Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Lợi nhuận lớn nhất khi giá bán quyết định lượng bán
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em lập được hàm lợi nhuận của một cửa hàng khi giá bán và lượng hàng bán ra tỉ lệ nghịch với nhau, tìm giá bán cho lợi nhuận lớn nhất, và giải thích được vì sao lợi nhuận lớn nhất không xảy ra tại giá bán cao nhất cũng không xảy ra tại giá bán thấp nhất.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài này quay lại kỹ thuật đạo hàm của các chương đầu, nhưng ràng buộc lần này đến từ quan hệ cung – cầu: khi giá bán tăng, số lượng bán ra giảm theo một quy luật tuyến tính mà đề bài cho — quen thuộc với dạng "cứ tăng/giảm giá một mức thì lượng bán thay đổi một mức tương ứng" trong đề thi thực tế.
Khởi động
Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với giá 100 nghìn đồng thì bán được 300 sản phẩm mỗi tháng. Nếu giảm giá, khách mua nhiều hơn nhưng lãi trên mỗi sản phẩm giảm đi; nếu tăng giá, lãi trên mỗi sản phẩm cao hơn nhưng bán được ít hơn. Có một mức giá cho lợi nhuận tổng cao nhất không, và mức đó có phải giá thấp nhất hay giá cao nhất không?
Trước khi lập hàm, đáng để hình dung hai thái cực của tình huống bằng lời, giống như đã làm với bài toán cắt góc tấm bìa ở Chương 3. Nếu giá bán rất thấp (gần bằng hoặc thấp hơn chi phí sản xuất), cửa hàng bán được rất nhiều nhưng mỗi sản phẩm lãi rất ít hoặc lỗ — tổng lợi nhuận thấp, thậm chí âm. Nếu giá bán rất cao, mỗi sản phẩm lãi lớn nhưng gần như không ai mua — tổng lợi nhuận cũng thấp. Lợi nhuận lớn nhất phải nằm ở đâu đó giữa hai thái cực này, đúng tinh thần "kiểm tra hai đầu mút" đã quen thuộc từ Chương 1, chỉ khác là lần này hai đầu mút được suy luận bằng lời trước khi tính bằng số.
Lợi nhuận lớn nhất khi giá và lượng bán tỉ lệ nghịch
Ví dụ
Giá bán cho lợi nhuận hàng tháng lớn nhất
1
Một cửa hàng bán một loại sản phẩm, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là $40$ nghìn đồng. Nếu giá bán là $100$ nghìn đồng/sản phẩm thì bán được $300$ sản phẩm/tháng; cứ giảm giá $5$ nghìn đồng thì lượng bán tăng thêm $50$ sản phẩm/tháng (quan hệ tuyến tính). Tìm giá bán để lợi nhuận hàng tháng lớn nhất.
2
Gọi $p$ (nghìn đồng) là giá bán. Từ dữ kiện "giảm 5 thì tăng 50", tỉ lệ thay đổi là $-50/5=-10$ sản phẩm cho mỗi nghìn đồng tăng giá. Lượng bán theo giá là $q(p) = 300 - 10(p-100) = 1300 - 10p$. Cần $q(p)>0 \iff p<130$ và $p>0$, nên $p \in (0;130)$.
3
Lợi nhuận mỗi sản phẩm là $p-40$ (nghìn đồng). Tổng lợi nhuận là $P(p) = (p-40)(1300-10p) = -10p^2+1700p-52000$, với $p \in (0;130)$.
4
$P'(p) = -20p+1700$. Cho $P'(p)=0 \iff p=85$, thuộc $(0;130)$. Với $p<85$: $P'(p)>0$; với $p>85$: $P'(p)<0$, nên $P$ đạt cực đại tại $p=85$, với $P(85) = -10 \cdot 7225 + 1700 \cdot 85 - 52000 = -72250+144500-52000=20250$. Khi $p \to 0^+$: $P(p) \to -52000$ (lỗ nặng vì bán dưới giá vốn). Khi $p \to 130^-$: $P(p) \to 0$ (không bán được sản phẩm nào). Cả hai đầu mút đều thấp hơn hẳn $20\,250$, nên $p=85$ cho lợi nhuận lớn nhất trên toàn miền.
5
Với giá bán $p=85$ nghìn đồng, lượng bán là $q(85)=1300-850=450$ sản phẩm/tháng, tổng lợi nhuận lớn nhất là $20\,250$ nghìn đồng, tức $20{,}25$ triệu đồng/tháng.
Lợi nhuận lớn nhất tại giá bán 85 nghìn đồng — thấp hơn hẳn cả hai đầu mút của miền giá khả thi.
