Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tam giác cân và tam giác đều
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em nhận biết được một tam giác cân hoặc tam giác đều từ hình vẽ hoặc số liệu, gọi đúng tên cạnh bên - cạnh đáy - góc ở đỉnh - góc đáy, và tính được góc còn thiếu bằng tính chất hai góc đáy bằng nhau.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài "Tổng ba góc" cho em công cụ góc A + góc B + góc C = $180°$. Bài này ghép công cụ đó với một điều kiện đặc biệt về cạnh — hai cạnh bằng nhau — để suy ra một điều đặc biệt về góc.
Khởi động
Một chiếc giá vẽ ba chân bằng gỗ có hai chân dài bằng nhau, chân còn lại (chân đế) dài khác. Nhìn hình dạng ấy, hai góc tạo bởi chân đế với hai chân kia có bằng nhau không, dù không đo bằng thước đo góc?
Tam giác cân
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau đó gọi là hai cạnh bên, cạnh còn lại gọi là cạnh đáy; góc tạo bởi hai cạnh bên gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại — kề với cạnh đáy — gọi là hai góc đáy.
Lời giải có hình
Hai góc đáy của tam giác cân bằng nhau
Bước 1
Tam giác ABC có AB = AC — đây là một tam giác cân tại A. AB, AC gọi là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy.
Vậy tính chất trung tâm của tam giác cân là: hai góc đáy bằng nhau. Tính chất này không phải trùng hợp — nó đến từ chính sự đối xứng của hình, và sẽ được chứng minh chặt chẽ bằng trường hợp bằng nhau ở bài sau.
Tam giác đều
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Vì ba cạnh bằng nhau, tam giác đều vừa là tam giác cân tại cả ba đỉnh — kéo theo ba góc cũng bằng nhau. Kết hợp với tổng ba góc bằng $180°$, mỗi góc của tam giác đều đúng bằng $60°$.
Lời giải có hình
Tam giác cân có góc ở đỉnh 60° là tam giác đều
Bước 1
Tam giác ABC có AB = AC và góc A = 60°.
Vậy chỉ cần một trong hai dấu hiệu — ba cạnh bằng nhau, hoặc một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $60°$ — là đủ để khẳng định tam giác đều, không cần kiểm tra cả ba cạnh lẫn cả ba góc cùng lúc.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tính góc đáy khi biết góc ở đỉnh
1
Tam giác ABC cân tại A, góc ở đỉnh A = $40°$. Tính mỗi góc đáy.
2
Tam giác cân tại A nên góc B = góc C (hai góc đáy bằng nhau).
3
Theo tổng ba góc: góc B + góc C = $180° - 40° = 140°$.
4
Vì góc B = góc C nên mỗi góc đáy = $140° : 2 = 70°$. Vậy góc B = góc C = $70°$.
Ví dụ
Tính góc ở đỉnh khi biết góc đáy (dạng thi)
1
Một khung cửa hình tam giác cân có góc đáy đo được $75°$. Tính góc ở đỉnh của khung cửa đó.
2
Tam giác cân nên hai góc đáy bằng nhau, đều bằng $75°$.
3
Theo tổng ba góc: góc ở đỉnh = $180° - 75° - 75° = 30°$.
4
Vậy góc ở đỉnh của khung cửa bằng $30°$.
Ví dụ
Nhận biết tam giác đều từ ba góc bằng nhau
1
Tam giác ABC có góc A = góc B = góc C. Tam giác này có phải tam giác đều không?
2
Theo tổng ba góc, $3 \cdot$ (số đo mỗi góc) $= 180°$, nên mỗi góc bằng $60°$.
3
Ba góc bằng nhau khiến tam giác cân tại cả ba đỉnh cùng lúc — cân tại A cho AB = AC, cân tại B cho BA = BC — nên cả ba cạnh bằng nhau.
4
Vậy ΔABC là tam giác đều — ba góc bằng nhau là một dấu hiệu nhận biết tam giác đều, tương đương với ba cạnh bằng nhau.
