Bài học

Ôn tập thể tích và bài toán thực tế

Bài ôn tập này ghép lại hai kỹ năng đã học ở Chương 3 và Chương 4 — thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$ và bài toán thực tế mô hình hoá vật thể — qua hai đề bài mới, một đề kiểm tra chéo bằng công thức hình học đã biết, một đề tiếp tục rèn kỹ năng chọn đúng cận cho một mực chất lỏng chưa đầy.

Kiến thức đã học

Nhắc lại: $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ cho thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$ ; khi $f(x)$ mô tả bán kính một vật thể thực tế, cận $a,b$ là chiều cao đáy và chiều cao mực chất lỏng (hoặc chiều cao toàn vật nếu tính thể tích đầy).

Nhắc lại: $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ cho thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$; khi $f(x)$ mô tả bán kính một vật thể thực tế, cận $a,b$ là chiều cao đáy và chiều cao mực chất lỏng (hoặc chiều cao toàn vật nếu tính thể tích đầy).

Ôn tập 1 — Kiểm tra chéo bằng công thức hình học đã biết

Ví dụ

Ví dụ ôn tập — Một chiếc phễu hình nón

1
Một chiếc phễu có mặt cắt dọc giới hạn bởi đường thẳng $y=\dfrac{3}{4}x$ , trục $Ox$ và $x=8$ (cm), quay quanh $Ox$ . Tính thể tích phễu bằng tích phân, rồi kiểm tra lại bằng công thức thể tích hình nón đã học ở lớp dưới.
Một chiếc phễu có mặt cắt dọc giới hạn bởi đường thẳng $y=\dfrac{3}{4}x$, trục $Ox$ và $x=8$ (cm), quay quanh $Ox$. Tính thể tích phễu bằng tích phân, rồi kiểm tra lại bằng công thức thể tích hình nón đã học ở lớp dưới.
2
Bán kính phễu tại chiều cao $x$ là $r(x)=\dfrac{3}{4}x$ (cm), với $x\in[0;8]$ . Tại miệng phễu $x=8$ : $r(8)=6$ cm — bán kính đáy hình nón, chiều cao $h=8$ cm.
Bán kính phễu tại chiều cao $x$ là $r(x)=\dfrac{3}{4}x$ (cm), với $x\in[0;8]$. Tại miệng phễu $x=8$: $r(8)=6$ cm — bán kính đáy hình nón, chiều cao $h=8$ cm.
3
$V=\pi\displaystyle\int_0^8 \left(\dfrac{3}{4}x\right)^2\,dx=\pi\int_0^8 \dfrac{9}{16}x^2\,dx=\dfrac{9\pi}{16}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^8=\dfrac{9\pi}{16}\cdot\dfrac{512}{3}=\dfrac{9\cdot 512}{48}\pi=96\pi\ \text{cm}^3$ .
$V=\pi\displaystyle\int_0^8 \left(\dfrac{3}{4}x\right)^2\,dx=\pi\int_0^8 \dfrac{9}{16}x^2\,dx=\dfrac{9\pi}{16}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^8=\dfrac{9\pi}{16}\cdot\dfrac{512}{3}=\dfrac{9\cdot 512}{48}\pi=96\pi\ \text{cm}^3$.
4
Công thức thể tích hình nón: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 8=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 288=96\pi\ \text{cm}^3$ . Hai cách tính khớp nhau, xác nhận công thức tích phân đúng với trường hợp riêng đã biết.
Công thức thể tích hình nón: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 8=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 288=96\pi\ \text{cm}^3$. Hai cách tính khớp nhau, xác nhận công thức tích phân đúng với trường hợp riêng đã biết.
5
Vậy $V=96\pi\ \text{cm}^3\approx 301{,}59\ \text{cm}^3\approx 0{,}30$ lít — và điều quan trọng hơn con số là: công thức tích phân chứa công thức hình nón cổ điển như một trường hợp riêng khi đường sinh là một đoạn thẳng qua gốc toạ độ.
Vậy $V=96\pi\ \text{cm}^3\approx 301{,}59\ \text{cm}^3\approx 0{,}30$ lít — và điều quan trọng hơn con số là: công thức tích phân **chứa** công thức hình nón cổ điển như một trường hợp riêng khi đường sinh là một đoạn thẳng qua gốc toạ độ.

Đường sinh của phễu là một đoạn thẳng qua gốc toạ độ — đây là trường hợp riêng cho phép đối chiếu trực tiếp với công thức thể tích hình nón

\frac13\pi r^2h

đã học.Đường sinh của phễu là một đoạn thẳng qua gốc toạ độ — đây là trường hợp riêng cho phép đối chiếu trực tiếp với công thức thể tích hình nón $\frac13\pi r^2h$ đã học.

