Bài học

Bài toán thực tế thể tích tròn xoay

Sau bài học này, em mô hình hoá được mặt cắt dọc của một vật thể tròn xoay (bình, ly, thùng chứa) bằng một hàm số, rồi dùng công thức thể tích khối tròn xoay để tính lượng chất lỏng vật đó chứa được — kể cả khi chỉ đổ nước đến một độ cao chưa đầy.

Kiến thức đã học

Bài trước đã dạy công thức $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ cho thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$ . Bài này giữ nguyên công thức đó — điều mới là phải dịch một tình huống thực tế (hình dạng vật chứa) sang ngôn ngữ hàm số trước khi tính, đây chính là năng lực mô hình hoá toán học mà đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 nhấn mạnh.

Bài trước đã dạy công thức $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ cho thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$. Bài này giữ nguyên công thức đó — điều mới là phải **dịch** một tình huống thực tế (hình dạng vật chứa) sang ngôn ngữ hàm số trước khi tính, đây chính là năng lực mô hình hoá toán học mà đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 nhấn mạnh.

Nhiều vật dụng quen thuộc — ly, bình hoa, thùng phi, phễu — có trục đối xứng và mặt cắt tròn tại mọi độ cao: đó chính xác là một khối tròn xoay. Nếu đặt trục đối xứng của vật trùng với trục $Ox$ (nằm ngang, biểu diễn chiều cao của vật tính bằng centimét), thì bán kính của vật tại độ cao $x$ là một hàm số $r(x)$ , và mặt cắt dọc đi qua trục chính là đồ thị $y=r(x)$ . Thể tích vật chứa được tính bằng đúng công thức đã học ở bài trước, với $f(x)$ thay bằng $r(x)$ .

Nhiều vật dụng quen thuộc — ly, bình hoa, thùng phi, phễu — có trục đối xứng và mặt cắt tròn tại mọi độ cao: đó chính xác là một khối tròn xoay. Nếu đặt trục đối xứng của vật trùng với trục $Ox$ (nằm ngang, biểu diễn chiều cao của vật tính bằng centimét), thì bán kính của vật tại độ cao $x$ là một hàm số $r(x)$, và mặt cắt dọc đi qua trục chính là đồ thị $y=r(x)$. Thể tích vật chứa được tính bằng đúng công thức đã học ở bài trước, với $f(x)$ thay bằng $r(x)$.

Từ hình dạng vật thể đến hàm số

Bước mô hình hoá gồm ba việc: đọc đề để xác định phương trình đường cong $y=r(x)$ mô tả mặt cắt dọc (đơn vị centimét), xác định chiều cao (đoạn $[0;h]$ tính từ đáy), rồi áp dụng $V=\pi\int_0^{h} [r(x)]^2\,dx$ . Kết quả ra đơn vị $\text{cm}^3$ ; đề thường yêu cầu đổi sang lít bằng cách chia cho $1000$ (vì $1$ lít $=1000\ \text{cm}^3$ ), và làm tròn theo yêu cầu — bỏ qua bước đổi đơn vị là lỗi khiến đáp số đúng về bản chất nhưng sai về hình thức trình bày.

Bước mô hình hoá gồm ba việc: đọc đề để xác định phương trình đường cong $y=r(x)$ mô tả mặt cắt dọc (đơn vị centimét), xác định chiều cao (đoạn $[0;h]$ tính từ đáy), rồi áp dụng $V=\pi\int_0^{h} [r(x)]^2\,dx$. Kết quả ra đơn vị $\text{cm}^3$; đề thường yêu cầu đổi sang lít bằng cách chia cho $1000$ (vì $1$ lít $=1000\ \text{cm}^3$), và làm tròn theo yêu cầu — bỏ qua bước đổi đơn vị là lỗi khiến đáp số đúng về bản chất nhưng sai về hình thức trình bày.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — Thể tích đầy bình

