Bài học

Công thức nhân đôi và công thức hạ bậc

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em tính đúng sin2a, cos2a, tan2a khi biết một giá trị lượng giác của a, và dùng công thức hạ bậc để tìm giá trị lượng giác của một góc bằng đúng một nửa một góc đã biết.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này (same-grade bridge) là trường hợp riêng của công thức cộng ở Bài 3, khi cho $b = a$ . Kết hợp thêm hệ thức cơ bản $\sin^2a + \cos^2a = 1$ ở Bài 2, ta suy ra được ba dạng khác nhau của cùng một công thức cos2a — mỗi dạng tiện dùng trong một tình huống khác nhau. Nắm chắc hai bài trước là điều kiện bắt buộc: nếu em còn lúng túng với dấu theo góc phần tư (Bài 1) hoặc công thức cộng (Bài 3), nên xem lại trước khi học tiếp, vì mọi bước biến đổi hôm nay đều dựa thẳng vào chúng.

Bài này (same-grade bridge) là trường hợp riêng của công thức cộng ở Bài 3, khi cho $b = a$. Kết hợp thêm hệ thức cơ bản $\sin^2a + \cos^2a = 1$ ở Bài 2, ta suy ra được ba dạng khác nhau của cùng một công thức cos2a — mỗi dạng tiện dùng trong một tình huống khác nhau. Nắm chắc hai bài trước là điều kiện bắt buộc: nếu em còn lúng túng với dấu theo góc phần tư (Bài 1) hoặc công thức cộng (Bài 3), nên xem lại trước khi học tiếp, vì mọi bước biến đổi hôm nay đều dựa thẳng vào chúng.

Khởi động

Biết cosa, có cách nào tính cos2a mà không cần biết chính xác góc a bằng bao nhiêu độ hay bao nhiêu radian không?

Công thức nhân đôi

Thay $b=a$ vào công thức cộng của Bài 3: $\sin2a = \sin(a+a) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a$ . Với cos: $\cos2a = \cos(a+a) = \cos^2a - \sin^2a$ . Dùng hệ thức cơ bản $\sin^2a = 1-\cos^2a$ , ta có thêm dạng $\cos2a = 2\cos^2a - 1$ ; dùng $\cos^2a = 1-\sin^2a$ , ta có dạng thứ ba $\cos2a = 1 - 2\sin^2a$ . Ba dạng này TƯƠNG ĐƯƠNG — chọn dạng nào tuỳ vào đề bài cho sẵn cosa, sina, hay cả hai. Với tan: chia $\sin2a$ cho $\cos2a$ và rút gọn bằng cách chia tử mẫu cho $\cos^2a$ , ta được $\tan2a = \dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$ (điều kiện $\cos a \ne 0$ và $\cos2a \ne 0$ ).

Thay $b=a$ vào công thức cộng của Bài 3: $\sin2a = \sin(a+a) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a$. Với cos: $\cos2a = \cos(a+a) = \cos^2a - \sin^2a$. Dùng hệ thức cơ bản $\sin^2a = 1-\cos^2a$, ta có thêm dạng $\cos2a = 2\cos^2a - 1$; dùng $\cos^2a = 1-\sin^2a$, ta có dạng thứ ba $\cos2a = 1 - 2\sin^2a$. Ba dạng này TƯƠNG ĐƯƠNG — chọn dạng nào tuỳ vào đề bài cho sẵn cosa, sina, hay cả hai. Với tan: chia $\sin2a$ cho $\cos2a$ và rút gọn bằng cách chia tử mẫu cho $\cos^2a$, ta được $\tan2a = \dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$ (điều kiện $\cos a \ne 0$ và $\cos2a \ne 0$).

