Bài học

Hình trụ tối ưu: lon có nắp và không nắp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được hàm diện tích toàn phần của một hình trụ theo bán kính đáy khi thể tích cố định, tìm bán kính cho diện tích vật liệu nhỏ nhất trong cả hai trường hợp có nắp và không có nắp, và giải thích được vì sao hai trường hợp cho hai tỉ lệ chiều cao trên bán kính khác nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước dùng hình hộp với đáy vuông; bài này chuyển sang hình trụ, nơi đáy là hình tròn bán kính $r$ và các công thức diện tích, thể tích khác hẳn. Quy trình bốn bước và kỹ thuật xét giới hạn ở hai đầu (khi miền là $(0;+\infty)$ ) vẫn dùng lại y hệt Chương 2.

Khởi động

Một xưởng sản xuất hai loại lon hình trụ: loại đóng kín có cả nắp trên và đáy dưới, loại còn hở miệng (chỉ có đáy, không nắp), cùng chứa một lượng nước như nhau. Với cùng thể tích, hai loại lon có bán kính tối ưu (tốn ít vật liệu nhất) giống nhau hay khác nhau?

Lon hình trụ có nắp — diện tích nhỏ nhất

Hình dung một chiếc lon hình trụ đứng: đáy là hình tròn bán kính $r$ , chiều cao $h$ . Diện tích toàn phần gồm hai hình tròn (đáy và nắp) cộng với mặt xung quanh, khi trải phẳng mặt xung quanh sẽ là một hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đáy $2\pi r$ và cạnh kia bằng chiều cao $h$ .

Hình dung một chiếc lon hình trụ đứng: đáy là hình tròn bán kính $r$, chiều cao $h$. Diện tích toàn phần gồm hai hình tròn (đáy và nắp) cộng với mặt xung quanh, khi trải phẳng mặt xung quanh sẽ là một hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đáy $2\pi r$ và cạnh kia bằng chiều cao $h$.

Ví dụ

Diện tích nhỏ nhất của lon hình trụ có nắp

1
Một chiếc lon hình trụ có cả nắp và đáy, cần chứa thể tích đúng $16\pi \text{ cm}^3$ . Tìm bán kính đáy và chiều cao để diện tích vật liệu (toàn phần) nhỏ nhất.
Một chiếc lon hình trụ có cả nắp và đáy, cần chứa thể tích đúng $16\pi \text{ cm}^3$. Tìm bán kính đáy và chiều cao để diện tích vật liệu (toàn phần) nhỏ nhất.
2
Gọi $r$ (cm) là bán kính đáy, $r>0$ . Từ $V = \pi r^2 h = 16\pi$ , suy ra $h = \dfrac{16}{r^2}$ , xác định với mọi $r \in (0; +\infty)$ .
Gọi $r$ (cm) là bán kính đáy, $r>0$. Từ $V = \pi r^2 h = 16\pi$, suy ra $h = \dfrac{16}{r^2}$, xác định với mọi $r \in (0; +\infty)$.
3
Diện tích toàn phần là $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{16}{r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{32\pi}{r}$ , với $r \in (0; +\infty)$ .
Diện tích toàn phần là $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{16}{r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{32\pi}{r}$, với $r \in (0; +\infty)$.
4
$S'(r) = 4\pi r - \dfrac{32\pi}{r^2}$ . Cho $S'(r)=0 \iff 4\pi r^3 = 32\pi \iff r^3=8 \iff r=2$ . Dấu $S'(r)$ đổi từ âm sang dương khi $r$ qua 2, nên $S$ đạt cực tiểu tại $r=2$ , với $S(2) = 8\pi + 16\pi = 24\pi$ . Khi $r \to 0^+$ hoặc $r \to +\infty$ , $S(r) \to +\infty$ ở cả hai phía (một số hạng qua $32\pi/r$ , số hạng kia qua $2\pi r^2$ ). Vậy $r=2$ cho diện tích nhỏ nhất trên toàn miền.
$S'(r) = 4\pi r - \dfrac{32\pi}{r^2}$. Cho $S'(r)=0 \iff 4\pi r^3 = 32\pi \iff r^3=8 \iff r=2$. Dấu $S'(r)$ đổi từ âm sang dương khi $r$ qua 2, nên $S$ đạt cực tiểu tại $r=2$, với $S(2) = 8\pi + 16\pi = 24\pi$. Khi $r \to 0^+$ hoặc $r \to +\infty$, $S(r) \to +\infty$ ở cả hai phía (một số hạng qua $32\pi/r$, số hạng kia qua $2\pi r^2$). Vậy $r=2$ cho diện tích nhỏ nhất trên toàn miền.
5
Với $r=2$ cm thì $h = \dfrac{16}{4}=4$ cm. Diện tích nhỏ nhất là $24\pi \text{ cm}^2 \approx 75{,}4 \text{ cm}^2$ . Chú ý $h=4=2r$ : chiều cao tối ưu gấp đôi bán kính — một tỉ lệ đáng nhớ cho lon có nắp.
Với $r=2$ cm thì $h = \dfrac{16}{4}=4$ cm. Diện tích nhỏ nhất là $24\pi \text{ cm}^2 \approx 75{,}4 \text{ cm}^2$. Chú ý $h=4=2r$: chiều cao tối ưu gấp đôi bán kính — một tỉ lệ đáng nhớ cho lon có nắp.

