Bài học

Hệ thức lượng giác cơ bản và công thức góc liên kết

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em vận dụng đúng hệ thức $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ và bốn công thức góc liên kết (đối, bù, phụ, hơn kém π) để tính giá trị lượng giác còn thiếu của một góc và rút gọn các biểu thức lượng giác chứa góc liên kết.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước (same-grade bridge) đã định nghĩa $\cos\alpha$ , $\sin\alpha$ là hoành độ, tung độ của điểm M trên đường tròn lượng giác bán kính 1, và dấu của chúng theo từng góc phần tư. Bài này khai thác tiếp chính đường tròn đó: vì M luôn cách tâm O đúng một đơn vị, toạ độ của M không thể tuỳ ý — chúng luôn thoả một hệ thức cố định.

Bài trước (same-grade bridge) đã định nghĩa $\cos\alpha$, $\sin\alpha$ là hoành độ, tung độ của điểm M trên đường tròn lượng giác bán kính 1, và dấu của chúng theo từng góc phần tư. Bài này khai thác tiếp chính đường tròn đó: vì M luôn cách tâm O đúng một đơn vị, toạ độ của M không thể tuỳ ý — chúng luôn thoả một hệ thức cố định.

Khởi động

Nếu chỉ biết $\sin\alpha = 3/5$ , em có suy ra ngay $\cos\alpha$ không? Và nếu suy ra được, tại sao chỉ biết mỗi sinα là chưa đủ để xác định chính xác dấu của cosα?

Nếu chỉ biết $\sin\alpha = 3/5$, em có suy ra ngay $\cos\alpha$ không? Và nếu suy ra được, tại sao chỉ biết mỗi sinα là chưa đủ để xác định chính xác dấu của cosα?

Hệ thức lượng giác cơ bản

Điểm $M(\cos\alpha; \sin\alpha)$ nằm trên đường tròn tâm O bán kính 1, nghĩa là khoảng cách từ M đến O luôn bằng 1. Theo công thức khoảng cách, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ — đây chính là hệ thức lượng giác cơ bản, đúng với mọi góc α, không cần biết α bằng bao nhiêu. Từ định nghĩa $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$ và $\cot\alpha = \cos\alpha/\sin\alpha$ , suy ra ngay $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ khi cả hai cùng xác định. Hệ thức cơ bản cho phép tính cosα khi biết sinα (hoặc ngược lại) — nhưng chỉ ra được giá trị tuyệt đối; dấu phải suy từ góc phần tư như bài trước.

Điểm $M(\cos\alpha; \sin\alpha)$ nằm trên đường tròn tâm O bán kính 1, nghĩa là khoảng cách từ M đến O luôn bằng 1. Theo công thức khoảng cách, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ — đây chính là hệ thức lượng giác cơ bản, đúng với mọi góc α, không cần biết α bằng bao nhiêu. Từ định nghĩa $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$ và $\cot\alpha = \cos\alpha/\sin\alpha$, suy ra ngay $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ khi cả hai cùng xác định. Hệ thức cơ bản cho phép tính cosα khi biết sinα (hoặc ngược lại) — nhưng chỉ ra được giá trị tuyệt đối; dấu phải suy từ góc phần tư như bài trước.

Chia cả hai vế của $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ cho $\cos^2\alpha$ (với $\cos\alpha \ne 0$ ), ta được thêm một hệ thức hữu ích: $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ . Tương tự, chia cho $\sin^2\alpha$ (với $\sin\alpha \ne 0$ ) cho $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ . Hai hệ thức này đặc biệt tiện khi đề bài cho biết tanα thay vì sinα hay cosα trực tiếp — em không cần dựng lại tam giác vuông, chỉ cần thay số vào ngay công thức.

Chia cả hai vế của $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ cho $\cos^2\alpha$ (với $\cos\alpha \ne 0$), ta được thêm một hệ thức hữu ích: $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$. Tương tự, chia cho $\sin^2\alpha$ (với $\sin\alpha \ne 0$) cho $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$. Hai hệ thức này đặc biệt tiện khi đề bài cho biết tanα thay vì sinα hay cosα trực tiếp — em không cần dựng lại tam giác vuông, chỉ cần thay số vào ngay công thức.

Công thức góc liên kết

Bốn cặp góc sau xuất hiện liên tục trong đề bài, mỗi cặp ứng với một phép đối xứng của điểm M trên đường tròn lượng giác. Góc đối nhau $-\alpha$ : điểm của $-\alpha$ đối xứng với điểm của α qua trục hoành (cùng hoành độ, tung độ đổi dấu), nên $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ , $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ , $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$ . Góc bù $\pi - \alpha$ : điểm đối xứng qua trục tung (tung độ giữ nguyên, hoành độ đổi dấu), nên $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$ , $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$ , $\tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha$ .

Bốn cặp góc sau xuất hiện liên tục trong đề bài, mỗi cặp ứng với một phép đối xứng của điểm M trên đường tròn lượng giác. Góc đối nhau $-\alpha$: điểm của $-\alpha$ đối xứng với điểm của α qua trục hoành (cùng hoành độ, tung độ đổi dấu), nên $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$. Góc bù $\pi - \alpha$: điểm đối xứng qua trục tung (tung độ giữ nguyên, hoành độ đổi dấu), nên $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$, $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$, $\tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha$.

