Bài học

Diện tích giữa đồ thị và trục hoành

Sau bài học này, em thiết lập được tích phân đúng để tính diện tích một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ , trục hoành và (khi đề cho) hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ — kể cả khi $f(x)$ đổi dấu trên đoạn đang xét.

Sau bài học này, em thiết lập được tích phân đúng để tính diện tích một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và (khi đề cho) hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ — kể cả khi $f(x)$ đổi dấu trên đoạn đang xét.

Kiến thức đã học

Ở Chương 2 của Course 3, em đã học công thức Newton–Leibniz $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ và phép đổi biến để tính một tích phân xác định. Bài này dùng lại đúng kỹ thuật đó — điều mới duy nhất là phải quyết định dấu của $f(x)$ trước khi tích phân, vì diện tích không bao giờ âm.

Thử hình dung thế này trước. Một mảnh vườn hình chữ nhật rộng 3 mét, dài 4 mét có diện tích $12\ \text{m}^2$ — không ai tính ra số âm cả, dù ta có đặt trục toạ độ quay ngược lại. Vậy nếu biên trên của mảnh đất là một đường cong nằm dưới trục hoành, phần diện tích đó có biến mất hay đổi dấu không? Câu trả lời nằm ở chỗ tích phân $\int_a^b f(x)\,dx$ và diện tích hình phẳng là hai đại lượng khác nhau, dù được tính từ cùng một công thức.

Từ tích phân đến diện tích

Nếu $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$ , đồ thị nằm trên trục hoành và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành, hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ đúng bằng $\int_a^b f(x)\,dx$ — không có gì mới. Nhưng khi $f(x)<0$ trên $[a;b]$ , đồ thị nằm dưới trục hoành, còn diện tích (một đại lượng hình học) vẫn phải dương. Lúc đó $\int_a^b f(x)\,dx$ ra một số âm, và diện tích thực sự là trị tuyệt đối của nó: $S=\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|=\int_a^b \big(-f(x)\big)\,dx$ .

Nếu $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$, đồ thị nằm trên trục hoành và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành, hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ đúng bằng $\int_a^b f(x)\,dx$ — không có gì mới. Nhưng khi $f(x)<0$ trên $[a;b]$, đồ thị nằm dưới trục hoành, còn diện tích (một đại lượng hình học) vẫn phải dương. Lúc đó $\int_a^b f(x)\,dx$ ra một số âm, và diện tích thực sự là trị tuyệt đối của nó: $S=\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|=\int_a^b \big(-f(x)\big)\,dx$.

Rắc rối chỉ nảy sinh khi $f(x)$ đổi dấu ngay trong đoạn $[a;b]$ — nghĩa là đồ thị cắt trục hoành tại một hay nhiều điểm nằm giữa $a$ và $b$ . Khi đó không được tích phân một mạch từ $a$ đến $b$ rồi mới lấy trị tuyệt đối, vì phần dương và phần âm sẽ triệt tiêu lẫn nhau bên trong dấu tích phân. Cách đúng: tìm hết các nghiệm của $f(x)=0$ nằm trong $(a;b)$ , dùng chúng làm mốc chia $[a;b]$ thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn $f(x)$ giữ nguyên một dấu, rồi cộng trị tuyệt đối của tích phân trên từng đoạn nhỏ đó. Công thức tổng quát:

Rắc rối chỉ nảy sinh khi $f(x)$ đổi dấu ngay trong đoạn $[a;b]$ — nghĩa là đồ thị cắt trục hoành tại một hay nhiều điểm nằm giữa $a$ và $b$. Khi đó không được tích phân một mạch từ $a$ đến $b$ rồi mới lấy trị tuyệt đối, vì phần dương và phần âm sẽ triệt tiêu lẫn nhau bên trong dấu tích phân. Cách đúng: tìm hết các nghiệm của $f(x)=0$ nằm trong $(a;b)$, dùng chúng làm mốc chia $[a;b]$ thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn $f(x)$ giữ nguyên một dấu, rồi cộng trị tuyệt đối của tích phân trên từng đoạn nhỏ đó. Công thức tổng quát:

$S=\int_a^b |f(x)|\,dx = \sum_{k} \left|\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx\right|$

$$S=\int_a^b |f(x)|\,dx = \sum_{k} \left|\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx\right|$$

với $x_k$ là các nghiệm của $f(x)=0$ trong $[a;b]$ , xếp theo thứ tự tăng dần cùng hai đầu mút $a,b$ . Muốn biết dấu của $f(x)$ trên mỗi đoạn, chỉ cần thay một giá trị $x$ bất kỳ thuộc đoạn đó vào $f$ — không cần lập bảng biến thiên đầy đủ.

với $x_k$ là các nghiệm của $f(x)=0$ trong $[a;b]$, xếp theo thứ tự tăng dần cùng hai đầu mút $a,b$. Muốn biết dấu của $f(x)$ trên mỗi đoạn, chỉ cần thay một giá trị $x$ bất kỳ thuộc đoạn đó vào $f$ — không cần lập bảng biến thiên đầy đủ.

Trên

(-2;2)

đồ thị nằm dưới trục hoành; ngoài đoạn đó đồ thị nằm trên trục hoành — hai điểm nghiệm

x=\pm 2

chính là mốc phải chia khi tính diện tích trên

[-3;3]

.Trên $(-2;2)$ đồ thị nằm dưới trục hoành; ngoài đoạn đó đồ thị nằm trên trục hoành — hai điểm nghiệm $x=\pm 2$ chính là mốc phải chia khi tính diện tích trên $[-3;3]$.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — Diện tích tự nhiên giới hạn bởi một parabol và trục hoành

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P):y=x^2-4$ và trục hoành.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P):y=x^2-4$ và trục hoành.
2
Đề không cho sẵn $a,b$ nên hình phẳng được hiểu là phần khép kín tự nhiên giữa $(P)$ và trục hoành — cận là hai nghiệm của $f(x)=0$ . Ta có $x^2-4=0 \iff x=\pm 2$ . Vậy $a=-2$ , $b=2$ .
Đề không cho sẵn $a,b$ nên hình phẳng được hiểu là phần khép kín tự nhiên giữa $(P)$ và trục hoành — cận là hai nghiệm của $f(x)=0$. Ta có $x^2-4=0 \iff x=\pm 2$. Vậy $a=-2$, $b=2$.
3
Xét $x=0\in(-2;2)$ : $f(0)=-4<0$ . Do đó $f(x)\le 0$ trên toàn bộ $[-2;2]$ , không đổi dấu — không cần chia đoạn.
Xét $x=0\in(-2;2)$: $f(0)=-4<0$. Do đó $f(x)\le 0$ trên toàn bộ $[-2;2]$, không đổi dấu — không cần chia đoạn.
4
$S=\int_{-2}^{2} \big|x^2-4\big|\,dx=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx =\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$ . Ta có $\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$ .
$S=\int_{-2}^{2} \big|x^2-4\big|\,dx=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx =\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$. Ta có $\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$.
5
Diện tích ước lượng bằng mắt: parabol lõm sâu tối đa 4 đơn vị trên bề rộng 4 đơn vị, một hình chữ nhật bao ngoài rộng $4\times 4=16$ — diện tích thật $\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ nhỏ hơn 16 một cách hợp lý, vì hình phẳng là phần lõm bên trong chứ không phủ kín hình chữ nhật.
Diện tích ước lượng bằng mắt: parabol lõm sâu tối đa 4 đơn vị trên bề rộng 4 đơn vị, một hình chữ nhật bao ngoài rộng $4\times 4=16$ — diện tích thật $\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ nhỏ hơn 16 một cách hợp lý, vì hình phẳng là phần lõm bên trong chứ không phủ kín hình chữ nhật.
6
Vậy $S=\dfrac{32}{3}$ (đơn vị diện tích).
Vậy $S=\dfrac{32}{3}$ (đơn vị diện tích).

