Bài học

Diện tích giữa hai đường cong

Sau bài học này, em thiết lập được tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ — kể cả khi đường nào "nằm trên" đổi chỗ cho nhau ngay giữa đoạn xét, tình huống mà đề thi hay dùng để bẫy học sinh chỉ tính một nửa hình.

Kiến thức đã học

Bài trước đã dạy: $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$ , với $a,b$ là nghiệm của $f(x)=0$ và phải chia đoạn ở chỗ $f$ đổi dấu. Bài này chỉ thay $f(x)$ bằng hiệu $f(x)-g(x)$ — mọi kỹ thuật xét dấu và chia đoạn giữ nguyên.

Bài trước đã dạy: $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$, với $a,b$ là nghiệm của $f(x)=0$ và phải chia đoạn ở chỗ $f$ đổi dấu. Bài này chỉ thay $f(x)$ bằng hiệu $f(x)-g(x)$ — mọi kỹ thuật xét dấu và chia đoạn giữ nguyên.

Trục hoành là đồ thị của hàm hằng $g(x)=0$ . Vậy công thức $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$ ở bài trước thật ra là một trường hợp riêng của một công thức tổng quát hơn: diện tích giữa hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ trên đoạn mà chúng khép kín một hình phẳng.

Trục hoành là đồ thị của hàm hằng $g(x)=0$. Vậy công thức $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$ ở bài trước thật ra là một trường hợp riêng của một công thức tổng quát hơn: diện tích giữa hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ trên đoạn mà chúng khép kín một hình phẳng.

Thiết lập tích phân cho hai đường cong

Đặt $h(x)=f(x)-g(x)$ . Tại mọi điểm mà hai đồ thị cắt nhau, ta có $f(x)=g(x)$ , tức $h(x)=0$ — vậy cận của tích phân chính là nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$ , không phải hai số cho sẵn tuỳ ý. Đây là điểm khác duy nhất so với bài trước: ở đó cận có thể do đề cho ( $x=a,x=b$ ) hoặc là nghiệm của $f(x)=0$ ; ở đây cận luôn là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)$ , trừ khi đề nói rõ thêm hai đường thẳng đứng giới hạn khác.

Đặt $h(x)=f(x)-g(x)$. Tại mọi điểm mà hai đồ thị cắt nhau, ta có $f(x)=g(x)$, tức $h(x)=0$ — vậy **cận của tích phân chính là nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$**, không phải hai số cho sẵn tuỳ ý. Đây là điểm khác duy nhất so với bài trước: ở đó cận có thể do đề cho ($x=a,x=b$) hoặc là nghiệm của $f(x)=0$; ở đây cận luôn là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)$, trừ khi đề nói rõ thêm hai đường thẳng đứng giới hạn khác.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: $S=\int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$ Nếu $h(x)=f(x)-g(x)$ không đổi dấu trên $(a;b)$ , chỉ cần xác định đường nào nằm trên (thử một điểm bất kỳ giữa $a$ và $b$ ) rồi tích phân hiệu "trên trừ dưới". Nếu $h(x)$ đổi dấu — nghĩa là hai đồ thị còn cắt nhau tại một điểm nữa nằm giữa $a$ và $b$ — phải chia đoạn tại điểm đó, giống hệt bài trước, chỉ khác đối tượng xét dấu là $h(x)$ thay vì $f(x)$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: $$S=\int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$ Nếu $h(x)=f(x)-g(x)$ không đổi dấu trên $(a;b)$, chỉ cần xác định đường nào nằm trên (thử một điểm bất kỳ giữa $a$ và $b$) rồi tích phân hiệu "trên trừ dưới". Nếu $h(x)$ đổi dấu — nghĩa là hai đồ thị còn cắt nhau tại một điểm nữa nằm giữa $a$ và $b$ — phải chia đoạn tại điểm đó, giống hệt bài trước, chỉ khác đối tượng xét dấu là $h(x)$ thay vì $f(x)$.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — Hai đường cong cắt nhau đúng hai lần