Bẫy hay gặp: kiểm tra chéo không phải lúc nào cũng áp dụng được

Cách kiểm tra chéo bằng công thức hình trụ/hình nón chỉ dùng được khi đường sinh là một đoạn thẳng (hằng số hoặc bậc nhất qua gốc). Với một bình có mặt cắt dọc là đường cong thật sự — như $y=\sqrt{2x}$ hay $y=\sqrt{3x}$ ở các ví dụ trước — không tồn tại công thức hình học cổ điển nào để đối chiếu trực tiếp; lúc đó cách kiểm tra duy nhất là ước lượng bằng lý luận (so sánh với hình hộp bao ngoài, hoặc dùng tỉ lệ như ở phần Ghi nhớ dưới đây), không phải tìm một công thức có sẵn.

Ôn tập 2 — Bài toán thực tế: mực chất lỏng chưa đầy

Ví dụ

Ví dụ ôn tập — Một chiếc bình khác, hai mức nước

1
Một chiếc bình có mặt cắt dọc giới hạn bởi $y=\sqrt{3x}$ , trục $Ox$ , $x=12$ (cm), quay quanh $Ox$ . Tính thể tích bình khi đầy, và khi chỉ đổ nước đến độ cao $x=8$ cm (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
Một chiếc bình có mặt cắt dọc giới hạn bởi $y=\sqrt{3x}$, trục $Ox$, $x=12$ (cm), quay quanh $Ox$. Tính thể tích bình khi đầy, và khi chỉ đổ nước đến độ cao $x=8$ cm (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
2
$V_{\text{đầy}}=\pi\displaystyle\int_0^{12} 3x\,dx=\pi\left[\dfrac{3x^2}{2}\right]_0^{12}=\pi\cdot 216=216\pi\ \text{cm}^3\approx 678{,}58\ \text{cm}^3\approx 0{,}68$ lít.
$V_{\text{đầy}}=\pi\displaystyle\int_0^{12} 3x\,dx=\pi\left[\dfrac{3x^2}{2}\right]_0^{12}=\pi\cdot 216=216\pi\ \text{cm}^3\approx 678{,}58\ \text{cm}^3\approx 0{,}68$ lít.
3
Chỉ thay cận trên bằng $8$ , giữ nguyên hàm bán kính: $V_{8}=\pi\displaystyle\int_0^{8} 3x\,dx=\pi\left[\dfrac{3x^2}{2}\right]_0^{8}=\pi\cdot 96=96\pi\ \text{cm}^3\approx 301{,}59\ \text{cm}^3\approx 0{,}30$ lít.
Chỉ thay cận trên bằng $8$, giữ nguyên hàm bán kính: $V_{8}=\pi\displaystyle\int_0^{8} 3x\,dx=\pi\left[\dfrac{3x^2}{2}\right]_0^{8}=\pi\cdot 96=96\pi\ \text{cm}^3\approx 301{,}59\ \text{cm}^3\approx 0{,}30$ lít.
4
$0{,}30$ lít nhỏ hơn $0{,}68$ lít — hợp lý vì $8<12$ ; tỉ lệ hai thể tích bằng $\left(\dfrac{8}{12}\right)^2=\dfrac{4}{9}$ (vì bán kính tỉ lệ $\sqrt{x}$ , thể tích tỉ lệ bình phương của tỉ lệ chiều cao), khớp với $96\pi:216\pi=4:9$ .
$0{,}30$ lít nhỏ hơn $0{,}68$ lít — hợp lý vì $8<12$; tỉ lệ hai thể tích bằng $\left(\dfrac{8}{12}\right)^2=\dfrac{4}{9}$ (vì bán kính tỉ lệ $\sqrt{x}$, thể tích tỉ lệ bình phương của tỉ lệ chiều cao), khớp với $96\pi:216\pi=4:9$.
5
Vậy bình chứa đầy $216\pi\approx 0{,}68$ lít; khi nước ở mực $x=8$ cm, thể tích nước khoảng $0{,}30$ lít.
Vậy bình chứa đầy $216\pi\approx 0{,}68$ lít; khi nước ở mực $x=8$ cm, thể tích nước khoảng $0{,}30$ lít.

Ghi nhớ

Nhận xét ở bước Kiểm tra vừa rồi không phải trùng hợp: khi bán kính có dạng $r(x)=k\sqrt{x}$ , thể tích từ đáy đến chiều cao $x$ tỉ lệ thuận với $x^2$ — gấp đôi chiều cao mực nước không làm thể tích gấp đôi, mà gấp bốn. Đây là một cách kiểm tra nhanh đáp số mà không cần tính lại toàn bộ tích phân.

