Bài học

Bốn bước mô hình hóa một bài toán tối ưu thực tiễn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dựng được quy trình bốn bước để đưa một tình huống thực tế về một bài toán tìm giá trị lớn nhất — nhỏ nhất bằng đạo hàm, và áp dụng đúng quy trình đó cho các bài toán rào vườn, chia đất quen thuộc trong đề thi.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, em đã biết tìm GTLN, GTNN của một hàm số trên một đoạn bằng cách so sánh giá trị hàm tại các điểm mà đạo hàm bằng không (hoặc không xác định) với giá trị tại hai đầu mút. Bài này dùng lại đúng kỹ thuật ấy, nhưng hàm số không cho sẵn — em phải tự lập ra nó từ một câu chuyện bằng lời.

Khởi động

Một người muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật sát bức tường nhà mình, nên chỉ cần rào ba cạnh còn lại. Có đúng 60 mét lưới rào B40. Nếu rào một khu hẹp và dài, khu vườn sẽ dài nhưng chật; nếu rào một khu vuông vức, chiều dài lại ngắn đi. Có cách chia nào cho diện tích lớn nhất không, và vì sao lại là cách đó chứ không phải một tỉ lệ khác?

Bốn bước mô hình hóa một bài toán tối ưu

Mọi bài toán tối ưu thực tiễn ở lớp 12, dù là chi phí, diện tích hay thể tích, đều đi qua đúng bốn bước sau. Bỏ qua bước nào, lời giải cũng hỏng — thường gặp nhất là quên đặt điều kiện cho ẩn, hoặc quên so sánh với hai đầu mút của miền xác định khi kết luận.

Bước một, đặt ẩn và điều kiện: chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn số (thường là một độ dài), gọi tên nó rõ ràng, rồi viết điều kiện của ẩn theo đúng ý nghĩa thực tế — độ dài phải dương, không vượt quá một giới hạn vật lý nào đó. Bước hai, lập hàm mục tiêu: biểu diễn đại lượng cần tối ưu (diện tích, chi phí, thể tích...) thành một hàm số của ẩn vừa đặt, dựa trên các hệ thức mà đề bài cho. Bước ba, khảo sát trên miền ràng buộc: tính đạo hàm, xét dấu, tìm điểm mà đạo hàm bằng không, rồi so sánh giá trị hàm tại điểm đó với giá trị hàm khi ẩn tiến gần hai đầu mút của miền xác định — kể cả khi miền là khoảng mở, việc xét giới hạn ở hai đầu vẫn bắt buộc, vì nếu bỏ qua, em có thể nhận nhầm một điểm không phải cực trị toàn cục làm đáp số. Bước bốn, kết luận có đơn vị: viết đáp số đầy đủ đơn vị đo, kèm theo giá trị của các đại lượng liên quan mà đề hỏi, và đối chiếu xem con số đó có hợp lý trong đời sống hay không.

Áp dụng bốn bước vào bài toán hàng rào

Quay lại câu chuyện khởi động: mảnh vườn hình chữ nhật, một cạnh dựa vào tường nhà (không cần rào), ba cạnh còn lại rào bằng đúng 60 mét lưới. Trước khi viết bất kỳ công thức nào, em cần hình dung đúng hình dạng của khu vườn — hai cạnh vuông góc với tường (bằng nhau) và một cạnh song song với tường.

Mô hình hóa khu vườn trước khi lập hàm mục tiêu: hai cạnh x, một cạnh y, cạnh còn lại là tường có sẵn.

