Bài học

Giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em xác định đúng dấu và tính đúng giá trị sin, côsin, tang, côtang của một góc lượng giác bất kỳ, bằng cách định vị điểm biểu diễn góc đó trên đường tròn lượng giác — kể cả với những góc không nằm trong bảng giá trị đặc biệt quen thuộc.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 9, em đã biết sin, cos, tan, cot của một góc nhọn trong tam giác vuông — tỉ số giữa các cạnh. Cách định nghĩa đó chỉ áp dụng được cho góc từ 0° đến 90°. Bài học này (prior-grade review) mở rộng định nghĩa cho MỌI góc lượng giác — kể cả góc tù, góc âm, hay góc lớn hơn một vòng quay — bằng cách gắn mỗi góc với đúng một điểm trên một đường tròn cố định.

Khởi động

Kim phút của đồng hồ quét một góc 90° sau mỗi 15 phút, luôn theo chiều kim đồng hồ. Nếu quy ước chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương — đúng như quy ước trong toán học — thì góc mà kim phút quét được mang dấu gì? Và nếu kim quay liền hai vòng rưỡi, góc quay đó bằng bao nhiêu radian?

Định nghĩa qua đường tròn lượng giác

Xét đường tròn tâm O bán kính 1, chọn điểm gốc A(1; 0) và chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ — đường tròn này gọi là đường tròn lượng giác. Với một góc lượng giác α bất kỳ, có đúng một điểm M trên đường tròn sao cho góc lượng giác (OA, OM) bằng α. Khi đó, theo định nghĩa: $\cos\alpha$ là hoành độ của M, $\sin\alpha$ là tung độ của M. Vì M luôn nằm trên đường tròn bán kính 1, hai giá trị này luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$ , không phụ thuộc góc α lớn hay nhỏ thế nào.

Xét đường tròn tâm O bán kính 1, chọn điểm gốc A(1; 0) và chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ — đường tròn này gọi là đường tròn lượng giác. Với một góc lượng giác α bất kỳ, có đúng một điểm M trên đường tròn sao cho góc lượng giác (OA, OM) bằng α. Khi đó, theo định nghĩa: $\cos\alpha$ là hoành độ của M, $\sin\alpha$ là tung độ của M. Vì M luôn nằm trên đường tròn bán kính 1, hai giá trị này luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$, không phụ thuộc góc α lớn hay nhỏ thế nào.

Từ hai giá trị gốc đó, ta định nghĩa tiếp $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (chỉ xác định khi $\cos\alpha \ne 0$ , tức $\alpha \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ) và $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (chỉ xác định khi $\sin\alpha \ne 0$ , tức $\alpha \ne k\pi$ ). Đây chính là cách mở rộng đúng bốn tỉ số lượng giác góc nhọn ở lớp 9 sang mọi góc, vì với góc nhọn, hoành độ và tung độ của M trùng khớp với các tỉ số cạnh quen thuộc.

Từ hai giá trị gốc đó, ta định nghĩa tiếp $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (chỉ xác định khi $\cos\alpha \ne 0$, tức $\alpha \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$) và $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (chỉ xác định khi $\sin\alpha \ne 0$, tức $\alpha \ne k\pi$). Đây chính là cách mở rộng đúng bốn tỉ số lượng giác góc nhọn ở lớp 9 sang mọi góc, vì với góc nhọn, hoành độ và tung độ của M trùng khớp với các tỉ số cạnh quen thuộc.

Lời giải có hình

Định nghĩa cos(2π/3) và sin(2π/3) qua đường tròn lượng giác

Bước 1

Vẽ hệ trục toạ độ, đường tròn lượng giác bán kính 1 tâm O và điểm gốc A(1;0).

Một hệ quả quan trọng: nếu α tăng thêm đúng $k2\pi$ (k nguyên, tức quay thêm k vòng), điểm M quay về đúng vị trí cũ, nên giá trị lượng giác không đổi: $\cos(\alpha + k2\pi) = \cos\alpha$ và $\sin(\alpha + k2\pi) = \sin\alpha$ . Tính chất lặp lại này gọi là tính tuần hoàn, và sẽ quay lại rõ hơn khi em học đồ thị hàm số lượng giác.

Một hệ quả quan trọng: nếu α tăng thêm đúng $k2\pi$ (k nguyên, tức quay thêm k vòng), điểm M quay về đúng vị trí cũ, nên giá trị lượng giác không đổi: $\cos(\alpha + k2\pi) = \cos\alpha$ và $\sin(\alpha + k2\pi) = \sin\alpha$. Tính chất lặp lại này gọi là tính tuần hoàn, và sẽ quay lại rõ hơn khi em học đồ thị hàm số lượng giác.