Ví dụ

Ví dụ 2 — Đề cho sẵn cận rộng hơn nghiệm, buộc phải chia đoạn

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P):y=x^2-4$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=-3$ , $x=3$ .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P):y=x^2-4$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-3$, $x=3$.
2
Lần này cận $a=-3$ , $b=3$ đã cho sẵn — rộng hơn đoạn nghiệm $[-2;2]$ ở Ví dụ 1. Trước khi tích phân, phải kiểm tra $f(x)=x^2-4$ có đổi dấu trong $(-3;3)$ hay không. Giải $x^2-4=0$ được $x=-2$ và $x=2$ , cả hai đều nằm trong $(-3;3)$ — vậy phải chia $[-3;3]$ thành ba đoạn nhỏ bởi hai mốc này: $[-3;-2]$ , $[-2;2]$ , $[2;3]$ .
Lần này cận $a=-3$, $b=3$ đã cho sẵn — rộng hơn đoạn nghiệm $[-2;2]$ ở Ví dụ 1. Trước khi tích phân, phải kiểm tra $f(x)=x^2-4$ có đổi dấu trong $(-3;3)$ hay không. Giải $x^2-4=0$ được $x=-2$ và $x=2$, cả hai đều nằm trong $(-3;3)$ — vậy phải chia $[-3;3]$ thành ba đoạn nhỏ bởi hai mốc này: $[-3;-2]$, $[-2;2]$, $[2;3]$.
3
Trên $[-3;-2]$ , thử $x=-2{,}5$ : $f(-2{,}5)=2{,}25>0$ . Trên $[-2;2]$ , thử $x=0$ : $f(0)=-4<0$ (đã biết từ Ví dụ 1). Trên $[2;3]$ , thử $x=2{,}5$ : $f(2{,}5)=2{,}25>0$ . Vậy dấu đổi hai lần, đúng như dự đoán từ vị trí hai nghiệm.
Trên $[-3;-2]$, thử $x=-2{,}5$: $f(-2{,}5)=2{,}25>0$. Trên $[-2;2]$, thử $x=0$: $f(0)=-4<0$ (đã biết từ Ví dụ 1). Trên $[2;3]$, thử $x=2{,}5$: $f(2{,}5)=2{,}25>0$. Vậy dấu đổi hai lần, đúng như dự đoán từ vị trí hai nghiệm.
4
Gọi $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-4x$ là một nguyên hàm của $f$ . Ta có $F(-3)=-9-(-12)=3$ , $F(-2)=-\dfrac{8}{3}+8=\dfrac{16}{3}$ , $F(2)=\dfrac{8}{3}-8=-\dfrac{16}{3}$ , $F(3)=9-12=-3$ .
Gọi $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-4x$ là một nguyên hàm của $f$. Ta có $F(-3)=-9-(-12)=3$, $F(-2)=-\dfrac{8}{3}+8=\dfrac{16}{3}$, $F(2)=\dfrac{8}{3}-8=-\dfrac{16}{3}$, $F(3)=9-12=-3$.
5
$\left|\int_{-3}^{-2} f\,dx\right|=|F(-2)-F(-3)|=\left|\dfrac{16}{3}-3\right|=\dfrac{7}{3}$ . $\left|\int_{-2}^{2} f\,dx\right|=|F(2)-F(-2)|=\left|-\dfrac{32}{3}\right|=\dfrac{32}{3}$ (khớp với Ví dụ 1). $\left|\int_{2}^{3} f\,dx\right|=|F(3)-F(2)|=\left|-3+\dfrac{16}{3}\right|=\dfrac{7}{3}$ . Suy ra $S=\dfrac{7}{3}+\dfrac{32}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{46}{3}$ .
$\left|\int_{-3}^{-2} f\,dx\right|=|F(-2)-F(-3)|=\left|\dfrac{16}{3}-3\right|=\dfrac{7}{3}$. $\left|\int_{-2}^{2} f\,dx\right|=|F(2)-F(-2)|=\left|-\dfrac{32}{3}\right|=\dfrac{32}{3}$ (khớp với Ví dụ 1). $\left|\int_{2}^{3} f\,dx\right|=|F(3)-F(2)|=\left|-3+\dfrac{16}{3}\right|=\dfrac{7}{3}$. Suy ra $S=\dfrac{7}{3}+\dfrac{32}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{46}{3}$.
6
$\dfrac{46}{3}$ phải lớn hơn kết quả Ví dụ 1 ( $\dfrac{32}{3}$ ), vì đề bài đang lấy thêm hai mẩu diện tích ở hai đầu $[-3;-2]$ và $[2;3]$ — đúng như $\dfrac{46}{3}>\dfrac{32}{3}$ .
$\dfrac{46}{3}$ phải lớn hơn kết quả Ví dụ 1 ($\dfrac{32}{3}$), vì đề bài đang lấy thêm hai mẩu diện tích ở hai đầu $[-3;-2]$ và $[2;3]$ — đúng như $\dfrac{46}{3}>\dfrac{32}{3}$.
7
Vậy $S=\dfrac{46}{3}$ (đơn vị diện tích).
Vậy $S=\dfrac{46}{3}$ (đơn vị diện tích).