1
Một chiếc bình có mặt cắt dọc là hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2x}$ , trục $Ox$ và đường thẳng $x=20$ (đơn vị centimét), quay quanh trục $Ox$ . Tính thể tích bình (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
Một chiếc bình có mặt cắt dọc là hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2x}$, trục $Ox$ và đường thẳng $x=20$ (đơn vị centimét), quay quanh trục $Ox$. Tính thể tích bình (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
2
Trục $Ox$ biểu diễn chiều cao bình tính từ đáy ( $x=0$ ) đến miệng bình ( $x=20$ cm); bán kính bình tại độ cao $x$ là $r(x)=\sqrt{2x}$ (cm). Với $x\in[0;20]$ , $2x\ge 0$ nên $\sqrt{2x}$ luôn xác định (TMĐK).
Trục $Ox$ biểu diễn chiều cao bình tính từ đáy ($x=0$) đến miệng bình ($x=20$ cm); bán kính bình tại độ cao $x$ là $r(x)=\sqrt{2x}$ (cm). Với $x\in[0;20]$, $2x\ge 0$ nên $\sqrt{2x}$ luôn xác định (TMĐK).
3
$V=\pi\displaystyle\int_0^{20} \big(\sqrt{2x}\big)^2\,dx=\pi\int_0^{20} 2x\,dx$ .
$V=\pi\displaystyle\int_0^{20} \big(\sqrt{2x}\big)^2\,dx=\pi\int_0^{20} 2x\,dx$.
4
$\pi\displaystyle\int_0^{20} 2x\,dx=\pi\left[x^2\right]_0^{20}=\pi\cdot 400=400\pi$ $\text{cm}^3$ .
$\pi\displaystyle\int_0^{20} 2x\,dx=\pi\left[x^2\right]_0^{20}=\pi\cdot 400=400\pi$ $\text{cm}^3$.
5
$400\pi\approx 1256{,}64\ \text{cm}^3$ . Vì $1$ lít $=1000\ \text{cm}^3$ , ta có $1256{,}64:1000\approx 1{,}26$ lít.
$400\pi\approx 1256{,}64\ \text{cm}^3$. Vì $1$ lít $=1000\ \text{cm}^3$, ta có $1256{,}64:1000\approx 1{,}26$ lít.
6
Vậy bình chứa được xấp xỉ $1{,}26$ lít nước khi đổ đầy đến miệng.
Vậy bình chứa được xấp xỉ $1{,}26$ lít nước khi đổ đầy đến miệng.

Bán kính bình tại chiều cao

x

là

r(x)=\sqrt{2x}

; đường nét đứt tại

x=12

đánh dấu một mực nước chưa đầy, sẽ dùng ở Ví dụ 2.Bán kính bình tại chiều cao $x$ là $r(x)=\sqrt{2x}$; đường nét đứt tại $x=12$ đánh dấu một mực nước chưa đầy, sẽ dùng ở Ví dụ 2.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Thể tích khi nước chưa đầy bình

1
Với chiếc bình ở Ví dụ 1, nếu chỉ đổ nước đến độ cao $x=12$ cm (chưa đầy đến miệng), tính thể tích nước trong bình lúc đó (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
Với chiếc bình ở Ví dụ 1, nếu chỉ đổ nước đến độ cao $x=12$ cm (chưa đầy đến miệng), tính thể tích nước trong bình lúc đó (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
2
Bán kính bình không đổi, vẫn là $r(x)=\sqrt{2x}$ ; chỉ khác cận trên của tích phân, từ $x=20$ (đầy bình) xuống $x=12$ (mực nước thực tế) — đây là bẫy hay gặp: dùng nhầm cận $20$ của Ví dụ 1 sẽ cho thể tích đầy bình, không phải thể tích nước thực có.
Bán kính bình không đổi, vẫn là $r(x)=\sqrt{2x}$; chỉ khác cận trên của tích phân, từ $x=20$ (đầy bình) xuống $x=12$ (mực nước thực tế) — đây là bẫy hay gặp: dùng nhầm cận $20$ của Ví dụ 1 sẽ cho thể tích đầy bình, không phải thể tích nước thực có.
3
$V=\pi\displaystyle\int_0^{12} 2x\,dx=\pi\left[x^2\right]_0^{12}=144\pi\ \text{cm}^3$ .
$V=\pi\displaystyle\int_0^{12} 2x\,dx=\pi\left[x^2\right]_0^{12}=144\pi\ \text{cm}^3$.
4
$144\pi\approx 452{,}39\ \text{cm}^3\approx 0{,}45$ lít.
$144\pi\approx 452{,}39\ \text{cm}^3\approx 0{,}45$ lít.
5
$0{,}45$ lít phải nhỏ hơn thể tích đầy bình $1{,}26$ lít ở Ví dụ 1 — đúng như dự đoán, vì $12<20$ và hàm $x\mapsto\pi\int_0^{x}2t\,dt$ đồng biến theo cận trên.
$0{,}45$ lít phải nhỏ hơn thể tích đầy bình $1{,}26$ lít ở Ví dụ 1 — đúng như dự đoán, vì $12<20$ và hàm $x\mapsto\pi\int_0^{x}2t\,dt$ đồng biến theo cận trên.
6
Vậy lượng nước trong bình lúc đó xấp xỉ $0{,}45$ lít.
Vậy lượng nước trong bình lúc đó xấp xỉ $0{,}45$ lít.