Dấu của giá trị lượng giác theo góc phần tư

Vì $\cos\alpha$ là hoành độ và $\sin\alpha$ là tung độ của M, dấu của chúng chỉ phụ thuộc M đang ở góc phần tư nào — không cần tính giá trị chính xác cũng đoán được dấu. Góc phần tư I ( $0 < \alpha < \pi/2$ ): cả hoành độ và tung độ dương, nên $\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ đều dương. Góc phần tư II ( $\pi/2 < \alpha < \pi$ ): tung độ dương, hoành độ âm, nên $\sin\alpha$ dương còn $\cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ âm. Góc phần tư III ( $\pi < \alpha < 3\pi/2$ ): cả hai toạ độ âm, nên $\sin\alpha, \cos\alpha$ âm nhưng thương của chúng lại dương — $\tan\alpha, \cot\alpha$ dương. Góc phần tư IV ( $3\pi/2 < \alpha < 2\pi$ ): hoành độ dương, tung độ âm, nên $\cos\alpha$ dương còn $\sin\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ âm.

Vì $\cos\alpha$ là hoành độ và $\sin\alpha$ là tung độ của M, dấu của chúng chỉ phụ thuộc M đang ở góc phần tư nào — không cần tính giá trị chính xác cũng đoán được dấu. Góc phần tư I ($0 < \alpha < \pi/2$): cả hoành độ và tung độ dương, nên $\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ đều dương. Góc phần tư II ($\pi/2 < \alpha < \pi$): tung độ dương, hoành độ âm, nên $\sin\alpha$ dương còn $\cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ âm. Góc phần tư III ($\pi < \alpha < 3\pi/2$): cả hai toạ độ âm, nên $\sin\alpha, \cos\alpha$ âm nhưng thương của chúng lại dương — $\tan\alpha, \cot\alpha$ dương. Góc phần tư IV ($3\pi/2 < \alpha < 2\pi$): hoành độ dương, tung độ âm, nên $\cos\alpha$ dương còn $\sin\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ âm.

Dấu của sin, cos đổi theo từng góc phần tư — chỉ cần nhớ vị trí của M, không cần tính số.

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Năm góc sau xuất hiện liên tục trong đề bài — cần thuộc chính xác, không phải chỉ nhớ mang máng, vì mọi ví dụ tiếp theo đều quy về một trong năm góc này.

0sin = 0, cos = 1, tan = 0, cot không xác định.

π/6 (30°)sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3, cot = √3.

π/4 (45°)sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1, cot = 1.

π/3 (60°)sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3, cot = √3/3.

π/2 (90°)sin = 1, cos = 0, tan không xác định, cot = 0.

Bốn góc "trên trục" còn lại suy ra trực tiếp từ vị trí của M, không cần học thuộc thêm: tại $\pi$ (180°), M ở đúng phía đối diện A nên $\cos\pi = -1$ , $\sin\pi = 0$ . Tại $\dfrac{3\pi}{2}$ (270°), M ở đáy đường tròn nên $\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0$ , $\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1$ . Tại $2\pi$ (360°), M quay đúng một vòng về lại A, nên giá trị trùng với góc 0: $\cos2\pi = 1$ , $\sin2\pi = 0$ . Ghi nhớ mẹo này thay vì học vẹt bốn dòng số sẽ giúp em không nhầm lẫn khi đề bài đổi góc sang độ hay sang một bội số khác của π.

Bốn góc "trên trục" còn lại suy ra trực tiếp từ vị trí của M, không cần học thuộc thêm: tại $\pi$ (180°), M ở đúng phía đối diện A nên $\cos\pi = -1$, $\sin\pi = 0$. Tại $\dfrac{3\pi}{2}$ (270°), M ở đáy đường tròn nên $\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0$, $\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1$. Tại $2\pi$ (360°), M quay đúng một vòng về lại A, nên giá trị trùng với góc 0: $\cos2\pi = 1$, $\sin2\pi = 0$. Ghi nhớ mẹo này thay vì học vẹt bốn dòng số sẽ giúp em không nhầm lẫn khi đề bài đổi góc sang độ hay sang một bội số khác của π.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Tính sin(2π/3) và cos(2π/3)

