Bài học

Chi phí rào và diện tích cố định

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được dạng bài toán ngược của Chương 1: cho diện tích cố định, tìm chu vi hoặc chi phí rào nhỏ nhất, và nhận ra vì sao hình vuông luôn là phương án tiết kiệm chu vi nhất cho một diện tích cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Chương 1 cho chu vi cố định để tối đa diện tích. Bài này lật ngược câu hỏi: cho diện tích cố định, kích thước nào cho chu vi nhỏ nhất. Cùng một cặp biến $x, y$ và hệ thức $xy =$ hằng số, nhưng hàm mục tiêu đổi vai trò — chu vi trở thành hàm cần tối thiểu, diện tích trở thành ràng buộc.

Chương 1 cho chu vi cố định để tối đa diện tích. Bài này lật ngược câu hỏi: cho diện tích cố định, kích thước nào cho chu vi nhỏ nhất. Cùng một cặp biến $x, y$ và hệ thức $xy = $ hằng số, nhưng hàm mục tiêu đổi vai trò — chu vi trở thành hàm cần tối thiểu, diện tích trở thành ràng buộc.

Khởi động

Một hộ dân có một mảnh đất đúng $100 \text{ m}^2$ dùng để trồng rau, muốn rào kín cả bốn cạnh. Nếu đất càng dài và hẹp thì tốn nhiều lưới rào hơn hay ít hơn so với một mảnh đất vuông vức cùng diện tích? Có kích thước nào cho chu vi rào nhỏ nhất không?

Diện tích cố định, tìm chu vi nhỏ nhất

Mảnh đất hình chữ nhật diện tích cố định — hai cạnh x, hai cạnh y, rào kín cả bốn cạnh.

Ví dụ

Chu vi nhỏ nhất của mảnh đất diện tích cố định

1
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích đúng $100 \text{ m}^2$ , rào kín bốn cạnh. Tìm kích thước để chu vi (và do đó chi phí lưới rào) nhỏ nhất.
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích đúng $100 \text{ m}^2$, rào kín bốn cạnh. Tìm kích thước để chu vi (và do đó chi phí lưới rào) nhỏ nhất.
2
Gọi $x$ (m) là một cạnh, $x > 0$ . Từ diện tích $xy = 100$ , suy ra $y = \dfrac{100}{x}$ , xác định với mọi $x \in (0; +\infty)$ .
Gọi $x$ (m) là một cạnh, $x > 0$. Từ diện tích $xy = 100$, suy ra $y = \dfrac{100}{x}$, xác định với mọi $x \in (0; +\infty)$.
3
Chu vi là $P(x) = 2x + 2y = 2x + \dfrac{200}{x}$ , với $x \in (0; +\infty)$ .
Chu vi là $P(x) = 2x + 2y = 2x + \dfrac{200}{x}$, với $x \in (0; +\infty)$.
4
$P'(x) = 2 - \dfrac{200}{x^2}$ . Cho $P'(x) = 0 \iff x^2 = 100 \iff x = 10$ (do $x>0$ ). Với $x<10$ thì $P'(x)<0$ , với $x>10$ thì $P'(x)>0$ , nên $P$ đạt cực tiểu tại $x=10$ , với $P(10) = 20+20=40$ . Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$ , một trong hai số hạng của $P(x)$ tiến ra $+\infty$ , nên $P(x) \to +\infty$ ở cả hai phía. Vậy $x=10$ cho chu vi nhỏ nhất trên toàn miền.
$P'(x) = 2 - \dfrac{200}{x^2}$. Cho $P'(x) = 0 \iff x^2 = 100 \iff x = 10$ (do $x>0$). Với $x<10$ thì $P'(x)<0$, với $x>10$ thì $P'(x)>0$, nên $P$ đạt cực tiểu tại $x=10$, với $P(10) = 20+20=40$. Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$, một trong hai số hạng của $P(x)$ tiến ra $+\infty$, nên $P(x) \to +\infty$ ở cả hai phía. Vậy $x=10$ cho chu vi nhỏ nhất trên toàn miền.
5
Với $x=10$ m thì $y = \dfrac{100}{10} = 10$ m — mảnh đất là một hình vuông cạnh 10 m. Chu vi nhỏ nhất là $40$ m. Kết quả này khớp với một tính chất quen thuộc: trong mọi hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông luôn có chu vi nhỏ nhất.
Với $x=10$ m thì $y = \dfrac{100}{10} = 10$ m — mảnh đất là một hình vuông cạnh 10 m. Chu vi nhỏ nhất là $40$ m. Kết quả này khớp với một tính chất quen thuộc: trong mọi hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông luôn có chu vi nhỏ nhất.

