Bài học

Cộng và trừ số hữu tỉ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em cộng và trừ được hai số hữu tỉ bất kỳ — kể cả khi chúng là phân số âm, phân số dương, hay số thập phân — bằng cách quy đồng mẫu số, và giải được các bài toán thực tế liên quan.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết cộng, trừ số nguyên ở lớp 6: cùng dấu thì cộng giá trị tuyệt đối và giữ dấu chung; khác dấu thì lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ và lấy dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn. Em cũng biết quy đồng mẫu số hai phân số. Bài này ghép hai kỹ năng đó lại để cộng, trừ số hữu tỉ nói chung, dù chúng là phân số, số nguyên hay số thập phân.

Khởi động

Một bể chứa đang có $\frac{3}{4}$ bể nước. Nếu bơm thêm nước, mực nước tăng; nếu xả bớt, mực nước giảm. Làm sao viết một phép tính duy nhất mô tả cả hai thao tác bơm và xả cùng lúc, thay vì tính từng bước rồi cộng trừ tay?

Kiến thức trọng tâm

Cộng, trừ hai số hữu tỉ viết dưới dạng phân số: đưa về cùng mẫu số dương (quy đồng), rồi cộng hoặc trừ tử số, giữ nguyên mẫu — đúng quy tắc cộng trừ phân số đã học, chỉ khác là tử số có thể âm. Quy tắc dấu của số nguyên (cùng dấu cộng giá trị tuyệt đối, khác dấu lấy hiệu) áp dụng y hệt cho tử số sau khi quy đồng.

Với số thập phân, có hai cách: cộng trừ trực tiếp theo hàng như số thập phân bình thường, hoặc đổi về phân số rồi làm như trên. Khi bài toán trộn cả phân số lẫn thập phân, cách gọn nhất thường là đổi tất cả về cùng một dạng — phân số hoặc thập phân — trước khi tính.

Phép trừ số hữu tỉ luôn đưa được về phép cộng với số đối: $x - y = x + (-y)$ . Cách nhìn này đặc biệt hữu ích khi $y$ đã mang dấu âm sẵn — trừ một số âm nghĩa là cộng với số đối dương của nó, chẳng hạn $2,5 - (-\frac{1}{3}) = 2,5 + \frac{1}{3}$ .

Phép trừ số hữu tỉ luôn đưa được về phép cộng với số đối: $x - y = x + (-y)$. Cách nhìn này đặc biệt hữu ích khi $y$ đã mang dấu âm sẵn — trừ một số âm nghĩa là cộng với số đối dương của nó, chẳng hạn $2,5 - (-\frac{1}{3}) = 2,5 + \frac{1}{3}$.

Mỗi số hữu tỉ $x$ có đúng một số đối, kí hiệu $-x$ , thỏa $x + (-x) = 0$ . Số đối của $\frac{3}{4}$ là $-\frac{3}{4}$ ; số đối của $-2,5$ là $2,5$ ; số đối của $0$ chính là $0$ . Khi một biểu thức có nhiều số hạng cộng liên tiếp, việc nhận ra hai số hạng đối nhau — dù chúng không đứng cạnh nhau — giúp tính nhanh hơn nhiều, vì cặp đó triệt tiêu ngay thành 0 mà không cần quy đồng.

Mỗi số hữu tỉ $x$ có đúng một số đối, kí hiệu $-x$, thỏa $x + (-x) = 0$. Số đối của $\frac{3}{4}$ là $-\frac{3}{4}$; số đối của $-2,5$ là $2,5$; số đối của $0$ chính là $0$. Khi một biểu thức có nhiều số hạng cộng liên tiếp, việc nhận ra hai số hạng đối nhau — dù chúng không đứng cạnh nhau — giúp tính nhanh hơn nhiều, vì cặp đó triệt tiêu ngay thành 0 mà không cần quy đồng.

Một điều cần lưu ý khi cộng nhiều hơn hai số hữu tỉ: kết quả không phụ thuộc vào thứ tự cộng hay cách nhóm chúng lại (tính chất giao hoán và kết hợp, sẽ học kỹ ở bài sau), nên em hoàn toàn có thể cộng theo bất kỳ thứ tự nào thuận tiện nhất — miễn giữ đúng dấu của từng số hạng khi thay đổi vị trí.

Kết quả

-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{1}{12}

là một phân số dương nhỏ — chỉ đúng một phần mười hai.Kết quả $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{1}{12}$ là một phân số dương nhỏ — chỉ đúng một phần mười hai.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng hai phân số khác dấu, khác mẫu

1
Tính $-\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$ .
Tính $-\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$.
2
Mẫu số chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12: $-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}$ và $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ .
Mẫu số chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12: $-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}$ và $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$.
3
$-\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{-9+10}{12} = \frac{1}{12}$ .
$-\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{-9+10}{12} = \frac{1}{12}$.
4
Vậy $-\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{1}{12}$ .
Vậy $-\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{1}{12}$.

Ví dụ

Trừ một số hữu tỉ âm — đưa về phép cộng

1
Tính $2,5 - \left(-\frac{1}{3}\right)$ .
Tính $2,5 - \left(-\frac{1}{3}\right)$.
2
Trừ một số âm bằng cộng với số đối dương của nó: $2,5 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 2,5 + \frac{1}{3}$ .
Trừ một số âm bằng cộng với số đối dương của nó: $2,5 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 2,5 + \frac{1}{3}$.
3
$2,5 = \frac{5}{2}$ . Quy đồng mẫu 6: $\frac{5}{2} = \frac{15}{6}$ và $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ . Cộng: $\frac{15}{6}+\frac{2}{6} = \frac{17}{6}$ .
$2,5 = \frac{5}{2}$. Quy đồng mẫu 6: $\frac{5}{2} = \frac{15}{6}$ và $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Cộng: $\frac{15}{6}+\frac{2}{6} = \frac{17}{6}$.
4
Vậy $2,5 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{17}{6}$ .
Vậy $2,5 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{17}{6}$.

