Bài học

Chi phí nhiên liệu tối ưu theo vận tốc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được hàm chi phí nhiên liệu của một chuyến đi theo vận tốc di chuyển, tìm vận tốc cho chi phí nhỏ nhất, và xử lý được trường hợp điểm tối ưu không ràng buộc lại rơi ngoài giới hạn thực tế cho phép — khi đó đáp số chuyển sang chính giới hạn đó, không còn là điểm làm đạo hàm bằng không.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ Chương 2 và Chương 3 đều có điểm tối ưu nằm trong miền mở, nơi giới hạn ở hai đầu đều cho giá trị tệ hơn điểm tìm được. Bài này giới thiệu một biến thể quan trọng: khi bài toán có thêm một ràng buộc thực tế (ví dụ giới hạn tốc độ an toàn), điểm tối ưu của hàm không ràng buộc có thể rơi ra ngoài miền cho phép — và khi đó, chính đầu mút của miền mới là đáp số, đúng bằng bài học "đừng bỏ qua việc kiểm tra hai đầu mút" từ Chương 1.

Khởi động

Một con tàu chở hàng có thể chạy ở bất kỳ vận tốc nào, nhưng chạy nhanh thì tốn nhiều nhiên liệu hơn (chi phí nhiên liệu mỗi giờ tăng rất nhanh theo tốc độ), còn chạy chậm thì tốn nhiều giờ công hơn (chi phí cố định mỗi giờ như lương thủy thủ đoàn). Có một vận tốc tối ưu cho tổng chi phí cả chuyến đi không, và nếu quy định an toàn giới hạn tốc độ tối đa, đáp số có thay đổi không?

Chi phí nhiên liệu nhỏ nhất theo vận tốc

Ví dụ

Vận tốc tối ưu để chi phí nhiên liệu nhỏ nhất

1
Một con tàu chạy quãng đường $500$ hải lý với vận tốc không đổi $v$ (hải lý/giờ). Chi phí nhiên liệu mỗi giờ là $0{,}002v^3$ (triệu đồng/giờ), cộng thêm chi phí cố định (lương thủy thủ đoàn, khấu hao) là $4$ triệu đồng/giờ, không phụ thuộc vận tốc. Tìm vận tốc để tổng chi phí cả chuyến đi nhỏ nhất.
Một con tàu chạy quãng đường $500$ hải lý với vận tốc không đổi $v$ (hải lý/giờ). Chi phí nhiên liệu mỗi giờ là $0{,}002v^3$ (triệu đồng/giờ), cộng thêm chi phí cố định (lương thủy thủ đoàn, khấu hao) là $4$ triệu đồng/giờ, không phụ thuộc vận tốc. Tìm vận tốc để tổng chi phí cả chuyến đi nhỏ nhất.
2
Gọi $v$ (hải lý/giờ) là vận tốc, $v>0$ . Thời gian di chuyển là $\dfrac{500}{v}$ (giờ).
Gọi $v$ (hải lý/giờ) là vận tốc, $v>0$. Thời gian di chuyển là $\dfrac{500}{v}$ (giờ).
3
Chi phí mỗi giờ là $0{,}002v^3+4$ (triệu đồng/giờ). Tổng chi phí cả chuyến là $C(v) = (0{,}002v^3+4) \cdot \dfrac{500}{v} = v^2 + \dfrac{2000}{v}$ (triệu đồng), với $v \in (0;+\infty)$ .
Chi phí mỗi giờ là $0{,}002v^3+4$ (triệu đồng/giờ). Tổng chi phí cả chuyến là $C(v) = (0{,}002v^3+4) \cdot \dfrac{500}{v} = v^2 + \dfrac{2000}{v}$ (triệu đồng), với $v \in (0;+\infty)$.
4
$C'(v) = 2v - \dfrac{2000}{v^2}$ . Cho $C'(v)=0 \iff 2v^3=2000 \iff v^3=1000 \iff v=10$ . Dấu $C'(v)$ đổi từ âm sang dương khi $v$ qua 10, nên $C$ đạt cực tiểu tại $v=10$ , với $C(10) = 100+200=300$ . Khi $v \to 0^+$ hoặc $v \to +\infty$ , $C(v) \to +\infty$ ở cả hai phía, nên $v=10$ cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền không ràng buộc.
$C'(v) = 2v - \dfrac{2000}{v^2}$. Cho $C'(v)=0 \iff 2v^3=2000 \iff v^3=1000 \iff v=10$. Dấu $C'(v)$ đổi từ âm sang dương khi $v$ qua 10, nên $C$ đạt cực tiểu tại $v=10$, với $C(10) = 100+200=300$. Khi $v \to 0^+$ hoặc $v \to +\infty$, $C(v) \to +\infty$ ở cả hai phía, nên $v=10$ cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền không ràng buộc.
5
Với $v=10$ hải lý/giờ, thời gian di chuyển là $\dfrac{500}{10}=50$ giờ, tổng chi phí nhỏ nhất là $300$ triệu đồng.
Với $v=10$ hải lý/giờ, thời gian di chuyển là $\dfrac{500}{10}=50$ giờ, tổng chi phí nhỏ nhất là $300$ triệu đồng.

