Bài học

Chuyển động: quãng đường, vận tốc, gia tốc từ tích phân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng tích phân để tính vận tốc từ gia tốc và quãng đường từ vận tốc, đồng thời phân biệt được hai khái niệm dễ nhầm: độ dịch chuyển (tích phân có dấu) và quãng đường thực đi được (tích phân của giá trị tuyệt đối), khi vật đổi chiều chuyển động.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba chương trước dùng đạo hàm để tối ưu một đại lượng tĩnh. Bài này dùng tích phân — phép toán ngược của đạo hàm mà em đã học ở phần nguyên hàm — cho một đại lượng biến đổi theo thời gian: nếu biết vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của quãng đường theo thời gian, thì quãng đường chính là một nguyên hàm của $v(t)$ , và công thức Newton – Leibniz $\int_a^b f(t)\,dt = F(b)-F(a)$ tính chính xác lượng thay đổi đó trên một khoảng thời gian.

Ba chương trước dùng đạo hàm để tối ưu một đại lượng tĩnh. Bài này dùng tích phân — phép toán ngược của đạo hàm mà em đã học ở phần nguyên hàm — cho một đại lượng biến đổi theo thời gian: nếu biết vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của quãng đường theo thời gian, thì quãng đường chính là một nguyên hàm của $v(t)$, và công thức Newton – Leibniz $\int_a^b f(t)\,dt = F(b)-F(a)$ tính chính xác lượng thay đổi đó trên một khoảng thời gian.

Khởi động

Một ô tô đang chạy đều thì người lái đạp phanh gấp. Xe không dừng lại ngay lập tức, mà giảm tốc dần rồi mới dừng hẳn sau vài giây. Biết tốc độ giảm dần đều theo thời gian, làm sao tính được xe đã đi thêm bao nhiêu mét kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, nếu không đo trực tiếp?

Từ gia tốc đến vận tốc và quãng đường

Ví dụ

Quãng đường ô tô đi được khi phanh gấp

1
Một ô tô đang chạy với vận tốc $20 \text{ m/s}$ thì người lái đạp phanh, gia tốc không đổi $a(t) = -5 \text{ m/s}^2$ (t tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh). Tính thời điểm xe dừng hẳn và quãng đường xe đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn.
Một ô tô đang chạy với vận tốc $20 \text{ m/s}$ thì người lái đạp phanh, gia tốc không đổi $a(t) = -5 \text{ m/s}^2$ (t tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh). Tính thời điểm xe dừng hẳn và quãng đường xe đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn.
2
Ta có $v(t) = v_0 + \int_0^t a(s)\,ds = 20 + \int_0^t (-5)\,ds = 20 - 5t$ (m/s).
Ta có $v(t) = v_0 + \int_0^t a(s)\,ds = 20 + \int_0^t (-5)\,ds = 20 - 5t$ (m/s).
3
Xe dừng hẳn khi $v(t) = 0 \iff 20 - 5t = 0 \iff t = 4$ (giây).
Xe dừng hẳn khi $v(t) = 0 \iff 20 - 5t = 0 \iff t = 4$ (giây).
4
Vì $v(t) \geq 0$ trên $[0;4]$ (xe không đổi chiều trong lúc phanh), quãng đường bằng đúng tích phân có dấu: $s = \int_0^4 (20-5t)\,dt = \Big[20t - 2{,}5t^2\Big]_0^4 = 80 - 40 = 40$ .
Vì $v(t) \geq 0$ trên $[0;4]$ (xe không đổi chiều trong lúc phanh), quãng đường bằng đúng tích phân có dấu: $s = \int_0^4 (20-5t)\,dt = \Big[20t - 2{,}5t^2\Big]_0^4 = 80 - 40 = 40$.
5
Vậy xe dừng hẳn sau 4 giây, và quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh là $40$ mét — một con số hợp lý cho một pha phanh gấp ở tốc độ $20$ m/s (khoảng $72$ km/h), phù hợp với quãng đường phanh thực tế của ô tô ở tốc độ đó.
Vậy xe dừng hẳn sau 4 giây, và quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh là $40$ mét — một con số hợp lý cho một pha phanh gấp ở tốc độ $20$ m/s (khoảng $72$ km/h), phù hợp với quãng đường phanh thực tế của ô tô ở tốc độ đó.