Chọn đúng dạng của cos2a giúp bài giải gọn hơn hẳn: nếu đề chỉ cho cosa, dùng ngay $2\cos^2a-1$ để khỏi phải tính thêm sina; nếu đề chỉ cho sina, dùng $1-2\sin^2a$ ; còn nếu đề đã cho sẵn cả sina lẫn cosa, dạng $\cos^2a-\sin^2a$ là nhanh nhất. Công thức nhân đôi còn lặp lại được: đặt $2a$ làm góc mới, ta tính tiếp $\cos4a = 2\cos^2(2a)-1$ theo đúng quy tắc — kỹ thuật "nhân đôi liên tiếp" này sẽ quay lại khi em giải phương trình lượng giác ở bài sau của chương trình.

Chọn đúng dạng của cos2a giúp bài giải gọn hơn hẳn: nếu đề chỉ cho cosa, dùng ngay $2\cos^2a-1$ để khỏi phải tính thêm sina; nếu đề chỉ cho sina, dùng $1-2\sin^2a$; còn nếu đề đã cho sẵn cả sina lẫn cosa, dạng $\cos^2a-\sin^2a$ là nhanh nhất. Công thức nhân đôi còn lặp lại được: đặt $2a$ làm góc mới, ta tính tiếp $\cos4a = 2\cos^2(2a)-1$ theo đúng quy tắc — kỹ thuật "nhân đôi liên tiếp" này sẽ quay lại khi em giải phương trình lượng giác ở bài sau của chương trình.

Công thức hạ bậc

Đảo ngược hai dạng cos2a vừa suy ra, ta có công thức hạ bậc — hạ số mũ 2 xuống còn bậc 1, đổi lại góc gấp đôi: từ $\cos2a = 2\cos^2a-1$ suy ra $\cos^2a = \dfrac{1+\cos2a}{2}$ ; từ $\cos2a = 1-2\sin^2a$ suy ra $\sin^2a = \dfrac{1-\cos2a}{2}$ . Công thức này đặc biệt hữu ích khi đề bài cho một góc bằng đúng một nửa góc đã biết — thay vì tính trực tiếp góc lạ, ta "hạ bậc" bài toán về góc gấp đôi đã quen thuộc.

Đảo ngược hai dạng cos2a vừa suy ra, ta có công thức hạ bậc — hạ số mũ 2 xuống còn bậc 1, đổi lại góc gấp đôi: từ $\cos2a = 2\cos^2a-1$ suy ra $\cos^2a = \dfrac{1+\cos2a}{2}$; từ $\cos2a = 1-2\sin^2a$ suy ra $\sin^2a = \dfrac{1-\cos2a}{2}$. Công thức này đặc biệt hữu ích khi đề bài cho một góc bằng đúng một nửa góc đã biết — thay vì tính trực tiếp góc lạ, ta "hạ bậc" bài toán về góc gấp đôi đã quen thuộc.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Tính sin2a và cos2a khi biết sina

1
Cho $\sin a = \dfrac13$ với $a \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$ . Tính $\sin2a$ và $\cos2a$ .
Cho $\sin a = \dfrac13$ với $a \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$. Tính $\sin2a$ và $\cos2a$.
2
Vì $a$ ở góc phần tư I nên $\cos a > 0$ : $\cos a = \sqrt{1-\sin^2a} = \sqrt{1-\dfrac19} = \sqrt{\dfrac89} = \dfrac{2\sqrt2}{3}$ .
Vì $a$ ở góc phần tư I nên $\cos a > 0$: $\cos a = \sqrt{1-\sin^2a} = \sqrt{1-\dfrac19} = \sqrt{\dfrac89} = \dfrac{2\sqrt2}{3}$.
3
$\sin2a = 2\sin a\cos a = 2\cdot\dfrac13\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3} = \dfrac{4\sqrt2}{9}$ .
$\sin2a = 2\sin a\cos a = 2\cdot\dfrac13\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3} = \dfrac{4\sqrt2}{9}$.
4
$\cos2a = 1-2\sin^2a = 1-\dfrac29 = \dfrac79$ . Kiểm tra bằng dạng khác: $2\cos^2a-1 = 2\cdot\dfrac89-1 = \dfrac{16}9-1 = \dfrac79$ — khớp nhau. Vậy $\sin2a = \dfrac{4\sqrt2}9$ , $\cos2a = \dfrac79$ .
$\cos2a = 1-2\sin^2a = 1-\dfrac29 = \dfrac79$. Kiểm tra bằng dạng khác: $2\cos^2a-1 = 2\cdot\dfrac89-1 = \dfrac{16}9-1 = \dfrac79$ — khớp nhau. Vậy $\sin2a = \dfrac{4\sqrt2}9$, $\cos2a = \dfrac79$.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức bằng công thức hạ bậc