Tam giác cân và tam giác đều xuất hiện nhiều quanh em hơn tưởng: mái nhà hai bên dốc bằng nhau tạo một tam giác cân với đỉnh ở nóc nhà; giá vẽ ba chân, biển báo giao thông hình tam giác đều, hay mắt lưới của một số loại hàng rào cũng thường dựng theo hình tam giác đều để chịu lực đều về ba phía. Nhận ra ngay hình dạng này giúp em áp dụng tính chất góc đáy mà không cần đo đạc thêm.
Sai lầm thường gặp
Một sai lầm hay gặp: khi tam giác cân được vẽ nghiêng hoặc "úp ngược" thay vì ở tư thế quen thuộc đỉnh trên - đáy dưới, nhiều bạn nhận nhầm cạnh đáy thành cạnh bên. Cạnh bên là cạnh trong CẶP hai cạnh bằng nhau, cạnh đáy là cạnh còn lại — vị trí trên hình không quyết định, độ dài mới quyết định.
Ghi nhớ
Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc đáy bằng nhau; tam giác đều là trường hợp đặc biệt có cả ba cạnh bằng nhau và mỗi góc đều $60°$. Bài sau chứng minh chặt chẽ những tính chất này bằng trường hợp bằng nhau tam giác, và giới thiệu đường trung trực của cạnh đáy — một công cụ sẽ quay lại trong toàn bộ chương đường đồng quy.
Bài "Tổng ba góc" cho em công cụ góc A + góc B + góc C = 180°. Bài này ghép công cụ đó với một điều kiện đặc biệt về cạnh — hai cạnh bằng nhau — để suy ra một điều đặc biệt về góc.
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Vì ba cạnh bằng nhau, tam giác đều vừa là tam giác cân tại cả ba đỉnh — kéo theo ba góc cũng bằng nhau. Kết hợp với tổng ba góc bằng 180°, mỗi góc của tam giác đều đúng bằng 60°.
Vậy chỉ cần một trong hai dấu hiệu — ba cạnh bằng nhau, hoặc một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 60° — là đủ để khẳng định tam giác đều, không cần kiểm tra cả ba cạnh lẫn cả ba góc cùng lúc.
Tam giác ABC cân tại A, góc ở đỉnh A = 40°. Tính mỗi góc đáy.
Theo tổng ba góc: góc B + góc C = 180°−40°=140°.
Vì góc B = góc C nên mỗi góc đáy = 140°:2=70°. Vậy góc B = góc C = 70°.
Một khung cửa hình tam giác cân có góc đáy đo được 75°. Tính góc ở đỉnh của khung cửa đó.
Tam giác cân nên hai góc đáy bằng nhau, đều bằng 75°.
Theo tổng ba góc: góc ở đỉnh = 180°−75°−75°=30°.
Vậy góc ở đỉnh của khung cửa bằng 30°.
Theo tổng ba góc, 3⋅ (số đo mỗi góc) =180°, nên mỗi góc bằng 60°.
Tam giác cân và tam giác đều xuất hiện nhiều quanh em hơn tưởng: mái nhà hai bên dốc bằng nhau tạo một tam giác cân với đỉnh ở nóc nhà; giá vẽ ba chân, biển báo giao thông hình tam giác đều, hay mắt lưới của một số loại hàng rào cũng thường dựng theo hình tam giác đều để chịu lực đều về ba phía. Nhận ra ngay hình dạng này giúp em áp dụng tính chất góc đáy mà không cần đo đạc thêm.
Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc đáy bằng nhau; tam giác đều là trường hợp đặc biệt có cả ba cạnh bằng nhau và mỗi góc đều 60°. Bài sau chứng minh chặt chẽ những tính chất này bằng trường hợp bằng nhau tam giác, và giới thiệu đường trung trực của cạnh đáy — một công cụ sẽ quay lại trong toàn bộ chương đường đồng quy.