Nhận xét ở bước Kiểm tra vừa rồi không phải trùng hợp: khi bán kính có dạng $r(x)=k\sqrt{x}$, thể tích từ đáy đến chiều cao $x$ tỉ lệ thuận với $x^2$ — gấp đôi chiều cao mực nước không làm thể tích gấp đôi, mà gấp bốn. Đây là một cách kiểm tra nhanh đáp số mà không cần tính lại toàn bộ tích phân.

Ôn tập 3 — Khi đề cho đường kính, không phải bán kính

Ví dụ

Ví dụ ôn tập bổ sung — Một chiếc thùng hình trụ

1
Một chiếc thùng hình trụ cao $30$ cm, đề cho biết đường kính đáy là $20$ cm. Tính thể tích thùng (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
Một chiếc thùng hình trụ cao $30$ cm, đề cho biết đường kính đáy là $20$ cm. Tính thể tích thùng (đổi ra lít, làm tròn đến hàng phần trăm).
2
Đường kính đáy $20$ cm nghĩa là bán kính $r=20:2=10$ cm — đây là bước dễ bỏ sót đã nêu ở Chương 4. Mặt cắt dọc là đường thẳng $y=10$ (không đổi) trên $x\in[0;30]$ , vì thùng hình trụ có bán kính không đổi theo chiều cao.
Đường kính đáy $20$ cm nghĩa là bán kính $r=20:2=10$ cm — đây là bước dễ bỏ sót đã nêu ở Chương 4. Mặt cắt dọc là đường thẳng $y=10$ (không đổi) trên $x\in[0;30]$, vì thùng hình trụ có bán kính không đổi theo chiều cao.
3
$V=\pi\displaystyle\int_0^{30} 10^2\,dx=\pi\cdot 100\cdot 30=3000\pi\ \text{cm}^3$ .
$V=\pi\displaystyle\int_0^{30} 10^2\,dx=\pi\cdot 100\cdot 30=3000\pi\ \text{cm}^3$.
4
Đây là trường hợp $f(x)=r$ không đổi đã nêu ở Chương 3 — khối tạo thành là hình trụ, đối chiếu với công thức $V=\pi r^2 h=\pi\cdot 10^2\cdot 30=3000\pi\ \text{cm}^3$ , khớp với kết quả tích phân.
Đây là trường hợp $f(x)=r$ không đổi đã nêu ở Chương 3 — khối tạo thành là hình trụ, đối chiếu với công thức $V=\pi r^2 h=\pi\cdot 10^2\cdot 30=3000\pi\ \text{cm}^3$, khớp với kết quả tích phân.
5
$3000\pi\approx 9424{,}78\ \text{cm}^3\approx 9{,}42$ lít. Nếu nhầm dùng $r=20$ (đường kính) thay vì bán kính, kết quả sẽ ra $12000\pi\ \text{cm}^3\approx 37{,}70$ lít — gấp bốn lần giá trị đúng, một sai số quá lớn để có thể là do làm tròn.
$3000\pi\approx 9424{,}78\ \text{cm}^3\approx 9{,}42$ lít. Nếu nhầm dùng $r=20$ (đường kính) thay vì bán kính, kết quả sẽ ra $12000\pi\ \text{cm}^3\approx 37{,}70$ lít — gấp bốn lần giá trị đúng, một sai số quá lớn để có thể là do làm tròn.
6
Vậy thùng chứa được xấp xỉ $9{,}42$ lít.
Vậy thùng chứa được xấp xỉ $9{,}42$ lít.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Việc đối chiếu kết quả tích phân với công thức hình nón cổ điển ở Ví dụ ôn tập 1 minh hoạ một điểm quan trọng: công thức $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$ không thay thế các công thức thể tích đã học ở THCS (hình nón, hình trụ, hình cầu) — nó tổng quát hoá chúng, áp dụng được cho bất kỳ đường sinh nào, kể cả những đường cong không có công thức thể tích riêng.

Việc đối chiếu kết quả tích phân với công thức hình nón cổ điển ở Ví dụ ôn tập 1 minh hoạ một điểm quan trọng: công thức $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$ không thay thế các công thức thể tích đã học ở THCS (hình nón, hình trụ, hình cầu) — nó **tổng quát hoá** chúng, áp dụng được cho bất kỳ đường sinh nào, kể cả những đường cong không có công thức thể tích riêng.

Đến đây, khoá học đã đi qua đủ bốn ứng dụng hình học của tích phân trong chương trình lớp 12: diện tích giữa đồ thị và trục hoành, diện tích giữa hai đường cong, thể tích khối tròn xoay, và mô hình hoá vật thể thực tế. Phần bài kiểm tra cuối chương sẽ tổng hợp lại toàn bộ bốn kỹ năng này.