Bài học

Biểu thức hỗn hợp và thứ tự thực hiện phép tính

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng giá trị một biểu thức số hữu tỉ có trộn cả bốn phép tính và dấu ngoặc, theo đúng thứ tự ưu tiên, kể cả khi biểu thức mô tả một tình huống thực tế nhiều bước.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước đã cho em từng phép tính riêng lẻ: cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, cùng quy tắc dấu ngoặc. Em cũng nhớ lại từ lớp 6: trong ngoặc làm trước, nhân chia làm trước cộng trừ khi không có ngoặc. Bài này ghép tất cả các quy tắc đó vào một biểu thức hoàn chỉnh, đúng dạng bài các đề kiểm tra thường ra.

Khởi động

Biểu thức $\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{5} - \frac{1}{3}$ có cả ngoặc, cả nhân, cả trừ. Nếu tính từ trái sang phải theo đúng thứ tự viết — cộng trước, rồi nhân, rồi trừ — kết quả có giống với việc làm đúng ngoặc trước, nhân trước, cộng trừ sau không?

Kiến thức trọng tâm

Thứ tự thực hiện phép tính với số hữu tỉ giữ nguyên quy tắc đã học: trong ngoặc tính trước, ngoài ngoặc thì nhân và chia làm trước, cộng và trừ làm sau — tính từ trái sang phải khi các phép tính cùng cấp độ ưu tiên. Bỏ qua thứ tự này, như tính từ trái sang phải một cách máy móc, gần như luôn cho kết quả sai.

Khi biểu thức trộn cả phân số lẫn số thập phân, cách an toàn nhất là đổi tất cả số thập phân sang phân số (hoặc ngược lại) trước khi áp dụng thứ tự phép tính, để tránh nhầm lẫn giữa hai cách viết trong cùng một bước tính.

Với những biểu thức dài mô tả một tình huống thực tế nhiều bước — ví dụ một chuyển động qua lại — mỗi "bước" trong câu chuyện thường ứng với đúng một phép tính trong biểu thức: "tiến thêm" là cộng, "lùi lại" là trừ, "gấp đôi quãng đường vừa đi" là nhân với 2. Việc dịch đúng từng bước câu chuyện thành đúng phép tính, theo đúng thứ tự thời gian, quan trọng không kém việc tính toán chính xác.

Dấu ngoặc cũng dùng để ép một phép chia hoặc phép nhân phải chờ đến sau, không chỉ để nhóm các số cộng trừ: trong $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{4}$ , nếu không có ngoặc thì phép trừ đáng lẽ phải chờ phép chia (chia có độ ưu tiên cao hơn), nhưng dấu ngoặc buộc phép trừ phải làm trước. Đây là lý do một đề bài luôn đặt ngoặc cẩn thận quanh phần cần ưu tiên — bỏ sót một dấu ngoặc có thể đổi hẳn thứ tự tính và ra một đáp số hoàn toàn khác.

Dấu ngoặc cũng dùng để ép một phép chia hoặc phép nhân phải chờ đến sau, không chỉ để nhóm các số cộng trừ: trong $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{4}$, nếu không có ngoặc thì phép trừ đáng lẽ phải chờ phép chia (chia có độ ưu tiên cao hơn), nhưng dấu ngoặc buộc phép trừ phải làm trước. Đây là lý do một đề bài luôn đặt ngoặc cẩn thận quanh phần cần ưu tiên — bỏ sót một dấu ngoặc có thể đổi hẳn thứ tự tính và ra một đáp số hoàn toàn khác.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính giá trị biểu thức có ngoặc, nhân và trừ

1
Tính $\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{5} - \frac{1}{3}$ .
Tính $\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{5} - \frac{1}{3}$.
2
$-\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = -\frac{2}{4}+\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ .
$-\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = -\frac{2}{4}+\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
3
$\frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ .
$\frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
4
$\frac{1}{10} - \frac{1}{3}$ : quy đồng mẫu 30, được $\frac{3}{30}-\frac{10}{30} = -\frac{7}{30}$ .
$\frac{1}{10} - \frac{1}{3}$: quy đồng mẫu 30, được $\frac{3}{30}-\frac{10}{30} = -\frac{7}{30}$.
5
Vậy $\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{30}$ .
Vậy $\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{30}$.

Ví dụ

Tính giá trị biểu thức trộn phân số và thập phân (dạng thi)

1
Tính giá trị biểu thức $0,5 + \frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - 0,25$ .
Tính giá trị biểu thức $0,5 + \frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - 0,25$.
2
$\frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$ .
$\frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$.
3
$0,5 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 0,25 = 0,5 - 0,5 - 0,25$ .
$0,5 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 0,25 = 0,5 - 0,5 - 0,25$.
4
$0,5 - 0,5 = 0$ , nên biểu thức còn lại $0 - 0,25 = -0,25$ .
$0,5 - 0,5 = 0$, nên biểu thức còn lại $0 - 0,25 = -0,25$.
5
Vậy $0,5 + \frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - 0,25 = -0,25$ .
Vậy $0,5 + \frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - 0,25 = -0,25$.