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=x^2$ và $(d):y=x+2$ .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=x^2$ và $(d):y=x+2$.
2
Hoành độ giao điểm là nghiệm của $x^2=x+2 \iff x^2-x-2=0$ . Theo định lí Viète (hoặc phân tích trực tiếp) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ , nên $x=-1$ hoặc $x=2$ . Vậy $a=-1$ , $b=2$ .
Hoành độ giao điểm là nghiệm của $x^2=x+2 \iff x^2-x-2=0$. Theo định lí Viète (hoặc phân tích trực tiếp) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, nên $x=-1$ hoặc $x=2$. Vậy $a=-1$, $b=2$.
3
Đặt $h(x)=(x+2)-x^2$ . Xét $x=0\in(-1;2)$ : $h(0)=2-0=2>0$ , tức $(d)$ nằm trên $(P)$ trên toàn bộ $(-1;2)$ — không đổi dấu, không cần chia đoạn.
Đặt $h(x)=(x+2)-x^2$. Xét $x=0\in(-1;2)$: $h(0)=2-0=2>0$, tức $(d)$ nằm trên $(P)$ trên toàn bộ $(-1;2)$ — không đổi dấu, không cần chia đoạn.
4
$S=\int_{-1}^{2}\big[(x+2)-x^2\big]\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$ . Tại $x=2$ : $2+4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}$ . Tại $x=-1$ : $\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{7}{6}$ . Suy ra $S=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$ .
$S=\int_{-1}^{2}\big[(x+2)-x^2\big]\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$. Tại $x=2$: $2+4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}$. Tại $x=-1$: $\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{7}{6}$. Suy ra $S=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$.
5
Bề rộng đoạn $[-1;2]$ là 3 đơn vị, khoảng cách lớn nhất giữa hai đường trên đoạn đó (tại $x=0{,}5$ , đỉnh của $h$ ) là $h(0{,}5)=2{,}25$ — diện tích $4{,}5$ nằm hợp lý dưới tích $3\times 2{,}25=6{,}75$ (hình chữ nhật bao ngoài).
Bề rộng đoạn $[-1;2]$ là 3 đơn vị, khoảng cách lớn nhất giữa hai đường trên đoạn đó (tại $x=0{,}5$, đỉnh của $h$) là $h(0{,}5)=2{,}25$ — diện tích $4{,}5$ nằm hợp lý dưới tích $3\times 2{,}25=6{,}75$ (hình chữ nhật bao ngoài).
6
Vậy $S=\dfrac{9}{2}$ (đơn vị diện tích).
Vậy $S=\dfrac{9}{2}$ (đơn vị diện tích).

Hai giao điểm

A(-1;1)

và

B(2;4)

chính là cận

a=-1

b=2

— cả hai đều được kiểm tra thoả cả hai phương trình

y=x^2

và

y=x+2

.Hai giao điểm $A(-1;1)$ và $B(2;4)$ chính là cận $a=-1$, $b=2$ — cả hai đều được kiểm tra thoả cả hai phương trình $y=x^2$ và $y=x+2$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Hai đường cong cắt nhau ba lần: bẫy đổi dấu

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C):y=x^3-x$ và $(d):y=x$ .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C):y=x^3-x$ và $(d):y=x$.
2
Giải $x^3-x=x \iff x^3-2x=0 \iff x(x^2-2)=0$ , được ba nghiệm $x=-\sqrt{2}$ , $x=0$ , $x=\sqrt{2}$ — tức $(C)$ và $(d)$ cắt nhau ba lần, không phải hai lần như Ví dụ 1.
Giải $x^3-x=x \iff x^3-2x=0 \iff x(x^2-2)=0$, được ba nghiệm $x=-\sqrt{2}$, $x=0$, $x=\sqrt{2}$ — tức $(C)$ và $(d)$ cắt nhau ba lần, không phải hai lần như Ví dụ 1.
3
Đặt $h(x)=(x^3-x)-x=x^3-2x$ , đây là hàm lẻ vì $h(-x)=-h(x)$ — chi tiết này sẽ dùng để kiểm tra ở bước cuối. Xét $x=-1\in(-\sqrt{2};0)$ : $h(-1)=-1+2=1>0$ , nên $(C)$ nằm trên $(d)$ trên đoạn này. Xét $x=1\in(0;\sqrt{2})$ : $h(1)=1-2=-1<0$ , nên $(d)$ nằm trên $(C)$ trên đoạn này — đường nào "trên" đã đổi chỗ đúng tại $x=0$ .
Đặt $h(x)=(x^3-x)-x=x^3-2x$, đây là **hàm lẻ** vì $h(-x)=-h(x)$ — chi tiết này sẽ dùng để kiểm tra ở bước cuối. Xét $x=-1\in(-\sqrt{2};0)$: $h(-1)=-1+2=1>0$, nên $(C)$ nằm trên $(d)$ trên đoạn này. Xét $x=1\in(0;\sqrt{2})$: $h(1)=1-2=-1<0$, nên $(d)$ nằm trên $(C)$ trên đoạn này — đường nào "trên" đã đổi chỗ đúng tại $x=0$.
4
Gọi $H(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^2$ là một nguyên hàm của $h$ . Ta có $H(0)=0$ , $H(-\sqrt{2})=\dfrac{4}{4}-2=-1$ , $H(\sqrt{2})=1-2=-1$ (vì $(\pm\sqrt2)^4=4$ , $(\pm\sqrt2)^2=2$ ). Suy ra $\displaystyle\int_{-\sqrt2}^{0} h\,dx=H(0)-H(-\sqrt2)=0-(-1)=1$ và $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt2} h\,dx=H(\sqrt2)-H(0)=-1-0=-1$ .
Gọi $H(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^2$ là một nguyên hàm của $h$. Ta có $H(0)=0$, $H(-\sqrt{2})=\dfrac{4}{4}-2=-1$, $H(\sqrt{2})=1-2=-1$ (vì $(\pm\sqrt2)^4=4$, $(\pm\sqrt2)^2=2$). Suy ra $\displaystyle\int_{-\sqrt2}^{0} h\,dx=H(0)-H(-\sqrt2)=0-(-1)=1$ và $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt2} h\,dx=H(\sqrt2)-H(0)=-1-0=-1$.
5
$S=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt2}^{0}h\,dx\right|+\left|\displaystyle\int_{0}^{\sqrt2}h\,dx\right|=|1|+|-1|=2$ .
$S=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt2}^{0}h\,dx\right|+\left|\displaystyle\int_{0}^{\sqrt2}h\,dx\right|=|1|+|-1|=2$.
6
Vì $h(x)=x^3-2x$ là hàm lẻ, hai "cánh" diện tích ứng với $[-\sqrt2;0]$ và $[0;\sqrt2]$ đối xứng nhau qua gốc toạ độ nên buộc phải bằng nhau — đúng như $1=1$ vừa tính được. Nếu hai giá trị tuyệt đối lệch nhau, chắc chắn có sai sót ở bước xét dấu hoặc tính nguyên hàm.
Vì $h(x)=x^3-2x$ là hàm lẻ, hai "cánh" diện tích ứng với $[-\sqrt2;0]$ và $[0;\sqrt2]$ đối xứng nhau qua gốc toạ độ nên buộc phải bằng nhau — đúng như $1=1$ vừa tính được. Nếu hai giá trị tuyệt đối lệch nhau, chắc chắn có sai sót ở bước xét dấu hoặc tính nguyên hàm.
7
Vậy $S=2$ (đơn vị diện tích).
Vậy $S=2$ (đơn vị diện tích).