Diện tích nhỏ nhất tại r = 2 cm, bằng 24π cm² ≈ 75,4 cm².

Luyện tập có hướng dẫn

Tỉ lệ $h=2r$ chỉ đúng khi mục tiêu DUY NHẤT là tối thiểu diện tích vật liệu. Lon nước ngọt thật ngoài đời thường thấp và rộng hơn tỉ lệ này, vì nhà sản xuất còn phải cân nhắc thêm việc xếp chồng lên kệ, cầm vừa tay, và độ dày lon ở đáy khác với thành lon để chịu áp suất — bài toán thực tế đơn giản hóa ở đây chỉ giữ lại một mục tiêu để luyện đúng kỹ thuật đạo hàm, không phải mô tả đầy đủ mọi ràng buộc sản xuất.

Lon hình trụ không nắp — so sánh tỉ lệ tối ưu

Nếu lon chỉ có đáy mà không có nắp (miệng để hở, như một chiếc cốc), diện tích toàn phần bớt đi một hình tròn. Ẩn số và các bước vẫn như cũ, nhưng hàm mục tiêu thay đổi, dẫn tới một tỉ lệ tối ưu khác.

Ví dụ

Diện tích nhỏ nhất của lon hình trụ không nắp

1
Một chiếc thùng hình trụ hở miệng (chỉ có đáy, không có nắp), cần chứa thể tích đúng $27\pi \text{ cm}^3$ . Tìm bán kính đáy để diện tích vật liệu nhỏ nhất.
Một chiếc thùng hình trụ hở miệng (chỉ có đáy, không có nắp), cần chứa thể tích đúng $27\pi \text{ cm}^3$. Tìm bán kính đáy để diện tích vật liệu nhỏ nhất.
2
Gọi $r$ (cm) là bán kính đáy, $r>0$ . Từ $V=\pi r^2 h = 27\pi$ , suy ra $h=\dfrac{27}{r^2}$ , xác định với mọi $r \in (0;+\infty)$ .
Gọi $r$ (cm) là bán kính đáy, $r>0$. Từ $V=\pi r^2 h = 27\pi$, suy ra $h=\dfrac{27}{r^2}$, xác định với mọi $r \in (0;+\infty)$.
3
Diện tích chỉ gồm một đáy và mặt xung quanh: $S(r) = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{27}{r^2} = \pi r^2 + \dfrac{54\pi}{r}$ , với $r \in (0;+\infty)$ .
Diện tích chỉ gồm một đáy và mặt xung quanh: $S(r) = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{27}{r^2} = \pi r^2 + \dfrac{54\pi}{r}$, với $r \in (0;+\infty)$.
4
$S'(r) = 2\pi r - \dfrac{54\pi}{r^2}$ . Cho $S'(r)=0 \iff 2\pi r^3 = 54\pi \iff r^3=27 \iff r=3$ . Dấu $S'(r)$ đổi từ âm sang dương khi $r$ qua 3, nên $S$ đạt cực tiểu tại $r=3$ , với $S(3) = 9\pi + 18\pi = 27\pi$ . Khi $r \to 0^+$ hoặc $r \to +\infty$ , $S(r) \to +\infty$ ở cả hai phía, nên $r=3$ cho diện tích nhỏ nhất toàn cục.
$S'(r) = 2\pi r - \dfrac{54\pi}{r^2}$. Cho $S'(r)=0 \iff 2\pi r^3 = 54\pi \iff r^3=27 \iff r=3$. Dấu $S'(r)$ đổi từ âm sang dương khi $r$ qua 3, nên $S$ đạt cực tiểu tại $r=3$, với $S(3) = 9\pi + 18\pi = 27\pi$. Khi $r \to 0^+$ hoặc $r \to +\infty$, $S(r) \to +\infty$ ở cả hai phía, nên $r=3$ cho diện tích nhỏ nhất toàn cục.
5
Với $r=3$ cm thì $h = \dfrac{27}{9}=3$ cm — chú ý $h=r$ lần này, khác hẳn $h=2r$ của lon có nắp. Diện tích nhỏ nhất là $27\pi \text{ cm}^2 \approx 84{,}8 \text{ cm}^2$ .
Với $r=3$ cm thì $h = \dfrac{27}{9}=3$ cm — chú ý $h=r$ lần này, khác hẳn $h=2r$ của lon có nắp. Diện tích nhỏ nhất là $27\pi \text{ cm}^2 \approx 84{,}8 \text{ cm}^2$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp là dùng nhầm công thức diện tích của lon có nắp cho bài toán lon không nắp (hoặc ngược lại), vì hai công thức chỉ khác nhau đúng một số hạng $\pi r^2$ . Luôn đọc kỹ đề để xác định lon có mấy mặt tròn (một hay hai) trước khi viết hàm diện tích, thay vì áp dụng máy móc công thức đã nhớ từ bài trước.