Chú ý cách hai lần tích phân nối tiếp nhau: lần đầu biến gia tốc (đạo hàm bậc hai của quãng đường) thành vận tốc, lần sau biến vận tốc thành quãng đường. Đây chính là chiều ngược của việc lấy đạo hàm hai lần liên tiếp mà em đã quen ở phần khảo sát hàm số — tích phân không phải một kỹ thuật tách biệt, mà là phép toán đảo ngược của đúng thao tác đạo hàm đã học.

Luyện tập có hướng dẫn

Khi vật đổi chiều: phân biệt độ dịch chuyển và quãng đường

Bài toán trên đơn giản vì xe chỉ giảm tốc, không đổi hướng. Khi vận tốc đổi dấu — vật lùi lại rồi lại tiến lên — tích phân có dấu chỉ cho độ dịch chuyển (vị trí cuối trừ vị trí đầu), còn quãng đường thực đi được luôn lớn hơn hoặc bằng độ dịch chuyển, vì mọi đoạn đường đi ngược đều phải cộng dồn dương chứ không được phép triệt tiêu lẫn nhau.

Ví dụ

Phân biệt độ dịch chuyển và quãng đường khi vận tốc đổi dấu

1
Một vật chuyển động trên một đường thẳng có vận tốc $v(t) = t^2 - 6t + 8$ (m/s), với $t \in [0;5]$ (giây). Tính độ dịch chuyển và quãng đường thực của vật trong khoảng thời gian này.
Một vật chuyển động trên một đường thẳng có vận tốc $v(t) = t^2 - 6t + 8$ (m/s), với $t \in [0;5]$ (giây). Tính độ dịch chuyển và quãng đường thực của vật trong khoảng thời gian này.
2
Ta có $v(t) = (t-2)(t-4)$ , bằng 0 tại $t=2$ và $t=4$ . Trên $[0;2)$ : $v(t) > 0$ (vật tiến). Trên $(2;4)$ : $v(t) < 0$ (vật lùi). Trên $(4;5]$ : $v(t) > 0$ (vật lại tiến). Vậy vật đổi chiều hai lần trong khoảng $[0;5]$ .
Ta có $v(t) = (t-2)(t-4)$, bằng 0 tại $t=2$ và $t=4$. Trên $[0;2)$: $v(t) > 0$ (vật tiến). Trên $(2;4)$: $v(t) < 0$ (vật lùi). Trên $(4;5]$: $v(t) > 0$ (vật lại tiến). Vậy vật đổi chiều hai lần trong khoảng $[0;5]$.
3
Gọi $F(t) = \dfrac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$ là một nguyên hàm của $v(t)$ . Độ dịch chuyển là $\int_0^5 v(t)\,dt = F(5) - F(0) = \left(\dfrac{125}{3}-75+40\right) - 0 = \dfrac{125}{3} - 35 = \dfrac{20}{3}$ (m).
Gọi $F(t) = \dfrac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$ là một nguyên hàm của $v(t)$. Độ dịch chuyển là $\int_0^5 v(t)\,dt = F(5) - F(0) = \left(\dfrac{125}{3}-75+40\right) - 0 = \dfrac{125}{3} - 35 = \dfrac{20}{3}$ (m).
4
Tách theo từng đoạn không đổi dấu: $\int_0^2 v\,dt = F(2)-F(0) = \dfrac{20}{3}$ (dương). $\int_2^4 v\,dt = F(4)-F(2) = \dfrac{16}{3} - \dfrac{20}{3} = -\dfrac{4}{3}$ (âm, vì vật lùi). $\int_4^5 v\,dt = F(5)-F(4) = \dfrac{20}{3} - \dfrac{16}{3} = \dfrac{4}{3}$ (dương). Quãng đường thực là tổng các giá trị tuyệt đối: $\left|\dfrac{20}{3}\right| + \left|-\dfrac{4}{3}\right| + \left|\dfrac{4}{3}\right| = \dfrac{28}{3}$ (m).
Tách theo từng đoạn không đổi dấu: $\int_0^2 v\,dt = F(2)-F(0) = \dfrac{20}{3}$ (dương). $\int_2^4 v\,dt = F(4)-F(2) = \dfrac{16}{3} - \dfrac{20}{3} = -\dfrac{4}{3}$ (âm, vì vật lùi). $\int_4^5 v\,dt = F(5)-F(4) = \dfrac{20}{3} - \dfrac{16}{3} = \dfrac{4}{3}$ (dương). Quãng đường thực là tổng các giá trị tuyệt đối: $\left|\dfrac{20}{3}\right| + \left|-\dfrac{4}{3}\right| + \left|\dfrac{4}{3}\right| = \dfrac{28}{3}$ (m).
5
Vậy độ dịch chuyển là $\dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ m, còn quãng đường thực là $\dfrac{28}{3} \approx 9{,}33$ m — lớn hơn hẳn độ dịch chuyển, đúng như dự đoán vì vật có đổi chiều. Kiểm tra chéo: cộng có dấu ba đoạn $\dfrac{20}{3} - \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{3}$ , khớp đúng với độ dịch chuyển tính trực tiếp ở bước hai — hai cách tính độc lập cho cùng một kết quả.
Vậy độ dịch chuyển là $\dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ m, còn quãng đường thực là $\dfrac{28}{3} \approx 9{,}33$ m — lớn hơn hẳn độ dịch chuyển, đúng như dự đoán vì vật có đổi chiều. Kiểm tra chéo: cộng có dấu ba đoạn $\dfrac{20}{3} - \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{3}$, khớp đúng với độ dịch chuyển tính trực tiếp ở bước hai — hai cách tính độc lập cho cùng một kết quả.