Luyện tập có hướng dẫn
Sai lầm thường gặp
Sai lầm thường gặp là nhầm lẫn "giá bán cho lợi nhuận trên MỖI sản phẩm cao nhất" với "giá bán cho TỔNG lợi nhuận cao nhất". Lãi trên mỗi sản phẩm ($p-40$) tăng đơn điệu theo giá — càng bán đắt, lãi mỗi sản phẩm càng cao — nhưng tổng lợi nhuận phải nhân thêm với lượng bán ra đang giảm dần, nên hai đại lượng này đạt giá trị lớn nhất tại hai giá bán hoàn toàn khác nhau. Luôn đọc kỹ đề hỏi lợi nhuận trên một sản phẩm hay tổng lợi nhuận trước khi lập hàm mục tiêu.
So sánh nhanh với bài toán tàu ở phần trước: cả hai hàm mục tiêu đều là một tam thức bậc hai hoặc một tổng hai số hạng đối lập, và cả hai đều có một tham số dữ kiện đóng vai trò như "chi phí nền" (chi phí cố định theo giờ ở bài tàu, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm ở bài này). Thay đổi tham số đó luôn dịch chuyển điểm tối ưu, nhưng không đổi bản chất bài toán — đây là lý do tại sao luyện nhiều biến thể số liệu của cùng một dạng bài (như bài tập độc lập dưới đây) giúp nắm chắc kỹ thuật hơn là học thuộc một đáp số cụ thể.
Luyện tập độc lập
Bài toán lợi nhuận này khép lại một quan sát chung cho cả chương: khi hai đại lượng biến thiên ngược chiều nhau (giá và lượng bán, tốc độ và thời gian di chuyển, cạnh đáy và chiều cao), tích của chúng — hay một hàm kết hợp cả hai — luôn có một điểm cân bằng ở giữa, không phải ở một trong hai thái cực. Nhận ra cấu trúc "đánh đổi" này ngay từ đề bài giúp em đoán trước dạng của hàm mục tiêu trước cả khi bắt tay tính toán.
Chương cuối cùng của khóa học sẽ ôn tập tổng hợp: kết hợp cực trị và tích phân trong cùng một bài toán, và giải lại các dạng đã học với những con số mới, để kiểm tra em có thực sự làm chủ bốn bước mô hình hóa hay chỉ nhớ từng công thức riêng lẻ.
Một lưu ý cuối về cách trình bày: khi đề bài mô tả quan hệ giá – lượng bán bằng lời ("cứ giảm giá bao nhiêu thì lượng bán tăng thêm bao nhiêu"), bước đầu tiên và quan trọng nhất là dịch câu chuyện đó thành đúng một hàm số bậc nhất $q(p)$, trước khi nhân với $(p-c)$ để ra hàm lợi nhuận. Một sai số nhỏ ở bước dịch này — ví dụ nhầm dấu của hệ số góc, hoặc nhầm điểm neo ban đầu — sẽ làm sai toàn bộ các bước sau, dù kỹ thuật đạo hàm ở bước khảo sát vẫn hoàn toàn đúng.
Kiểm tra nhanh bước dịch này bằng cách thay lại điểm neo vào hàm vừa lập: với $q(p)=1300-10p$, thay $p=100$ phải cho đúng $q=300$ (điểm neo đề bài cho), và thay $p=95$ (giảm 5) phải cho đúng $q=350$ (tăng 50). Nếu một trong hai phép thử này sai, hàm $q(p)$ đã lập sai ngay từ đầu — nên kiểm tra trước khi đi tiếp sang bước lập hàm lợi nhuận, thay vì phát hiện lỗi ở bước cuối cùng.
Trước khi lập hàm, đáng để hình dung hai thái cực của tình huống bằng lời, giống như đã làm với bài toán cắt góc tấm bìa ở Chương 3. Nếu giá bán rất thấp (gần bằng hoặc thấp hơn chi phí sản xuất), cửa hàng bán được rất nhiều nhưng mỗi sản phẩm lãi rất ít hoặc lỗ — tổng lợi nhuận thấp, thậm chí âm. Nếu giá bán rất cao, mỗi sản phẩm lãi lớn nhưng gần như không ai mua — tổng lợi nhuận cũng thấp. Lợi nhuận lớn nhất phải nằm ở đâu đó giữa hai thái cực này, đúng tinh thần "kiểm tra hai đầu mút" đã quen thuộc từ Chương 1, chỉ khác là lần này hai đầu mút được suy luận bằng lời trước khi tính bằng số.
Một cửa hàng bán một loại sản phẩm, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 40 nghìn đồng. Nếu giá bán là 100 nghìn đồng/sản phẩm thì bán được 300 sản phẩm/tháng; cứ giảm giá 5 nghìn đồng thì lượng bán tăng thêm 50 sản phẩm/tháng (quan hệ tuyến tính). Tìm giá bán để lợi nhuận hàng tháng lớn nhất.