1
Tính $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ và $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ .
Tính $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ và $\cos\dfrac{2\pi}{3}$.
2
Ta có $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ , nên góc tham chiếu là $\dfrac{\pi}{3}$ và điểm M nằm ở góc phần tư II (vì $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{2\pi}{3} < \pi$ ).
Ta có $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, nên góc tham chiếu là $\dfrac{\pi}{3}$ và điểm M nằm ở góc phần tư II (vì $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{2\pi}{3} < \pi$).
3
Ở góc phần tư II, sin dương còn cos âm. Do đó $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ và $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ .
Ở góc phần tư II, sin dương còn cos âm. Do đó $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ và $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.
4
Toạ độ tính được là $\left(-\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ — hoành độ âm, tung độ dương, đúng như vị trí góc phần tư II đã xác định ở bước trên. Vậy $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12$ .
Toạ độ tính được là $\left(-\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ — hoành độ âm, tung độ dương, đúng như vị trí góc phần tư II đã xác định ở bước trên. Vậy $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12$.

Ví dụ

Tính cos(−π/4), sin(−π/4) và tan(−π/4)

1
Tính $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ , $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ và $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ .
Tính $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ và $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
2
Góc $-\pi/4$ quay theo chiều âm (chiều kim đồng hồ) một góc $\pi/4$ kể từ A. Điểm M khi đó đối xứng với điểm của góc $\pi/4$ qua trục hoành: cùng hoành độ, tung độ đối nhau.
Góc $-\pi/4$ quay theo chiều âm (chiều kim đồng hồ) một góc $\pi/4$ kể từ A. Điểm M khi đó đối xứng với điểm của góc $\pi/4$ qua trục hoành: cùng hoành độ, tung độ đối nhau.
3
Do đó $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (hoành độ không đổi), còn $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ (tung độ đổi dấu).
Do đó $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (hoành độ không đổi), còn $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ (tung độ đổi dấu).
4
$\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sin(-\pi/4)}{\cos(-\pi/4)} = \dfrac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = -1$ . Vậy $\cos(-\pi/4)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin(-\pi/4)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\tan(-\pi/4) = -1$ .
$\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sin(-\pi/4)}{\cos(-\pi/4)} = \dfrac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = -1$. Vậy $\cos(-\pi/4)=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin(-\pi/4)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\tan(-\pi/4) = -1$.

Ví dụ

Tính tan(5π/6)

1
Tính $\tan\dfrac{5\pi}{6}$ .
Tính $\tan\dfrac{5\pi}{6}$.
2
Ta có $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ , góc tham chiếu là $\dfrac{\pi}{6}$ , và $\dfrac{5\pi}{6}$ nằm ở góc phần tư II (vì $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{5\pi}{6} < \pi$ ).
Ta có $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, góc tham chiếu là $\dfrac{\pi}{6}$, và $\dfrac{5\pi}{6}$ nằm ở góc phần tư II (vì $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{5\pi}{6} < \pi$).
3
Ở góc phần tư II, sin dương và cos âm, nên $\tan = \sin/\cos$ mang dấu âm.
Ở góc phần tư II, sin dương và cos âm, nên $\tan = \sin/\cos$ mang dấu âm.
4
$\tan\dfrac{5\pi}{6} = -\tan\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$ . Vậy $\tan\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
$\tan\dfrac{5\pi}{6} = -\tan\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$. Vậy $\tan\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất: tính đúng giá trị của góc tham chiếu rồi quên đổi dấu theo góc phần tư — ví dụ viết nhầm $\cos(2\pi/3) = 1/2$ thay vì $-1/2$ . Một sai lầm khác là nghĩ côsin luôn dương, giống thói quen từ tam giác vuông lớp 9 — điều đó chỉ đúng khi góc nằm trong góc phần tư I.

Sai lầm phổ biến nhất: tính đúng giá trị của góc tham chiếu rồi quên đổi dấu theo góc phần tư — ví dụ viết nhầm $\cos(2\pi/3) = 1/2$ thay vì $-1/2$. Một sai lầm khác là nghĩ côsin luôn dương, giống thói quen từ tam giác vuông lớp 9 — điều đó chỉ đúng khi góc nằm trong góc phần tư I.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tóm lại: giá trị lượng giác của một góc bất kỳ chính là toạ độ của điểm biểu diễn góc đó trên đường tròn lượng giác, dấu của chúng do góc phần tư quyết định, và năm góc đặc biệt (0, π/6, π/4, π/3, π/2) là nền tảng để suy ra mọi góc khác thông qua góc tham chiếu.

Bài tiếp theo dùng đúng đường tròn này để chỉ ra hệ thức $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ và bốn công thức góc liên kết — bộ công cụ để biến đổi và rút gọn mọi biểu thức lượng giác về sau.