Ví dụ

Diện tích khu vườn lớn nhất khi một cạnh dựa vào tường

1
Một mảnh vườn hình chữ nhật có một cạnh dựa vào bức tường thẳng có sẵn, ba cạnh còn lại rào bằng đúng 60 mét lưới B40. Tìm kích thước khu vườn để diện tích lớn nhất, và tính diện tích lớn nhất đó.
2
Gọi $x$ (mét) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường, $x > 0$ . Vì có hai cạnh như vậy và một cạnh song song với tường dùng nốt phần lưới còn lại, cạnh song song với tường dài $60 - 2x$ (mét). Để cạnh này dương, cần $60 - 2x > 0$ , tức $x < 30$ . Vậy $x \in (0; 30)$ .
Gọi $x$ (mét) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường, $x > 0$. Vì có hai cạnh như vậy và một cạnh song song với tường dùng nốt phần lưới còn lại, cạnh song song với tường dài $60 - 2x$ (mét). Để cạnh này dương, cần $60 - 2x > 0$, tức $x < 30$. Vậy $x \in (0; 30)$.
3
Diện tích khu vườn là $S(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ , với $x \in (0; 30)$ .
Diện tích khu vườn là $S(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$, với $x \in (0; 30)$.
4
Ta có $S'(x) = 60 - 4x$ . Xét $S'(x) = 0 \iff x = 15$ , thuộc $(0; 30)$ . Với $x < 15$ thì $S'(x) > 0$ , với $x > 15$ thì $S'(x) < 0$ , nên $S$ đạt cực đại tại $x = 15$ , và $S(15) = 15 \cdot 30 = 450$ . Xét hai đầu mút: khi $x \to 0^+$ thì $S(x) \to 0$ ; khi $x \to 30^-$ thì $S(x) \to 30 \cdot 0 = 0$ . Cả hai giá trị biên đều bằng 0, nhỏ hơn hẳn 450, nên $x = 15$ chính là điểm cho diện tích lớn nhất trên toàn miền $(0; 30)$ , không chỉ là cực trị địa phương.
Ta có $S'(x) = 60 - 4x$. Xét $S'(x) = 0 \iff x = 15$, thuộc $(0; 30)$. Với $x < 15$ thì $S'(x) > 0$, với $x > 15$ thì $S'(x) < 0$, nên $S$ đạt cực đại tại $x = 15$, và $S(15) = 15 \cdot 30 = 450$. Xét hai đầu mút: khi $x \to 0^+$ thì $S(x) \to 0$; khi $x \to 30^-$ thì $S(x) \to 30 \cdot 0 = 0$. Cả hai giá trị biên đều bằng 0, nhỏ hơn hẳn 450, nên $x = 15$ chính là điểm cho diện tích lớn nhất trên toàn miền $(0; 30)$, không chỉ là cực trị địa phương.
5
Với $x = 15$ m, cạnh song song với tường là $60 - 30 = 30$ m. Vậy khu vườn có kích thước $15 \text{ m} \times 30 \text{ m}$ thì diện tích lớn nhất, bằng $450 \text{ m}^2$ .
Với $x = 15$ m, cạnh song song với tường là $60 - 30 = 30$ m. Vậy khu vườn có kích thước $15 \text{ m} \times 30 \text{ m}$ thì diện tích lớn nhất, bằng $450 \text{ m}^2$.

Đồ thị xác nhận x = 15 vượt trội hẳn so với hai đầu mút của miền xác định.

Luyện tập có hướng dẫn

Bài toán có thêm ràng buộc: chia đôi bằng hàng rào giữa

Cùng bối cảnh trang trại, nhưng lần này không dựa vào tường có sẵn: một trang trại hình chữ nhật được rào kín cả bốn cạnh, sau đó chia làm hai ô bằng nhau bởi một hàng rào phụ song song với chiều rộng. Tổng chiều dài lưới rào sử dụng, kể cả hàng rào giữa, là 96 mét. Bài toán vẫn hỏi diện tích lớn nhất, nhưng hàm mục tiêu sẽ khác vì có thêm một đoạn rào phụ.

Trang trại rào kín bốn cạnh, có thêm một hàng rào giữa song song với cạnh x để chia hai ô.