Chu vi nhỏ nhất tại x = 10 — đúng lúc mảnh đất trở thành hình vuông.

Có một cách kiểm tra lại kết quả trên mà không cần đạo hàm, dựa vào bất đẳng thức AM-GM đã học: với $x>0$ , $2x + \dfrac{200}{x} \geq 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{200}{x}} = 2\sqrt{400} = 40$ , dấu bằng xảy ra khi $2x = \dfrac{200}{x} \iff x^2=100 \iff x=10$ — đúng khớp với điểm cực tiểu tìm được bằng đạo hàm. Hai cách độc lập cho cùng một đáp số là một phép kiểm tra đáng tin cậy, đặc biệt hữu ích khi làm trắc nghiệm và cần xác nhận nhanh mà không có thời gian trình bày đầy đủ đạo hàm.

Có một cách kiểm tra lại kết quả trên mà không cần đạo hàm, dựa vào bất đẳng thức AM-GM đã học: với $x>0$, $2x + \dfrac{200}{x} \geq 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{200}{x}} = 2\sqrt{400} = 40$, dấu bằng xảy ra khi $2x = \dfrac{200}{x} \iff x^2=100 \iff x=10$ — đúng khớp với điểm cực tiểu tìm được bằng đạo hàm. Hai cách độc lập cho cùng một đáp số là một phép kiểm tra đáng tin cậy, đặc biệt hữu ích khi làm trắc nghiệm và cần xác nhận nhanh mà không có thời gian trình bày đầy đủ đạo hàm.

Luyện tập có hướng dẫn

Khi hai cặp cạnh có vật liệu khác nhau

Trong thực tế, người ta không luôn rào bốn cạnh bằng cùng một loại vật liệu. Ví dụ, hai cạnh dài có thể rào bằng lưới thép giá rẻ, còn hai cạnh ngắn xây bằng gạch vững chắc hơn nhưng đắt hơn. Khi đó, hàm chi phí không còn tỉ lệ đều với chu vi, và điểm tối ưu không còn là hình vuông nữa — đây chính là chỗ bất đẳng thức AM-GM ở trên không còn áp dụng gọn gàng được nữa, vì hai số hạng của hàm chi phí không còn cùng hệ số, và đạo hàm trở thành công cụ chắc chắn hơn để tìm điểm tối ưu.