Góc phụ $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$ : điểm đối xứng qua đường phân giác góc phần tư I (đường $y=x$ ), nên hoành độ và tung độ hoán đổi cho nhau — $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha$ , $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha$ , $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cot\alpha$ . Góc hơn kém π $\pi + \alpha$ : điểm đối xứng với điểm của α qua tâm O (cả hai toạ độ đổi dấu), nên $\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$ , $\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha$ , còn $\tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha$ (hai số âm chia cho nhau nên dấu trừ triệt tiêu). Mẹo nhớ quen thuộc ở trường: "cos đối, sin bù, phụ chéo, khác π tan".

Góc phụ $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$: điểm đối xứng qua đường phân giác góc phần tư I (đường $y=x$), nên hoành độ và tung độ hoán đổi cho nhau — $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha$, $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cot\alpha$. Góc hơn kém π $\pi + \alpha$: điểm đối xứng với điểm của α qua tâm O (cả hai toạ độ đổi dấu), nên $\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$, $\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha$, còn $\tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha$ (hai số âm chia cho nhau nên dấu trừ triệt tiêu). Mẹo nhớ quen thuộc ở trường: "cos đối, sin bù, phụ chéo, khác π tan".

Có thể kiểm chứng trực tiếp trên hình vẽ dưới đây: điểm ứng với góc bù $\pi - \dfrac{\pi}3 = \dfrac{2\pi}3$ có hoành độ $-0{,}5$ — đúng bằng $-\cos(\pi/3) = -0{,}5$ — và tung độ $\approx 0{,}87$ , đúng bằng $\sin(\pi/3) = \sqrt3/2 \approx 0{,}87$ . Công thức góc liên kết không phải một quy tắc phải học thuộc mù quáng, mà là một quan sát hình học có thể kiểm tra được bất cứ lúc nào bằng cách nhìn lại vị trí hai điểm trên đường tròn.

Có thể kiểm chứng trực tiếp trên hình vẽ dưới đây: điểm ứng với góc bù $\pi - \dfrac{\pi}3 = \dfrac{2\pi}3$ có hoành độ $-0{,}5$ — đúng bằng $-\cos(\pi/3) = -0{,}5$ — và tung độ $\approx 0{,}87$, đúng bằng $\sin(\pi/3) = \sqrt3/2 \approx 0{,}87$. Công thức góc liên kết không phải một quy tắc phải học thuộc mù quáng, mà là một quan sát hình học có thể kiểm tra được bất cứ lúc nào bằng cách nhìn lại vị trí hai điểm trên đường tròn.

Mỗi công thức góc liên kết là một phép đối xứng cụ thể của điểm biểu diễn góc trên đường tròn.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Tính cosα và tanα khi biết sinα

1
Cho $\sin\alpha = \dfrac35$ với $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}2; \pi\right)$ (góc tù). Tính $\cos\alpha$ và $\tan\alpha$ .
Cho $\sin\alpha = \dfrac35$ với $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}2; \pi\right)$ (góc tù). Tính $\cos\alpha$ và $\tan\alpha$.
2
Ta có $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ , suy ra $\cos\alpha = \pm\dfrac45$ .
Ta có $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, suy ra $\cos\alpha = \pm\dfrac45$.
3
Vì $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}2;\pi\right)$ (góc phần tư II) nên $\cos\alpha < 0$ . Do đó $\cos\alpha = -\dfrac45$ .
Vì $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}2;\pi\right)$ (góc phần tư II) nên $\cos\alpha < 0$. Do đó $\cos\alpha = -\dfrac45$.
4
$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac34$ . Vậy $\cos\alpha = -\dfrac45$ , $\tan\alpha = -\dfrac34$ .
$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac34$. Vậy $\cos\alpha = -\dfrac45$, $\tan\alpha = -\dfrac34$.

Ví dụ

Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa góc liên kết

1
Rút gọn $A = \sin(\pi-\alpha) + \cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)$ , rồi tính giá trị của A với α như ở ví dụ trên ( $\sin\alpha = 3/5$ ).
Rút gọn $A = \sin(\pi-\alpha) + \cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)$, rồi tính giá trị của A với α như ở ví dụ trên ($\sin\alpha = 3/5$).
2
Theo công thức góc bù, $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$ . Theo công thức góc phụ, $\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right) = \sin\alpha$ .
Theo công thức góc bù, $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$. Theo công thức góc phụ, $\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right) = \sin\alpha$.
3
Do đó $A = \sin\alpha + \sin\alpha = 2\sin\alpha$ — biểu thức đã rút gọn về một hàm duy nhất.
Do đó $A = \sin\alpha + \sin\alpha = 2\sin\alpha$ — biểu thức đã rút gọn về một hàm duy nhất.
4
Với $\sin\alpha = 3/5$ : $A = 2 \cdot \dfrac35 = \dfrac65$ . Vậy $A = 2\sin\alpha = \dfrac65$ .
Với $\sin\alpha = 3/5$: $A = 2 \cdot \dfrac35 = \dfrac65$. Vậy $A = 2\sin\alpha = \dfrac65$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp nhiều góc liên kết

