóm lại: công thức cộng cho phép tính chính xác giá trị lượng giác của bất kỳ góc nào phân tích được thành tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt, và cũng là công cụ để rút gọn các biểu thức chứa $\sin(a\pm b)$ , $\cos(a\pm b)$ . Bốn công thức này — cộng cho sin, cho cos, cho tan — không cần học thuộc rời rạc: chỉ cần nhớ chắc công thức của cos(a−b) (suy ra trực tiếp từ tích vô hướng), ba công thức còn lại đều suy ra được bằng cách đổi dấu b hoặc dùng công thức góc phụ như em vừa thấy ở trên.

Tóm lại: công thức cộng cho phép tính chính xác giá trị lượng giác của bất kỳ góc nào phân tích được thành tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt, và cũng là công cụ để rút gọn các biểu thức chứa $\sin(a\pm b)$, $\cos(a\pm b)$. Bốn công thức này — cộng cho sin, cho cos, cho tan — không cần học thuộc rời rạc: chỉ cần nhớ chắc công thức của cos(a−b) (suy ra trực tiếp từ tích vô hướng), ba công thức còn lại đều suy ra được bằng cách đổi dấu b hoặc dùng công thức góc phụ như em vừa thấy ở trên.

Bài tiếp theo cho $a=b$ trong chính các công thức này để suy ra công thức nhân đôi — và từ đó là công thức hạ bậc, dùng để tính giá trị của những góc bằng đúng một nửa một góc đã biết — hai kỹ thuật hoàn toàn dựa trên bốn công thức em vừa học hôm nay.