Nhân và chia số hữu tỉ

Em đã biết nhân, chia hai phân số ở lớp 6: nhân tử với tử, mẫu với mẫu; chia một phân số cho phân số khác bằng cách nhân với phân số nghịch đảo của nó. Em cũng nhớ quy tắc dấu khi nhân, chia số nguyên: cùng dấu cho kết quả dương, khác dấu cho kết quả âm. Bài này áp dụng nguyên hai quy tắc đó cho số hữu tỉ, mở rộng ra cả những phân số mang dấu âm mà lớp 6 chưa từng gặp.

Nhân hai số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$: nhân tử với tử, mẫu với mẫu, rồi rút gọn nếu được: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$. Về dấu: hai số cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm) nhân với nhau cho kết quả dương; hai số khác dấu nhân với nhau cho kết quả âm.

Số nghịch đảo của $\frac{a}{b}$ ($a \ne 0$) là $\frac{b}{a}$ — đảo ngược tử và mẫu, giữ nguyên dấu. Tích của một số với nghịch đảo của nó luôn bằng 1: $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$. Số 0 không có nghịch đảo, vì không có số nào nhân với 0 lại được 1.

Chia số hữu tỉ $x$ cho số hữu tỉ $y$ ($y \ne 0$) bằng cách nhân $x$ với nghịch đảo của $y$: $x \div y = x \times \frac{1}{y}$. Quy tắc dấu của phép chia giống hệt phép nhân: cùng dấu cho thương dương, khác dấu cho thương âm — kể cả khi cả số bị chia lẫn số chia đều âm.

Phép nhân số hữu tỉ cũng có tính chất giao hoán ($x \times y = y \times x$), kết hợp ($(x \times y) \times z = x \times (y \times z)$), và phân phối với phép cộng ($x \times (y+z) = x \times y + x \times z$) — cả ba tính chất này y hệt phép nhân số nguyên đã học. Tính chất phân phối đặc biệt hữu ích để tính nhanh, ví dụ $\frac{2}{3} \times \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\right)$ có thể tách thành $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}$ khi việc nhân riêng từng phần dễ hơn cộng trong ngoặc trước.

Chia một số hữu tỉ cho một số NGUYÊN $n$ ($n \ne 0$) là trường hợp riêng thường gặp: vì $n = \frac{n}{1}$, nghịch đảo của nó là $\frac{1}{n}$, nên $x \div n = x \times \frac{1}{n}$ — đơn giản là nhân với $\frac{1}{n}$, không cần đảo ngược gì phức tạp. Chẳng hạn $\frac{3}{4} \div 5 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}$.

Một mẹo kiểm tra nhanh dấu của kết quả trước khi tính chi tiết: đếm số thừa số âm trong phép nhân (hoặc số bị chia và số chia trong phép chia) — số lượng dấu âm chẵn thì kết quả dương, lẻ thì kết quả âm, bất kể có bao nhiêu số dương xen giữa. Cách đếm này giúp em phát hiện ngay một kết quả sai dấu, dù các con số cụ thể có tính đúng hay không, và đặc biệt hữu ích khi biểu thức có ba, bốn thừa số trở lên, giống như cách đếm thừa số âm em đã dùng với lũy thừa ở chương sau.