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: dùng chiều cao toàn bình ( $x=20$ ) làm cận trên dù đề hỏi thể tích nước ở một mực chưa đầy ( $x=12$ ) — hai đại lượng "thể tích bình" và "thể tích nước hiện có" không phải lúc nào cũng là một, và đề thi thường cố tình hỏi vế thứ hai để kiểm tra học sinh có đọc kỹ đề hay không.

Sai lầm thường gặp: dùng chiều cao toàn bình ($x=20$) làm cận trên dù đề hỏi thể tích nước ở một mực chưa đầy ($x=12$) — hai đại lượng "thể tích bình" và "thể tích nước hiện có" không phải lúc nào cũng là một, và đề thi thường cố tình hỏi vế thứ hai để kiểm tra học sinh có đọc kỹ đề hay không.

Bẫy hay gặp: đường kính, không phải bán kính

Một bẫy mô hình hoá khác, hay gặp hơn cả bẫy về cận: đề bài thực tế thường cho đường kính của vật (miệng bình, đáy phễu) chứ không cho thẳng bán kính. Nếu đề nói "miệng bình có đường kính 12 cm" thì $r(x)$ tại đó phải là $6$ cm, không phải $12$ cm — dùng nhầm đường kính làm bán kính khiến $[r(x)]^2$ lớn gấp bốn lần giá trị đúng, vì thể tích tỉ lệ với bình phương bán kính chứ không tỉ lệ tuyến tính. Luôn đọc kỹ đề xem số liệu cho là bán kính hay đường kính trước khi thay vào công thức.

Một bẫy mô hình hoá khác, hay gặp hơn cả bẫy về cận: đề bài thực tế thường cho **đường kính** của vật (miệng bình, đáy phễu) chứ không cho thẳng bán kính. Nếu đề nói "miệng bình có đường kính 12 cm" thì $r(x)$ tại đó phải là $6$ cm, không phải $12$ cm — dùng nhầm đường kính làm bán kính khiến $[r(x)]^2$ lớn gấp bốn lần giá trị đúng, vì thể tích tỉ lệ với bình phương bán kính chứ không tỉ lệ tuyến tính. Luôn đọc kỹ đề xem số liệu cho là bán kính hay đường kính trước khi thay vào công thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập (dạng trả lời ngắn)

Kỹ năng cốt lõi của bài này không phải là một công thức mới — vẫn là $V=\pi\int [r(x)]^2\,dx$ đã học — mà là khả năng đọc một tình huống thực tế (hình dạng bình, ly, phễu) và dịch nó thành một hàm số cùng một đoạn cận đúng. Sai lầm phổ biến nhất không nằm ở phép tính, mà ở việc chọn nhầm cận: dùng chiều cao toàn vật khi đề hỏi một mực chất lỏng chưa đầy, hoặc quên đổi đơn vị $\text{cm}^3$ sang lít theo đúng yêu cầu đề.

Chương cuối của khoá học sẽ ôn lại toàn bộ bốn bài đã học — diện tích giữa đồ thị và trục hoành, diện tích giữa hai đường cong, thể tích khối tròn xoay, và bài toán thực tế — qua các đề bài tổng hợp mới, không đưa thêm công thức nào nằm ngoài những gì đã dạy.