1
Rút gọn $D = \dfrac{1-\cos2a}{\sin2a}$ (với $\sin a, \cos a \ne 0$ ).
Rút gọn $D = \dfrac{1-\cos2a}{\sin2a}$ (với $\sin a, \cos a \ne 0$).
2
$1-\cos2a = 2\sin^2a$ (công thức hạ bậc).
$1-\cos2a = 2\sin^2a$ (công thức hạ bậc).
3
$\sin2a = 2\sin a\cos a$ (công thức nhân đôi).
$\sin2a = 2\sin a\cos a$ (công thức nhân đôi).
4
$D = \dfrac{2\sin^2a}{2\sin a\cos a} = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \tan a$ (với $\sin a\ne0, \cos a\ne0$ — đúng như đề đã cho). Vậy $D = \tan a$ .
$D = \dfrac{2\sin^2a}{2\sin a\cos a} = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \tan a$ (với $\sin a\ne0, \cos a\ne0$ — đúng như đề đã cho). Vậy $D = \tan a$.

Ví dụ

Tính giá trị đúng của một góc bằng nửa góc đã biết

1
Tính $\cos\dfrac{\pi}8$ (không dùng máy tính).
Tính $\cos\dfrac{\pi}8$ (không dùng máy tính).
2
$2 \cdot \dfrac{\pi}8 = \dfrac{\pi}4$ — một góc đặc biệt đã biết $\cos\dfrac{\pi}4 = \dfrac{\sqrt2}2$ .
$2 \cdot \dfrac{\pi}8 = \dfrac{\pi}4$ — một góc đặc biệt đã biết $\cos\dfrac{\pi}4 = \dfrac{\sqrt2}2$.
3
$\cos^2\dfrac{\pi}8 = \dfrac{1+\cos(\pi/4)}2 = \dfrac{1+\sqrt2/2}2 = \dfrac{2+\sqrt2}4$ .
$\cos^2\dfrac{\pi}8 = \dfrac{1+\cos(\pi/4)}2 = \dfrac{1+\sqrt2/2}2 = \dfrac{2+\sqrt2}4$.
4
Vì $\dfrac{\pi}8 \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$ (góc phần tư I) nên $\cos\dfrac{\pi}8 > 0$ : $\cos\dfrac{\pi}8 = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \approx 0{,}9239$ .
Vì $\dfrac{\pi}8 \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$ (góc phần tư I) nên $\cos\dfrac{\pi}8 > 0$: $\cos\dfrac{\pi}8 = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \approx 0{,}9239$.
5
Bình phương lại: $\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\right)^2 = \dfrac{2+\sqrt2}4$ , đúng bằng giá trị $\cos^2(\pi/8)$ đã tính ở bước trên. Vậy $\cos\dfrac{\pi}8 = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$ .
Bình phương lại: $\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\right)^2 = \dfrac{2+\sqrt2}4$, đúng bằng giá trị $\cos^2(\pi/8)$ đã tính ở bước trên. Vậy $\cos\dfrac{\pi}8 = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$.