Gọi p (nghìn đồng) là giá bán. Từ dữ kiện "giảm 5 thì tăng 50", tỉ lệ thay đổi là −50/5=−10 sản phẩm cho mỗi nghìn đồng tăng giá. Lượng bán theo giá là q(p)=300−10(p−100)=1300−10p. Cần q(p)>0⟺p<130 và p>0, nên p∈(0;130).
Lợi nhuận mỗi sản phẩm là p−40 (nghìn đồng). Tổng lợi nhuận là P(p)=(p−40)(1300−10p)=−10p2+1700p−52000, với p∈(0;130).
P′(p)=−20p+1700. Cho P′(p)=0⟺p=85, thuộc (0;130). Với p<85: P′(p)>0; với p>85: P′(p)<0, nên P đạt cực đại tại p=85, với P(85)=−10⋅7225+1700⋅85−52000=−72250+144500−52000=20250. Khi p→0+: P(p)→−52000 (lỗ nặng vì bán dưới giá vốn). Khi p→130−: P(p)→0 (không bán được sản phẩm nào). Cả hai đầu mút đều thấp hơn hẳn 20250, nên p=85 cho lợi nhuận lớn nhất trên toàn miền.
Với giá bán p=85 nghìn đồng, lượng bán là q(85)=1300−850=450 sản phẩm/tháng, tổng lợi nhuận lớn nhất là 20250 nghìn đồng, tức 20,25 triệu đồng/tháng.
Sai lầm thường gặp là nhầm lẫn "giá bán cho lợi nhuận trên MỖI sản phẩm cao nhất" với "giá bán cho TỔNG lợi nhuận cao nhất". Lãi trên mỗi sản phẩm (p−40) tăng đơn điệu theo giá — càng bán đắt, lãi mỗi sản phẩm càng cao — nhưng tổng lợi nhuận phải nhân thêm với lượng bán ra đang giảm dần, nên hai đại lượng này đạt giá trị lớn nhất tại hai giá bán hoàn toàn khác nhau. Luôn đọc kỹ đề hỏi lợi nhuận trên một sản phẩm hay tổng lợi nhuận trước khi lập hàm mục tiêu.
So sánh nhanh với bài toán tàu ở phần trước: cả hai hàm mục tiêu đều là một tam thức bậc hai hoặc một tổng hai số hạng đối lập, và cả hai đều có một tham số dữ kiện đóng vai trò như "chi phí nền" (chi phí cố định theo giờ ở bài tàu, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm ở bài này). Thay đổi tham số đó luôn dịch chuyển điểm tối ưu, nhưng không đổi bản chất bài toán — đây là lý do tại sao luyện nhiều biến thể số liệu của cùng một dạng bài (như bài tập độc lập dưới đây) giúp nắm chắc kỹ thuật hơn là học thuộc một đáp số cụ thể.
Bài toán lợi nhuận này khép lại một quan sát chung cho cả chương: khi hai đại lượng biến thiên ngược chiều nhau (giá và lượng bán, tốc độ và thời gian di chuyển, cạnh đáy và chiều cao), tích của chúng — hay một hàm kết hợp cả hai — luôn có một điểm cân bằng ở giữa, không phải ở một trong hai thái cực. Nhận ra cấu trúc "đánh đổi" này ngay từ đề bài giúp em đoán trước dạng của hàm mục tiêu trước cả khi bắt tay tính toán.
Một lưu ý cuối về cách trình bày: khi đề bài mô tả quan hệ giá – lượng bán bằng lời ("cứ giảm giá bao nhiêu thì lượng bán tăng thêm bao nhiêu"), bước đầu tiên và quan trọng nhất là dịch câu chuyện đó thành đúng một hàm số bậc nhất q(p), trước khi nhân với (p−c) để ra hàm lợi nhuận. Một sai số nhỏ ở bước dịch này — ví dụ nhầm dấu của hệ số góc, hoặc nhầm điểm neo ban đầu — sẽ làm sai toàn bộ các bước sau, dù kỹ thuật đạo hàm ở bước khảo sát vẫn hoàn toàn đúng.
Kiểm tra nhanh bước dịch này bằng cách thay lại điểm neo vào hàm vừa lập: với q(p)=1300−10p, thay p=100 phải cho đúng q=300 (điểm neo đề bài cho), và thay p=95 (giảm 5) phải cho đúng q=350 (tăng 50). Nếu một trong hai phép thử này sai, hàm q(p) đã lập sai ngay từ đầu — nên kiểm tra trước khi đi tiếp sang bước lập hàm lợi nhuận, thay vì phát hiện lỗi ở bước cuối cùng.