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: tính thẳng $\int_{-3}^{3}(x^2-4)\,dx$ mà không chia đoạn theo nghiệm. Phép tính này cho $F(3)-F(-3)=-3-3=-6$ , một số âm nhỏ hơn nhiều so với diện tích thật $\dfrac{46}{3}\approx 15{,}33$ — phần dương ở hai đầu đoạn đã triệt tiêu một phần với phần âm ở giữa. Quy tắc để nhớ: hễ đề cho cận rộng hơn khoảng nghiệm tự nhiên của $f(x)=0$ , luôn phải kiểm tra dấu trước khi tích phân.

Sai lầm thường gặp: tính thẳng $\int_{-3}^{3}(x^2-4)\,dx$ mà không chia đoạn theo nghiệm. Phép tính này cho $F(3)-F(-3)=-3-3=-6$, một số âm nhỏ hơn nhiều so với diện tích thật $\dfrac{46}{3}\approx 15{,}33$ — phần dương ở hai đầu đoạn đã triệt tiêu một phần với phần âm ở giữa. Quy tắc để nhớ: hễ đề cho cận rộng hơn khoảng nghiệm tự nhiên của $f(x)=0$, luôn phải kiểm tra dấu trước khi tích phân.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Câu hỏi cuối cùng cho thấy việc tìm nghiệm không phải lúc nào cũng ra số nguyên đẹp — với hàm bậc ba, nghiệm có thể là một số vô tỉ như $\sqrt{3}$ . Cách làm không đổi: tìm hết nghiệm nằm trong đoạn xét, xét dấu trên từng đoạn con, rồi cộng trị tuyệt đối.

Câu hỏi cuối cùng cho thấy việc tìm nghiệm không phải lúc nào cũng ra số nguyên đẹp — với hàm bậc ba, nghiệm có thể là một số vô tỉ như $\sqrt{3}$. Cách làm không đổi: tìm hết nghiệm nằm trong đoạn xét, xét dấu trên từng đoạn con, rồi cộng trị tuyệt đối.

Tóm lại, mọi bài toán diện tích giữa đồ thị và trục hoành đều quy về ba việc: tìm nghiệm của $f(x)=0$ nằm trong đoạn xét để biết chỗ đổi dấu, xét dấu $f$ trên từng đoạn con bằng một giá trị đại diện, và cộng trị tuyệt đối các tích phân thành phần. Bỏ qua bước xét dấu là lỗi phổ biến nhất — nó khiến phần diện tích âm và dương triệt tiêu nhau một cách vô lý.

Bài tiếp theo mở rộng đúng ba bước này sang trường hợp hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số thay vì một đồ thị và trục hoành — về bản chất, trục hoành chỉ là đồ thị của hàm $y=0$ , nên cách làm sẽ không khác nhiều, chỉ thay $f(x)-0$ bằng $f(x)-g(x)$ .

Bài tiếp theo mở rộng đúng ba bước này sang trường hợp hình phẳng giới hạn bởi **hai** đồ thị hàm số thay vì một đồ thị và trục hoành — về bản chất, trục hoành chỉ là đồ thị của hàm $y=0$, nên cách làm sẽ không khác nhiều, chỉ thay $f(x)-0$ bằng $f(x)-g(x)$.