Bài học

Lãi suất và dòng tiền tích lũy qua tích phân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng tích phân của một hàm tốc độ sinh lời để tính tổng lãi tích lũy của một khoản đầu tư, so sánh hai khoản đầu tư có tốc độ sinh lời khác nhau, và phân biệt được sự khác nhau giữa "tốc độ tức thời lớn hơn" và "tổng tích lũy lớn hơn" — hai câu hỏi tưởng như giống nhau nhưng có thể cho hai câu trả lời khác nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước tích phân tốc độ bơm nước và tốc độ tăng dân số để ra tổng lượng tích lũy. Bài này áp dụng đúng kỹ thuật đó cho tiền: nếu $r(t)$ là tốc độ sinh lời tức thời (triệu đồng/năm) tại năm thứ $t$ , tổng lãi tích lũy sau $T$ năm là $\int_0^T r(t)\,dt$ .

Bài trước tích phân tốc độ bơm nước và tốc độ tăng dân số để ra tổng lượng tích lũy. Bài này áp dụng đúng kỹ thuật đó cho tiền: nếu $r(t)$ là tốc độ sinh lời tức thời (triệu đồng/năm) tại năm thứ $t$, tổng lãi tích lũy sau $T$ năm là $\int_0^T r(t)\,dt$.

Khởi động

Hai người bạn cùng đầu tư vào hai kênh khác nhau. Khoản đầu tư A có tốc độ sinh lời tăng chậm nhưng đều đặn ngay từ đầu; khoản đầu tư B có tốc độ sinh lời thấp hơn lúc đầu nhưng tăng nhanh hơn theo thời gian. Sau vài năm, tốc độ sinh lời tức thời của B có thể đã vượt A — nhưng liệu tổng số tiền lãi B tích lũy được đã vượt A hay chưa?

Chú ý một chi tiết dễ gây bối rối: một khoản đầu tư sinh lời liên tục không nhất thiết có tốc độ sinh lời không đổi theo thời gian. Đề bài thường cho $r(t)$ tăng dần vì lãi được cộng dồn vào vốn gốc, khiến khoản lãi của kỳ sau lớn hơn kỳ trước — đó là lý do các ví dụ dưới đây dùng hàm bậc nhất $r(t) = a+bt$ thay vì một hằng số.

Tổng lãi tích lũy của một khoản đầu tư

Ví dụ

Tổng lãi tích lũy sau 5 năm

1
Một khoản đầu tư sinh lời liên tục với tốc độ $r(t) = 20 + 3t$ (triệu đồng/năm) tại năm thứ $t$ kể từ lúc bắt đầu đầu tư, với $0 \leq t \leq 5$ . Tính tổng số tiền lãi tích lũy được sau 5 năm.
Một khoản đầu tư sinh lời liên tục với tốc độ $r(t) = 20 + 3t$ (triệu đồng/năm) tại năm thứ $t$ kể từ lúc bắt đầu đầu tư, với $0 \leq t \leq 5$. Tính tổng số tiền lãi tích lũy được sau 5 năm.
2
Tổng lãi tích lũy là $\int_0^5 (20+3t)\,dt$ .
Tổng lãi tích lũy là $\int_0^5 (20+3t)\,dt$.
3
Một nguyên hàm của $20+3t$ là $H(t) = 20t + 1{,}5t^2$ . Vậy $\int_0^5 (20+3t)\,dt = H(5) - H(0) = (100+37{,}5) - 0 = 137{,}5$ .
Một nguyên hàm của $20+3t$ là $H(t) = 20t + 1{,}5t^2$. Vậy $\int_0^5 (20+3t)\,dt = H(5) - H(0) = (100+37{,}5) - 0 = 137{,}5$.
4
Vậy tổng lãi tích lũy sau 5 năm là $137{,}5$ triệu đồng.
Vậy tổng lãi tích lũy sau 5 năm là $137{,}5$ triệu đồng.

Luyện tập có hướng dẫn

So sánh hai khoản đầu tư: tốc độ tức thời và tổng tích lũy

Đây là chỗ dễ gây nhầm lẫn nhất của dạng bài này: một khoản đầu tư có tốc độ sinh lời tức thời lớn hơn tại một thời điểm không có nghĩa là nó đã tích lũy được nhiều tiền hơn tính đến thời điểm đó — phải cộng dồn (tích phân) từ đầu mới biết được tổng số tiền thực sự đã có.