Ví dụ

Diện tích lớn nhất của trang trại chia hai ô bằng hàng rào ở giữa

1
Một trang trại hình chữ nhật được rào kín bốn cạnh và chia làm hai ô bằng nhau bởi một hàng rào phụ song song với chiều rộng. Tổng chiều dài lưới rào sử dụng (kể cả hàng rào giữa) là 96 mét. Tìm kích thước trang trại để diện tích lớn nhất.
2
Gọi $x$ (mét) là chiều rộng (cạnh vuông góc với hàng rào giữa), $x > 0$ . Rào gồm hai cạnh chiều dài $y$ , hai cạnh chiều rộng $x$ , và thêm một đoạn rào giữa dài $x$ , nên tổng chiều dài rào là $2y + 3x = 96$ , suy ra $y = \dfrac{96 - 3x}{2}$ . Cần $y > 0$ nên $x < 32$ . Vậy $x \in (0; 32)$ .
Gọi $x$ (mét) là chiều rộng (cạnh vuông góc với hàng rào giữa), $x > 0$. Rào gồm hai cạnh chiều dài $y$, hai cạnh chiều rộng $x$, và thêm một đoạn rào giữa dài $x$, nên tổng chiều dài rào là $2y + 3x = 96$, suy ra $y = \dfrac{96 - 3x}{2}$. Cần $y > 0$ nên $x < 32$. Vậy $x \in (0; 32)$.
3
Diện tích toàn bộ trang trại là $A(x) = xy = x \cdot \dfrac{96 - 3x}{2} = 48x - 1{,}5x^2$ , với $x \in (0; 32)$ .
Diện tích toàn bộ trang trại là $A(x) = xy = x \cdot \dfrac{96 - 3x}{2} = 48x - 1{,}5x^2$, với $x \in (0; 32)$.
4
$A'(x) = 48 - 3x$ . Cho $A'(x) = 0 \iff x = 16$ , thuộc $(0; 32)$ . Dấu của $A'(x)$ đổi từ dương sang âm khi $x$ qua 16, nên $A$ đạt cực đại tại đó, với $A(16) = 48 \cdot 16 - 1{,}5 \cdot 256 = 768 - 384 = 384$ . Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to 32^-$ , $A(x) \to 0$ , đều nhỏ hơn hẳn 384. Vậy $x = 16$ cho diện tích lớn nhất trên toàn miền.
$A'(x) = 48 - 3x$. Cho $A'(x) = 0 \iff x = 16$, thuộc $(0; 32)$. Dấu của $A'(x)$ đổi từ dương sang âm khi $x$ qua 16, nên $A$ đạt cực đại tại đó, với $A(16) = 48 \cdot 16 - 1{,}5 \cdot 256 = 768 - 384 = 384$. Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to 32^-$, $A(x) \to 0$, đều nhỏ hơn hẳn 384. Vậy $x = 16$ cho diện tích lớn nhất trên toàn miền.
5
Với $x = 16$ m thì $y = \dfrac{96 - 48}{2} = 24$ m. Vậy trang trại có kích thước $16 \text{ m} \times 24 \text{ m}$ thì diện tích lớn nhất, bằng $384 \text{ m}^2$ , mỗi ô sau khi chia rộng $192 \text{ m}^2$ .
Với $x = 16$ m thì $y = \dfrac{96 - 48}{2} = 24$ m. Vậy trang trại có kích thước $16 \text{ m} \times 24 \text{ m}$ thì diện tích lớn nhất, bằng $384 \text{ m}^2$, mỗi ô sau khi chia rộng $192 \text{ m}^2$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài này là quên cộng đoạn rào phụ ở giữa vào tổng chiều dài rào, khiến phương trình ràng buộc sai ngay từ bước một — mọi bước sau dù tính đúng vẫn cho một đáp số không khớp với đề. Một sai lầm khác là quên xét hai đầu mút của miền $x$ , rồi kết luận vội rằng điểm làm đạo hàm bằng không luôn là đáp số, kể cả khi điểm đó nằm ngoài miền cho phép của bài toán.

Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài này là quên cộng đoạn rào phụ ở giữa vào tổng chiều dài rào, khiến phương trình ràng buộc sai ngay từ bước một — mọi bước sau dù tính đúng vẫn cho một đáp số không khớp với đề. Một sai lầm khác là quên xét hai đầu mút của miền $x$, rồi kết luận vội rằng điểm làm đạo hàm bằng không luôn là đáp số, kể cả khi điểm đó nằm ngoài miền cho phép của bài toán.

Hai ví dụ trên tuy khác nhau ở ràng buộc, nhưng đi qua đúng bốn bước như nhau: đặt ẩn kèm điều kiện thực tế, lập hàm mục tiêu từ hệ thức đề cho, khảo sát bằng đạo hàm và kiểm tra cả hai đầu mút, rồi kết luận có đơn vị. Cách trình bày này là khung sườn cho mọi lời giải trong suốt khóa học — dù bối cảnh đổi từ hàng rào sang bể chứa, hộp giấy, hay quãng đường của một vật chuyển động.

Bài tiếp theo giữ nguyên bốn bước này nhưng chuyển sang bối cảnh chi phí vật liệu: thay vì tối đa diện tích với chu vi cố định, em sẽ tối thiểu chi phí vật liệu cho một chiếc bể chứa với thể tích cố định — một dạng bài toán ngược, đòi hỏi đặt ẩn theo cách khác.