Ba giao điểm

A(-\sqrt2;-\sqrt2)

O(0;0)

B(\sqrt2;\sqrt2)

đều thoả cả hai phương trình. Từ

A

đến

O

(C)

ở trên

(d)

; từ

O

đến

B

(d)

ở trên

(C)

— đường "trên" đổi chỗ đúng tại

O

, nên phải chia diện tích thành hai phần tại đây.Ba giao điểm $A(-\sqrt2;-\sqrt2)$, $O(0;0)$, $B(\sqrt2;\sqrt2)$ đều thoả cả hai phương trình. Từ $A$ đến $O$, $(C)$ ở trên $(d)$; từ $O$ đến $B$, $(d)$ ở trên $(C)$ — đường "trên" đổi chỗ đúng tại $O$, nên phải chia diện tích thành hai phần tại đây.

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: thấy hai đồ thị "cắt nhau ở hai đầu" là vội lấy hai nghiệm ngoài cùng làm cận rồi tích phân một mạch, bỏ sót nghiệm ở giữa. Với Ví dụ 2, nếu tính thẳng $\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^3-2x)\,dx$ mà không chia đoạn tại $x=0$ , kết quả ra đúng $0$ (vì $h$ là hàm lẻ, hai phần đối nhau triệt tiêu) — một con số vô lý cho diện tích. Luôn giải phương trình $f(x)=g(x)$ để tìm tất cả nghiệm trong khoảng xét, không chỉ hai nghiệm ngoài cùng.

Sai lầm thường gặp: thấy hai đồ thị "cắt nhau ở hai đầu" là vội lấy hai nghiệm ngoài cùng làm cận rồi tích phân một mạch, bỏ sót nghiệm ở giữa. Với Ví dụ 2, nếu tính thẳng $\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^3-2x)\,dx$ mà không chia đoạn tại $x=0$, kết quả ra đúng $0$ (vì $h$ là hàm lẻ, hai phần đối nhau triệt tiêu) — một con số vô lý cho diện tích. Luôn giải phương trình $f(x)=g(x)$ để tìm **tất cả** nghiệm trong khoảng xét, không chỉ hai nghiệm ngoài cùng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Điều quan trọng nhất rút ra từ hai ví dụ trên: cận của tích phân luôn là nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$ , và mọi nghiệm nằm trong khoảng xét — không chỉ hai nghiệm ngoài cùng — đều là mốc bắt buộc phải chia đoạn. Khi đề bài cho hai đường cong bậc cao hơn (bậc ba trở lên), khả năng có ba giao điểm trở lên là rất thực tế, không phải trường hợp hiếm gặp chỉ để đánh đố.

Điều quan trọng nhất rút ra từ hai ví dụ trên: cận của tích phân luôn là nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$, và **mọi** nghiệm nằm trong khoảng xét — không chỉ hai nghiệm ngoài cùng — đều là mốc bắt buộc phải chia đoạn. Khi đề bài cho hai đường cong bậc cao hơn (bậc ba trở lên), khả năng có ba giao điểm trở lên là rất thực tế, không phải trường hợp hiếm gặp chỉ để đánh đố.

Chương tiếp theo chuyển sang một ứng dụng khác của tích phân: thay vì đo diện tích một hình phẳng phẳng, ta cho hình phẳng đó quay quanh trục hoành để tạo ra một khối tròn xoay ba chiều, rồi tính thể tích của khối đó.