Ví dụ

So sánh tổng lãi tích lũy của hai khoản đầu tư

1
Khoản đầu tư A có tốc độ sinh lời $r_A(t) = 20+3t$ (triệu đồng/năm), khoản đầu tư B có tốc độ sinh lời $r_B(t) = 15+5t$ (triệu đồng/năm), trong 5 năm đầu ( $0 \leq t \leq 5$ ). Hỏi tại năm nào (nếu có) trong 5 năm đầu, tổng lãi tích lũy của B vượt tổng lãi tích lũy của A?
Khoản đầu tư A có tốc độ sinh lời $r_A(t) = 20+3t$ (triệu đồng/năm), khoản đầu tư B có tốc độ sinh lời $r_B(t) = 15+5t$ (triệu đồng/năm), trong 5 năm đầu ($0 \leq t \leq 5$). Hỏi tại năm nào (nếu có) trong 5 năm đầu, tổng lãi tích lũy của B vượt tổng lãi tích lũy của A?
2
Tổng lãi tích lũy đến năm $t$ của A là $\text{Tổng}_A(t) = \int_0^t r_A(s)\,ds = 20t+1{,}5t^2$ . Của B là $\text{Tổng}_B(t) = \int_0^t r_B(s)\,ds = 15t+2{,}5t^2$ .
Tổng lãi tích lũy đến năm $t$ của A là $\text{Tổng}_A(t) = \int_0^t r_A(s)\,ds = 20t+1{,}5t^2$. Của B là $\text{Tổng}_B(t) = \int_0^t r_B(s)\,ds = 15t+2{,}5t^2$.
3
Xét $\text{Tổng}_A(t) - \text{Tổng}_B(t) = (20t+1{,}5t^2) - (15t+2{,}5t^2) = 5t - t^2 = t(5-t)$ . Trên $[0;5]$ , $t \geq 0$ và $5-t \geq 0$ , nên $t(5-t) \geq 0$ với mọi $t$ trong khoảng này, và chỉ bằng 0 tại $t=0$ và $t=5$ . Vậy $\text{Tổng}_A(t) \geq \text{Tổng}_B(t)$ với mọi $t \in [0;5]$ — tổng lãi tích lũy của B KHÔNG BAO GIỜ vượt A trong 5 năm đầu, hai khoản chỉ bằng nhau đúng tại $t=0$ (chưa bắt đầu) và $t=5$ (cuối kỳ).
Xét $\text{Tổng}_A(t) - \text{Tổng}_B(t) = (20t+1{,}5t^2) - (15t+2{,}5t^2) = 5t - t^2 = t(5-t)$. Trên $[0;5]$, $t \geq 0$ và $5-t \geq 0$, nên $t(5-t) \geq 0$ với mọi $t$ trong khoảng này, và chỉ bằng 0 tại $t=0$ và $t=5$. Vậy $\text{Tổng}_A(t) \geq \text{Tổng}_B(t)$ với mọi $t \in [0;5]$ — tổng lãi tích lũy của B KHÔNG BAO GIỜ vượt A trong 5 năm đầu, hai khoản chỉ bằng nhau đúng tại $t=0$ (chưa bắt đầu) và $t=5$ (cuối kỳ).
4
Dù tổng tích lũy của B không vượt A, tốc độ tức thời có thể đã đổi vị trí: $r_B(t) > r_A(t) \iff 15+5t > 20+3t \iff 2t>5 \iff t>2{,}5$ . Vậy từ năm thứ $2{,}5$ trở đi, B đang sinh lời NHANH HƠN A tại từng thời điểm, nhưng vẫn chưa đủ thời gian để tổng tích lũy của B bắt kịp A trước khi hết 5 năm.
Dù tổng tích lũy của B không vượt A, tốc độ tức thời có thể đã đổi vị trí: $r_B(t) > r_A(t) \iff 15+5t > 20+3t \iff 2t>5 \iff t>2{,}5$. Vậy từ năm thứ $2{,}5$ trở đi, B đang sinh lời NHANH HƠN A tại từng thời điểm, nhưng vẫn chưa đủ thời gian để tổng tích lũy của B bắt kịp A trước khi hết 5 năm.
5
Vậy trong 5 năm đầu, tổng lãi tích lũy của B không vượt A ở bất kỳ thời điểm nào (hai bên chỉ bằng nhau tại đầu và cuối kỳ), dù tốc độ sinh lời tức thời của B đã vượt A kể từ năm thứ $2{,}5$ . Đây là lý do phải luôn tích phân để so sánh tổng tích lũy, thay vì chỉ so sánh tốc độ tức thời tại một thời điểm.
Vậy trong 5 năm đầu, tổng lãi tích lũy của B không vượt A ở bất kỳ thời điểm nào (hai bên chỉ bằng nhau tại đầu và cuối kỳ), dù tốc độ sinh lời tức thời của B đã vượt A kể từ năm thứ $2{,}5$. Đây là lý do phải luôn tích phân để so sánh tổng tích lũy, thay vì chỉ so sánh tốc độ tức thời tại một thời điểm.