Ví dụ

Người đi bộ tiến, lùi rồi tiến tiếp (dạng thi)

1
Một người đi bộ tiến $\frac{3}{4}$ km, rồi lùi lại đúng một nửa quãng đường vừa đi, sau đó tiến tiếp một quãng gấp đôi quãng đường vừa lùi. Hỏi cuối cùng người đó cách vị trí ban đầu bao xa, theo hướng nào?
Một người đi bộ tiến $\frac{3}{4}$ km, rồi lùi lại đúng một nửa quãng đường vừa đi, sau đó tiến tiếp một quãng gấp đôi quãng đường vừa lùi. Hỏi cuối cùng người đó cách vị trí ban đầu bao xa, theo hướng nào?
2
Quãng lùi $= \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ km, nên sau khi lùi còn cách vị trí đầu $\frac{3}{4}-\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$ km.
Quãng lùi $= \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ km, nên sau khi lùi còn cách vị trí đầu $\frac{3}{4}-\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$ km.
3
Quãng tiến tiếp gấp đôi quãng lùi: $2 \times \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$ km.
Quãng tiến tiếp gấp đôi quãng lùi: $2 \times \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$ km.
4
Vị trí cuối, tính từ điểm sau khi lùi, cộng thêm quãng tiến: $\frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}+\frac{6}{8} = \frac{9}{8}$ km, theo hướng tiến ban đầu (vì mọi bước tiến, lùi đều cùng một đường thẳng và bước tiến cuối lớn hơn bước lùi).
Vị trí cuối, tính từ điểm sau khi lùi, cộng thêm quãng tiến: $\frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}+\frac{6}{8} = \frac{9}{8}$ km, theo hướng tiến ban đầu (vì mọi bước tiến, lùi đều cùng một đường thẳng và bước tiến cuối lớn hơn bước lùi).
5
Vậy người đó cách vị trí ban đầu $\frac{9}{8}$ km, về phía đã tiến lúc đầu.
Vậy người đó cách vị trí ban đầu $\frac{9}{8}$ km, về phía đã tiến lúc đầu.

Ví dụ

Ngoặc buộc phép trừ phải làm trước phép chia

1
Tính $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{4} + \frac{2}{5}$ .
Tính $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{4} + \frac{2}{5}$.
2
$\frac{3}{4}-\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
$\frac{3}{4}-\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
3
$\frac{1}{4} \div \frac{1}{4} = 1$ .
$\frac{1}{4} \div \frac{1}{4} = 1$.
4
$1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5}+\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ .
$1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5}+\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.
5
Vậy $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ ; nếu bỏ sót dấu ngoặc, phép chia sẽ nuốt mất $\frac{1}{2}$ trước rồi mới trừ, cho một đáp số hoàn toàn khác.
Vậy $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$; nếu bỏ sót dấu ngoặc, phép chia sẽ nuốt mất $\frac{1}{2}$ trước rồi mới trừ, cho một đáp số hoàn toàn khác.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là tính từ trái sang phải theo đúng thứ tự viết trên giấy, bỏ qua việc nhân chia phải làm trước cộng trừ — ví dụ tính $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ trước trong ví dụ 1 rồi mới nhân, cho kết quả hoàn toàn khác. Một lỗi khác là quên dấu ngoặc "ẩn" quanh một tử số hoặc mẫu số phức tạp, làm sai thứ tự cộng trừ bên trong nó.

Một thói quen tốt khi làm bài kiểm tra là gạch chân hoặc khoanh tròn phép tính sẽ làm TRƯỚC ngay khi vừa đọc xong đề, trước khi đặt bút tính bất cứ số nào — thao tác này chỉ mất vài giây nhưng ngăn được phần lớn lỗi sai thứ tự, đặc biệt khi biểu thức dài và có nhiều dấu ngoặc lồng nhau. Với bài toán có ngữ cảnh thực tế, hãy viết lại từng "bước" của câu chuyện thành một phép tính riêng trước khi ghép chúng vào một biểu thức duy nhất, để không bỏ sót hay đảo ngược thứ tự các sự kiện đã xảy ra trong đề bài.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trong một biểu thức không ngoặc: nhân, chia làm trước; cộng, trừ làm sau. Có ngoặc thì trong ngoặc làm trước tiên. Khi trộn phân số và thập phân, đổi về cùng một dạng trước khi tính để tránh nhầm lẫn. Gạch chân hoặc khoanh phép tính sẽ làm trước ngay khi đọc đề, trước khi đặt bút tính, để tránh sai thứ tự.

Chương tiếp theo rời khỏi bốn phép tính quen thuộc để học một phép toán mới: lũy thừa, phép nhân lặp lại nhiều lần của cùng một số hữu tỉ.