Ví dụ

Tính tan2a khi biết tana

1
Cho $\tan a = \dfrac12$ . Tính $\tan2a$ .
Cho $\tan a = \dfrac12$. Tính $\tan2a$.
2
$\tan2a = \dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a} = \dfrac{2\cdot1/2}{1-1/4} = \dfrac{1}{3/4}$ .
$\tan2a = \dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a} = \dfrac{2\cdot1/2}{1-1/4} = \dfrac{1}{3/4}$.
3
Mẫu số $1-\tan^2a = 3/4 \ne 0$ , nên công thức áp dụng được — không rơi vào trường hợp $2a = \pi/2 + k\pi$ , khi đó tan2a sẽ không xác định.
Mẫu số $1-\tan^2a = 3/4 \ne 0$, nên công thức áp dụng được — không rơi vào trường hợp $2a = \pi/2 + k\pi$, khi đó tan2a sẽ không xác định.
4
$\tan2a = \dfrac{4}{3}$ . Vậy với $\tan a = \dfrac12$ đã cho, $\tan2a = \dfrac43$ .
$\tan2a = \dfrac{4}{3}$. Vậy với $\tan a = \dfrac12$ đã cho, $\tan2a = \dfrac43$.

Công thức hạ bậc mang đúng tên gọi của nó: nó "hạ" số mũ 2 (bình phương) xuống còn bậc 1, đổi lại phải chấp nhận góc bên trong tăng gấp đôi. Đây là lý do công thức này đặc biệt quan trọng khi em học tích phân ở lớp 12 — $\sin^2x$ và $\cos^2x$ rất khó lấy nguyên hàm trực tiếp, nhưng $\dfrac{1-\cos2x}2$ thì lấy nguyên hàm được ngay từng số hạng một. Ở lớp 11, em chỉ cần thành thạo việc dùng nó để tính giá trị đúng của một góc bằng nửa góc đã biết, như ví dụ $\cos(\pi/8)$ vừa làm ở trên — một kỹ năng quay lại nhiều lần trong đề thi.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến: quên dấu $\pm$ khi lấy căn bậc hai trong công thức hạ bậc rồi mặc định lấy dấu dương — dấu đúng phải suy từ góc phần tư của góc gốc (a, không phải 2a). Lỗi khác: nhầm $1-\cos2a$ với $\sin^2a$ (thiếu hệ số $\dfrac12$ ) — công thức đúng là $\sin^2a = \dfrac{1-\cos2a}2$ , có chia 2. Với tan2a, nhiều em quên kiểm tra mẫu số $1-\tan^2a$ có bằng 0 hay không trước khi kết luận.

Sai lầm phổ biến: quên dấu $\pm$ khi lấy căn bậc hai trong công thức hạ bậc rồi mặc định lấy dấu dương — dấu đúng phải suy từ góc phần tư của góc gốc (a, không phải 2a). Lỗi khác: nhầm $1-\cos2a$ với $\sin^2a$ (thiếu hệ số $\dfrac12$) — công thức đúng là $\sin^2a = \dfrac{1-\cos2a}2$, có chia 2. Với tan2a, nhiều em quên kiểm tra mẫu số $1-\tan^2a$ có bằng 0 hay không trước khi kết luận.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tóm lại: công thức nhân đôi là trường hợp $b=a$ của công thức cộng, còn công thức hạ bậc chỉ là chiều ngược lại của hai dạng cos2a — không phải kiến thức tách biệt. Ba dạng của cos2a cho phép chọn công thức phù hợp với đúng dữ kiện đề bài cho (sina, cosa, hay cả hai), còn hạ bậc mở khoá những góc chỉ bằng một nửa một góc quen thuộc. Việc thuộc lòng và phân biệt rõ ba dạng cos2a — thay vì chỉ nhớ một dạng duy nhất — chính là điều tách biệt một bài giải nhanh, gọn với một bài giải phải đi vòng qua nhiều bước trung gian không cần thiết.

Bài tiếp theo dùng lại công thức cộng theo chiều ngược — cộng và trừ hai công thức cos(a+b), cos(a−b) — để biến tích thành tổng, và ngược lại, biến tổng thành tích. Đó là mảnh ghép cuối cùng của bộ công thức lượng giác lớp 11, trước khi chương Ôn tập ghép cả năm kỹ thuật lại trong cùng một bài toán.