Ví dụ

Chi phí rào nhỏ nhất khi hai cặp cạnh có đơn giá khác nhau

1
Một khu vườn hình chữ nhật diện tích $72 \text{ m}^2$ . Hai cạnh đối diện (chiều dài) rào bằng lưới thép giá 150 nghìn đồng/m; hai cạnh còn lại (chiều rộng) xây bằng gạch giá 300 nghìn đồng/m. Tìm kích thước để chi phí rào nhỏ nhất.
Một khu vườn hình chữ nhật diện tích $72 \text{ m}^2$. Hai cạnh đối diện (chiều dài) rào bằng lưới thép giá 150 nghìn đồng/m; hai cạnh còn lại (chiều rộng) xây bằng gạch giá 300 nghìn đồng/m. Tìm kích thước để chi phí rào nhỏ nhất.
2
Gọi $x$ (m) là chiều rộng (cạnh xây gạch), $x>0$ , và $y$ (m) là chiều dài (cạnh rào lưới). Từ $xy=72$ , suy ra $y=\dfrac{72}{x}$ , xác định với mọi $x \in (0; +\infty)$ .
Gọi $x$ (m) là chiều rộng (cạnh xây gạch), $x>0$, và $y$ (m) là chiều dài (cạnh rào lưới). Từ $xy=72$, suy ra $y=\dfrac{72}{x}$, xác định với mọi $x \in (0; +\infty)$.
3
Chi phí (nghìn đồng) là $C(x) = 2 \cdot 150y + 2 \cdot 300x = 300y + 600x = 300 \cdot \dfrac{72}{x} + 600x = \dfrac{21600}{x} + 600x$ , với $x \in (0; +\infty)$ .
Chi phí (nghìn đồng) là $C(x) = 2 \cdot 150y + 2 \cdot 300x = 300y + 600x = 300 \cdot \dfrac{72}{x} + 600x = \dfrac{21600}{x} + 600x$, với $x \in (0; +\infty)$.
4
$C'(x) = -\dfrac{21600}{x^2} + 600$ . Cho $C'(x)=0 \iff x^2 = 36 \iff x=6$ (do $x>0$ ). Dấu $C'(x)$ đổi từ âm sang dương khi $x$ qua 6, nên $C$ đạt cực tiểu tại $x=6$ , với $C(6) = 3600+3600=7200$ . Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$ , $C(x) \to +\infty$ ở cả hai phía (một số hạng qua $21600/x$ , số hạng kia qua $600x$ ), nên $x=6$ cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền.
$C'(x) = -\dfrac{21600}{x^2} + 600$. Cho $C'(x)=0 \iff x^2 = 36 \iff x=6$ (do $x>0$). Dấu $C'(x)$ đổi từ âm sang dương khi $x$ qua 6, nên $C$ đạt cực tiểu tại $x=6$, với $C(6) = 3600+3600=7200$. Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$, $C(x) \to +\infty$ ở cả hai phía (một số hạng qua $21600/x$, số hạng kia qua $600x$), nên $x=6$ cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền.
5
Với $x=6$ m (chiều rộng) thì $y = \dfrac{72}{6}=12$ m (chiều dài). Chi phí rào nhỏ nhất là $7\,200$ nghìn đồng, tức $7{,}2$ triệu đồng. Chú ý: kích thước tối ưu ở đây không phải hình vuông, vì cạnh đắt hơn (chiều rộng, xây gạch) được thu hẹp lại so với cạnh rẻ hơn (chiều dài, rào lưới).
Với $x=6$ m (chiều rộng) thì $y = \dfrac{72}{6}=12$ m (chiều dài). Chi phí rào nhỏ nhất là $7\,200$ nghìn đồng, tức $7{,}2$ triệu đồng. Chú ý: kích thước tối ưu ở đây không phải hình vuông, vì cạnh đắt hơn (chiều rộng, xây gạch) được thu hẹp lại so với cạnh rẻ hơn (chiều dài, rào lưới).

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm thường gặp là gán nhầm đơn giá cho cặp cạnh: nhân đơn giá của cạnh rào lưới với chiều rộng thay vì chiều dài. Trước khi lập hàm chi phí, luôn xác định rõ ẩn $x$ đại diện cho cạnh nào, và đơn giá nào đi với cạnh nào — viết thành lời trước khi viết thành công thức.

Chương này khép lại với một điểm quan trọng: bốn bước mô hình hóa không đổi dù bài toán là tối đa diện tích, tối thiểu chi phí thể tích cố định, hay tối thiểu chu vi diện tích cố định. Điều thay đổi chỉ là hệ thức ràng buộc và hàm mục tiêu — một khi đã quen nhận diện đúng vai trò của từng đại lượng, việc chuyển từ bối cảnh này sang bối cảnh khác không còn khó khăn.

Một điều đáng nhớ khác: bất đẳng thức AM-GM chỉ là một lối tắt khi hai số hạng của hàm mục tiêu có thể ghép cân bằng gọn gàng (như $2x$ và $200/x$ ở ví dụ đầu). Ngay khi đơn giá hai cạnh khác nhau, phép ghép đó không còn cho một hằng số độc lập với $x$ nữa, nên đạo hàm — chứ không phải AM-GM — mới là công cụ tổng quát dùng được cho mọi bài toán tối ưu, kể cả khi các hệ số không đẹp. Đây là lý do khóa học này luôn trình bày lời giải bằng đạo hàm trước, và chỉ dùng AM-GM như một cách đối chiếu nhanh khi hệ số cho phép.

Chương tiếp theo chuyển từ các bài toán hình chữ nhật phẳng sang bài toán thể tích không gian ba chiều: cắt góc một tấm bìa để gấp thành hộp, và thiết kế một chiếc lon hình trụ — nơi hàm mục tiêu có dạng phức tạp hơn một chút, nhưng vẫn giải bằng đúng quy trình đã học.