Sai lầm thường gặp là dùng nhầm công thức diện tích của lon có nắp cho bài toán lon không nắp (hoặc ngược lại), vì hai công thức chỉ khác nhau đúng một số hạng $\pi r^2$. Luôn đọc kỹ đề để xác định lon có mấy mặt tròn (một hay hai) trước khi viết hàm diện tích, thay vì áp dụng máy móc công thức đã nhớ từ bài trước.

Cách nhớ nhanh cho cả hai dạng: viết diện tích các mặt tròn trước (một hay hai hình tròn bán kính $r$ ), cộng diện tích mặt xung quanh $2\pi rh$ , rồi mới thay $h$ bằng biểu thức theo $V$ và $r$ . Làm theo đúng thứ tự này tránh được lỗi quên mặt tròn hoặc quên hệ số 2 trước $\pi rh$ — hai lỗi phổ biến nhất khi làm vội trong phòng thi.

Cách nhớ nhanh cho cả hai dạng: viết diện tích các mặt tròn trước (một hay hai hình tròn bán kính $r$), cộng diện tích mặt xung quanh $2\pi rh$, rồi mới thay $h$ bằng biểu thức theo $V$ và $r$. Làm theo đúng thứ tự này tránh được lỗi quên mặt tròn hoặc quên hệ số 2 trước $\pi rh$ — hai lỗi phổ biến nhất khi làm vội trong phòng thi.

Chương này cho thấy cùng một kỹ thuật đạo hàm áp dụng được cho cả hình phẳng (hàng rào) lẫn hình khối (hộp, hình trụ) — điều thay đổi chỉ là công thức diện tích và thể tích riêng của từng hình dạng. Hai tỉ lệ tối ưu $h=2r$ và $h=r$ không cần học thuộc, mà tự nhiên xuất hiện lại mỗi khi lặp đúng bốn bước cho một bài toán tương tự.

Bài tiếp theo rời khỏi các bài toán hình học tĩnh để bước sang một ứng dụng khác của giải tích: dùng tích phân — phép toán ngược của đạo hàm — để tính quãng đường một vật đi được từ hàm vận tốc, một kỹ năng nền tảng cho toàn bộ phần chuyển động trong đề thi.

Nhìn lại ba chương đầu, mọi bài toán đều có chung một cấu trúc: một ràng buộc cố định (chu vi, thể tích) sinh ra một hệ thức giữa hai đại lượng, hệ thức đó cho phép rút một biến theo biến còn lại, và hàm mục tiêu chỉ còn một ẩn để khảo sát bằng đạo hàm. Nắm chắc bước rút biến này — chứ không phải nhớ từng công thức riêng của từng hình — mới là kỹ năng thật sự cần luyện.