1
Với $\sin\alpha = \dfrac35$ , $\cos\alpha = -\dfrac45$ , $\tan\alpha = -\dfrac34$ như hai ví dụ trên, tính $B = \cos(\alpha+\pi) - 3\tan(\pi-\alpha)$ .
Với $\sin\alpha = \dfrac35$, $\cos\alpha = -\dfrac45$, $\tan\alpha = -\dfrac34$ như hai ví dụ trên, tính $B = \cos(\alpha+\pi) - 3\tan(\pi-\alpha)$.
2
$\cos(\alpha+\pi) = -\cos\alpha = -\left(-\dfrac45\right) = \dfrac45$ . (1)
$\cos(\alpha+\pi) = -\cos\alpha = -\left(-\dfrac45\right) = \dfrac45$. (1)
3
$\tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha = -\left(-\dfrac34\right) = \dfrac34$ . (2)
$\tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha = -\left(-\dfrac34\right) = \dfrac34$. (2)
4
$B = \dfrac45 - 3\cdot\dfrac34 = \dfrac45 - \dfrac94 = \dfrac{16-45}{20} = -\dfrac{29}{20}$ .
$B = \dfrac45 - 3\cdot\dfrac34 = \dfrac45 - \dfrac94 = \dfrac{16-45}{20} = -\dfrac{29}{20}$.
5
Thay số thập phân: $0{,}8 - 3\times0{,}75 = 0{,}8 - 2{,}25 = -1{,}45 = -\dfrac{29}{20}$ , khớp với kết quả trên. Vậy $B = -\dfrac{29}{20}$ .
Thay số thập phân: $0{,}8 - 3\times0{,}75 = 0{,}8 - 2{,}25 = -1{,}45 = -\dfrac{29}{20}$, khớp với kết quả trên. Vậy $B = -\dfrac{29}{20}$.

Ví dụ

Dùng hệ thức 1 + tan²α khi đề cho trước tanα

1
Cho $\tan\alpha = 2$ với $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$ . Tính $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$ .
Cho $\tan\alpha = 2$ với $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$. Tính $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$.
2
Ta có $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ , suy ra $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{1+\tan^2\alpha} = \dfrac{1}{1+4} = \dfrac15$ .
Ta có $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$, suy ra $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{1+\tan^2\alpha} = \dfrac{1}{1+4} = \dfrac15$.
3
Vì $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$ (góc phần tư I) nên $\cos\alpha > 0$ , do đó $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt5} = \dfrac{\sqrt5}{5}$ . Từ $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$ suy ra $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{\sqrt5}{5} = \dfrac{2\sqrt5}{5}$ .
Vì $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}2\right)$ (góc phần tư I) nên $\cos\alpha > 0$, do đó $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt5} = \dfrac{\sqrt5}{5}$. Từ $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$ suy ra $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{\sqrt5}{5} = \dfrac{2\sqrt5}{5}$.
4
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{4}{5} + \dfrac15 = 1$ , thoả hệ thức cơ bản. Vậy $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt5}{5}$ , $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt5}{5}$ .
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{4}{5} + \dfrac15 = 1$, thoả hệ thức cơ bản. Vậy $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt5}{5}$, $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt5}{5}$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là nhầm "bù" ( $\pi-\alpha$ , giữ sin) với "phụ" ( $\pi/2-\alpha$ , đổi sin thành cos) — hai công thức trông giống nhau nhưng đổi vai trò hàm số khác hẳn nhau. Một lỗi khác là quên rằng hệ thức cơ bản chỉ cho $\cos^2\alpha$ , còn dấu của $\cos\alpha$ luôn phải lấy từ góc phần tư, không được mặc định dương.

Sai lầm hay gặp nhất là nhầm "bù" ($\pi-\alpha$, giữ sin) với "phụ" ($\pi/2-\alpha$, đổi sin thành cos) — hai công thức trông giống nhau nhưng đổi vai trò hàm số khác hẳn nhau. Một lỗi khác là quên rằng hệ thức cơ bản chỉ cho $\cos^2\alpha$, còn dấu của $\cos\alpha$ luôn phải lấy từ góc phần tư, không được mặc định dương.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tóm lại: mọi giá trị lượng giác của một góc "lạ" đều quy được về một góc quen thuộc nhờ hệ thức cơ bản (tìm giá trị tuyệt đối, kể cả khi đề chỉ cho tanα) và bốn công thức góc liên kết (đổi về góc trong khoảng đã biết, đúng dấu ngay từ công thức, không cần đoán lại theo góc phần tư). Đây chính là bộ công cụ nền tảng cho mọi phép biến đổi lượng giác từ đây trở đi — chương sau sẽ dùng lại đúng những công thức này mà không nhắc lại nữa.

Bài tiếp theo dùng chính các công thức góc liên kết này (đặc biệt là công thức góc phụ) để xây dựng công thức cộng — cách tính giá trị lượng giác của một tổng hay hiệu hai góc.