Đường B cắt và vượt lên trên đường A tại t = 2,5 về tốc độ tức thời — nhưng tổng diện tích (tích lũy) dưới mỗi đường mới quyết định khoản nào tích lũy nhiều hơn, không phải việc đường nào cao hơn tại một thời điểm.

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài so sánh này là kết luận vội "khoản nào có tốc độ sinh lời tức thời lớn hơn tại một thời điểm thì đang tích lũy được nhiều tiền hơn tính đến thời điểm đó" — hai câu hỏi hoàn toàn khác nhau. Tốc độ tức thời cho biết điều gì đang xảy ra ngay lúc đó; tổng tích lũy (tích phân) mới cho biết tổng số tiền đã có tính từ đầu. Luôn tích phân để trả lời câu hỏi về tổng, không suy luận trực tiếp từ dấu của hiệu hai tốc độ tức thời.

Bài học quan trọng nhất của chương này: một hàm tốc độ (bơm nước, tăng trưởng dân số, sinh lời đầu tư) chỉ mô tả điều đang xảy ra tại một thời điểm; câu hỏi về tổng lượng tích lũy luôn cần một phép tích phân, và khi so sánh hai quá trình, so sánh tốc độ tức thời và so sánh tổng tích lũy có thể cho hai câu trả lời khác nhau — chỉ phép tích phân mới trả lời đúng câu hỏi về tổng.

Chương tiếp theo quay lại bài toán tối ưu bằng đạo hàm, nhưng thêm một ràng buộc thực tế mới: chi phí nhiên liệu phụ thuộc vận tốc di chuyển, và lợi nhuận phụ thuộc giá bán — hai bối cảnh gắn liền với chi phí sản xuất và kinh doanh, khép lại vòng quay các bối cảnh ứng dụng của khóa học.

Chú ý rằng bài này không dùng công thức lãi kép quen thuộc ( $A = A_0(1+r)^n$ ) — đó là một mô hình rời rạc, tính lãi theo từng kỳ hạn cố định, không phải một hàm liên tục theo thời gian. Ở đây, $r(t)$ là tốc độ sinh lời tức thời tại mỗi thời điểm, và tích phân của nó cho tổng lãi liên tục — một mô hình khác, phù hợp khi tốc độ sinh lời được đề bài cho trực tiếp dưới dạng một hàm số theo thời gian, như trong các bài toán ứng dụng tích phân của chương trình lớp 12.

Chú ý rằng bài này không dùng công thức lãi kép quen thuộc ($A = A_0(1+r)^n$) — đó là một mô hình rời rạc, tính lãi theo từng kỳ hạn cố định, không phải một hàm liên tục theo thời gian. Ở đây, $r(t)$ là tốc độ sinh lời tức thời tại mỗi thời điểm, và tích phân của nó cho tổng lãi liên tục — một mô hình khác, phù hợp khi tốc độ sinh lời được đề bài cho trực tiếp dưới dạng một hàm số theo thời gian, như trong các bài toán ứng dụng tích phân của chương trình lớp 12.