Chi phí nhỏ nhất khi không có giới hạn tốc độ là 300 triệu đồng, tại v = 10 hải lý/giờ.

Luyện tập có hướng dẫn

Khi có giới hạn tốc độ an toàn

Giả sử vì lý do an toàn, quy định không cho phép tàu chạy quá $8$ hải lý/giờ. Vận tốc tối ưu tìm được ở trên ( $v=10$ ) không còn khả thi — nó nằm ngoài miền cho phép $(0;8]$ . Đây chính là tình huống mà việc "kiểm tra hai đầu mút" không còn là một thủ tục hình thức, mà quyết định hẳn đáp số.

Giả sử vì lý do an toàn, quy định không cho phép tàu chạy quá $8$ hải lý/giờ. Vận tốc tối ưu tìm được ở trên ($v=10$) không còn khả thi — nó nằm ngoài miền cho phép $(0;8]$. Đây chính là tình huống mà việc "kiểm tra hai đầu mút" không còn là một thủ tục hình thức, mà quyết định hẳn đáp số.

Ví dụ

Chi phí nhỏ nhất khi vận tốc bị giới hạn dưới mức tối ưu tự nhiên

1
Vẫn con tàu ở ví dụ trên ( $C(v)=v^2+2000/v$ ), nhưng do quy định an toàn, vận tốc không được vượt quá $8$ hải lý/giờ. Tìm vận tốc để chi phí nhỏ nhất trong điều kiện này.
Vẫn con tàu ở ví dụ trên ($C(v)=v^2+2000/v$), nhưng do quy định an toàn, vận tốc không được vượt quá $8$ hải lý/giờ. Tìm vận tốc để chi phí nhỏ nhất trong điều kiện này.
2
Miền xác định bây giờ là $v \in (0; 8]$ , thay vì $(0;+\infty)$ như trước.
Miền xác định bây giờ là $v \in (0; 8]$, thay vì $(0;+\infty)$ như trước.
3
Từ ví dụ trước, $C'(v) = 2v - \dfrac{2000}{v^2} < 0$ với mọi $v<10$ . Vì toàn bộ miền $(0;8]$ nằm trong khoảng $v<10$ , $C'(v)<0$ trên suốt miền này — hàm $C$ giảm dần đều trên $(0;8]$ , không có điểm cực trị nào bên trong. Khi một hàm giảm dần đều trên cả miền, giá trị nhỏ nhất phải nằm ở đầu mút phải của miền, tức $v=8$ .
Từ ví dụ trước, $C'(v) = 2v - \dfrac{2000}{v^2} < 0$ với mọi $v<10$. Vì toàn bộ miền $(0;8]$ nằm trong khoảng $v<10$, $C'(v)<0$ trên suốt miền này — hàm $C$ giảm dần đều trên $(0;8]$, không có điểm cực trị nào bên trong. Khi một hàm giảm dần đều trên cả miền, giá trị nhỏ nhất phải nằm ở đầu mút phải của miền, tức $v=8$.
4
$C(8) = 64 + \dfrac{2000}{8} = 64+250=314$ . So sánh với một điểm trong miền, ví dụ $v=5$ : $C(5)=25+400=425>314$ , xác nhận $C$ vẫn đang giảm khi $v$ tăng tới 8.
$C(8) = 64 + \dfrac{2000}{8} = 64+250=314$. So sánh với một điểm trong miền, ví dụ $v=5$: $C(5)=25+400=425>314$, xác nhận $C$ vẫn đang giảm khi $v$ tăng tới 8.
5
Vậy với giới hạn tốc độ $8$ hải lý/giờ, chi phí nhỏ nhất đạt được chính TẠI giới hạn đó ( $v=8$ ), bằng $314$ triệu đồng — cao hơn mức $300$ triệu đồng lý tưởng (không giới hạn), vì quy định an toàn buộc tàu chạy chậm hơn vận tốc tối ưu tự nhiên.
Vậy với giới hạn tốc độ $8$ hải lý/giờ, chi phí nhỏ nhất đạt được chính TẠI giới hạn đó ($v=8$), bằng $314$ triệu đồng — cao hơn mức $300$ triệu đồng lý tưởng (không giới hạn), vì quy định an toàn buộc tàu chạy chậm hơn vận tốc tối ưu tự nhiên.