Ví dụ

Bơm thêm và xả bớt nước trong một bể chứa (dạng thi)

1
Một bể đang chứa $\frac{3}{4}$ bể nước. Người ta bơm thêm $\frac{2}{5}$ bể nữa, nhưng đồng thời một chỗ rò rỉ làm mất $\frac{1}{2}$ bể. Hỏi sau đó bể còn lại bao nhiêu phần nước?
Một bể đang chứa $\frac{3}{4}$ bể nước. Người ta bơm thêm $\frac{2}{5}$ bể nữa, nhưng đồng thời một chỗ rò rỉ làm mất $\frac{1}{2}$ bể. Hỏi sau đó bể còn lại bao nhiêu phần nước?
2
Lượng nước cuối cùng là $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$ (bơm thêm là cộng, rò rỉ là trừ).
Lượng nước cuối cùng là $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$ (bơm thêm là cộng, rò rỉ là trừ).
3
Mẫu số chung nhỏ nhất của 4, 5, 2 là 20: $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$ , $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$ , $\frac{1}{2}=\frac{10}{20}$ . Tính: $\frac{15}{20}+\frac{8}{20}-\frac{10}{20} = \frac{13}{20}$ .
Mẫu số chung nhỏ nhất của 4, 5, 2 là 20: $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$, $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$, $\frac{1}{2}=\frac{10}{20}$. Tính: $\frac{15}{20}+\frac{8}{20}-\frac{10}{20} = \frac{13}{20}$.
4
Vậy bể còn lại $\frac{13}{20}$ bể nước — chưa đầy bể, dù đã bơm thêm.
Vậy bể còn lại $\frac{13}{20}$ bể nước — chưa đầy bể, dù đã bơm thêm.

Ví dụ

Nhiệt độ thay đổi qua ba mốc trong ngày (dạng thi)

1
Lúc 7 giờ sáng, nhiệt độ là $-\frac{1}{2}$ °C. Đến trưa, nhiệt độ tăng thêm $\frac{3}{4}$ °C so với sáng. Đến chiều, nhiệt độ lại giảm $\frac{1}{5}$ °C so với trưa. Tính nhiệt độ buổi chiều.
Lúc 7 giờ sáng, nhiệt độ là $-\frac{1}{2}$°C. Đến trưa, nhiệt độ tăng thêm $\frac{3}{4}$°C so với sáng. Đến chiều, nhiệt độ lại giảm $\frac{1}{5}$°C so với trưa. Tính nhiệt độ buổi chiều.
2
Nhiệt độ chiều $= -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{5}$ (tăng là cộng, giảm là trừ, tính liên tiếp từ mốc sáng).
Nhiệt độ chiều $= -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{5}$ (tăng là cộng, giảm là trừ, tính liên tiếp từ mốc sáng).
3
Mẫu số chung nhỏ nhất của 2, 4, 5 là 20: $-\frac{1}{2}=-\frac{10}{20}$ , $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$ , $\frac{1}{5}=\frac{4}{20}$ . Tính: $-\frac{10}{20}+\frac{15}{20}-\frac{4}{20} = \frac{1}{20}$ .
Mẫu số chung nhỏ nhất của 2, 4, 5 là 20: $-\frac{1}{2}=-\frac{10}{20}$, $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$, $\frac{1}{5}=\frac{4}{20}$. Tính: $-\frac{10}{20}+\frac{15}{20}-\frac{4}{20} = \frac{1}{20}$.
4
Vậy nhiệt độ buổi chiều là $\frac{1}{20}$ °C — vừa nhỉnh hơn 0°C một chút, dù buổi sáng còn âm.
Vậy nhiệt độ buổi chiều là $\frac{1}{20}$°C — vừa nhỉnh hơn 0°C một chút, dù buổi sáng còn âm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn cộng hoặc trừ trực tiếp hai tử số khi mẫu số chưa quy đồng, ra kết quả sai hoàn toàn. Một lỗi khác là khi gặp "trừ một số âm", quên đổi dấu hai lần liên tiếp — chỉ đổi một lần rồi vẫn giữ dấu trừ, dẫn đến làm giảm giá trị thay vì tăng. Một lỗi thứ ba là quên rút gọn kết quả cuối về phân số tối giản, để nguyên dạng như $\frac{2}{8}$ thay vì $\frac{1}{4}$ — về mặt giá trị vẫn đúng, nhưng nhiều đề kiểm tra trừ điểm trình bày nếu không rút gọn.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cộng, trừ số hữu tỉ: quy đồng mẫu số dương rồi cộng/trừ tử số theo đúng quy tắc dấu của số nguyên. Trừ một số bằng cộng với số đối của nó: $x - y = x + (-y)$ . Mỗi số hữu tỉ có đúng một số đối, và tổng của một số với số đối của nó luôn bằng 0 — dùng tính chất này để nhận ra các cặp triệt tiêu trong một tổng dài.

Cộng, trừ số hữu tỉ: quy đồng mẫu số dương rồi cộng/trừ tử số theo đúng quy tắc dấu của số nguyên. Trừ một số bằng cộng với số đối của nó: $x - y = x + (-y)$. Mỗi số hữu tỉ có đúng một số đối, và tổng của một số với số đối của nó luôn bằng 0 — dùng tính chất này để nhận ra các cặp triệt tiêu trong một tổng dài.

Bài học tiếp theo học cách bỏ và thêm dấu ngoặc trong một biểu thức dài, để tính nhanh hơn thay vì quy đồng từng cặp một.