Đồ thị cho thấy rõ ba đoạn dấu khác nhau — cơ sở để tách tích phân khi tính quãng đường thực.

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm kinh điển của dạng bài này là tính thẳng $\int_a^b v(t)\,dt$ rồi gọi đó là "quãng đường", mà không kiểm tra trước xem $v(t)$ có đổi dấu trên $[a;b]$ hay không. Luôn giải $v(t)=0$ trước, xác định các đoạn con không đổi dấu, rồi mới quyết định có cần tách tích phân và lấy giá trị tuyệt đối hay không — bỏ qua bước này là lỗi phổ biến nhất trong toàn bộ dạng bài chuyển động.

Bài học cốt lõi của chương này không phải công thức Newton–Leibniz — em đã biết công thức đó — mà là thói quen kiểm tra dấu của hàm dưới dấu tích phân trước khi gọi kết quả là "quãng đường". Thói quen này sẽ lặp lại ở bài tiếp theo, nơi tích phân của một hàm tốc độ (bơm nước, tăng trưởng dân số) luôn dương nên không cần tách đoạn, nhưng việc kiểm tra dấu trước khi kết luận vẫn là bước không được bỏ qua.

Bài tiếp theo áp dụng đúng kỹ thuật tích phân của một hàm tốc độ để tính tổng lượng tích lũy theo thời gian — nước bơm vào bể, dân số tăng thêm — hoàn thiện bức tranh về các bài toán thực tiễn dùng tích phân bên cạnh các bài toán tối ưu dùng đạo hàm.

Một lưu ý cuối: trong đề thi, đại lượng "gia tốc" đôi khi được cho gián tiếp qua một hàm không phải hằng số, chẳng hạn $a(t)$ phụ thuộc bậc nhất vào $t$ (lực cản tăng dần theo tốc độ). Quy trình không đổi — chỉ phép tính nguyên hàm ở bước tích phân gia tốc phức tạp hơn một chút. Luôn viết rõ nguyên hàm trước khi thay cận, thay vì nhẩm trực tiếp, để tránh sai dấu khi $a(t)$ không còn là hằng số đơn giản.