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Đây chính là sai lầm kinh điển nhất của toàn bộ dạng bài tối ưu có ràng buộc: giải $f'(x)=0$ , tìm được một nghiệm đẹp, rồi kết luận ngay đó là đáp số — mà không kiểm tra nghiệm ấy có thực sự nằm trong miền ràng buộc của đề bài hay không. Khi ràng buộc "cắt" trước điểm dừng tự nhiên, đáp số luôn là chính đầu mút bị cắt, và bước bắt buộc là chứng minh hàm đơn điệu (không đổi dấu đạo hàm) trên miền hẹp còn lại, chứ không phải chỉ nêu một giá trị mà không so sánh.

Đây chính là sai lầm kinh điển nhất của toàn bộ dạng bài tối ưu có ràng buộc: giải $f'(x)=0$, tìm được một nghiệm đẹp, rồi kết luận ngay đó là đáp số — mà không kiểm tra nghiệm ấy có thực sự nằm trong miền ràng buộc của đề bài hay không. Khi ràng buộc "cắt" trước điểm dừng tự nhiên, đáp số luôn là chính đầu mút bị cắt, và bước bắt buộc là chứng minh hàm đơn điệu (không đổi dấu đạo hàm) trên miền hẹp còn lại, chứ không phải chỉ nêu một giá trị mà không so sánh.

Ví dụ này khép lại một khoảng trống quan trọng của khóa học: cho đến giờ, mọi bài toán đều có điểm tối ưu nằm gọn bên trong miền xác định. Thực tế đề thi đôi khi cho thêm một ràng buộc phụ (giới hạn tốc độ, giới hạn ngân sách, giới hạn kích thước vật liệu có sẵn) khiến điểm tối ưu "lý tưởng" không còn khả thi — khi đó, kỹ năng so sánh với đầu mút không còn là một bước kiểm tra cho có, mà là bước quyết định toàn bộ đáp số.

Một cách khác để nhận diện nhanh dạng bài này trong đề thi: nếu đề cho thêm một cụm từ như "do quy định", "không vượt quá", "tối thiểu phải" bên cạnh câu hỏi tối ưu quen thuộc, đó là tín hiệu cho thấy miền xác định bị thu hẹp so với bài toán gốc — luôn giải lại phương trình đạo hàm trước, rồi kiểm tra nghiệm có còn nằm trong miền thu hẹp hay không, thay vì bỏ qua chi tiết ràng buộc và áp dụng thẳng kết quả của bài toán không ràng buộc.

Bài tiếp theo áp dụng đúng bốn bước cho một bối cảnh kinh doanh: tìm giá bán để lợi nhuận lớn nhất, khi lượng hàng bán ra phụ thuộc ngược vào giá — càng tăng giá, càng bán được ít hàng hơn.

So với bài toán chi phí bể chứa và hình trụ ở các chương trước, điểm mới của bài này là ràng buộc không đến từ một hệ thức đại số (thể tích, diện tích cố định) mà từ một quy định bên ngoài (an toàn giao thông). Về mặt kỹ thuật, cả hai loại ràng buộc đều thu hẹp miền xác định của ẩn theo cùng một cách — chỉ khác nguồn gốc. Khi gặp một bài toán tối ưu mới, luôn hỏi: "miền xác định thực sự của ẩn là gì, và liệu điểm làm đạo hàm bằng không có nằm trong miền đó hay không" trước khi kết luận.