Chứng minh tam giác cân và đường trung trực của cạnh đáy
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em chứng minh được một tam giác là cân từ dữ kiện về đường trung tuyến hoặc góc đáy, và biết dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng để tìm điểm cách đều hai đầu mút.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước em đã nêu tính chất "tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau" như một quan sát từ đối xứng. Bài này chứng minh chặt chẽ chiều ngược lại bằng trường hợp bằng nhau tam giác — công cụ đã có sẵn từ hai bài trước.
Nếu biết một tam giác có đường trung tuyến từ một đỉnh cũng chính là đường cao từ đỉnh đó, có suy ra được ngay tam giác ấy cân hay không, mà không cần đo cạnh?
Chứng minh tam giác cân từ trung tuyến là đường cao
Có nhiều cách nhận biết một tam giác cân ngoài việc đo trực tiếp hai cạnh: nếu hai góc đáy bằng nhau, hoặc nếu một đường trung tuyến đồng thời là đường cao (hoặc là đường phân giác), tam giác đó chắc chắn cân tại đỉnh xuất phát của đường đó. Xét trường hợp trung tuyến đồng thời là đường cao dưới đây.
Tam giác ABC có D là trung điểm của BC (AD là đường trung tuyến từ A), và AD vuông góc với BC tại D.
Vậy chỉ cần biết đường trung tuyến từ A vuông góc với cạnh đáy, không cần đo AB hay AC, đã đủ kết luận ΔABC cân tại A. Đây là chiều đảo của tính chất bài trước: bài trước đi từ "cân" suy ra "góc đáy bằng nhau"; bài này đi từ "trung tuyến vuông góc với đáy" suy ngược lại "cân".
Đường trung trực của một đoạn thẳng
Chứng minh cân từ hai góc đáy bằng nhau
- 1
Cho đoạn thẳng BC. Trên đường trung trực của BC, lấy hai điểm P và Q khác nhau (khác trung điểm D). Giải thích vì sao PB = PC và QB = QC.
- 2
P nằm trên đường trung trực của BC, mà mọi điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn đó.
- 3
Vậy PB = PC.
- 4
Tương tự, QB = QC. Vậy mọi điểm trên đường trung trực của BC — không chỉ riêng đỉnh A của một tam giác cân cụ thể nào — đều cách đều B và C.
- 1Tam giác ABC có AD vừa là đường trung tuyến (D là trung điểm BC), vừa là đường cao. a) Chứng minh ΔABC cân tại A. b) Biết góc ADB kề với góc B trong tam giác vuông ABD, và góc B = $35°$, tính góc BAD.
- 2Xét ΔABD và ΔACD: BD = CD — D là trung điểm BC (1); AD chung (2); góc ADB = góc ADC = $90°$ — AD là đường cao (3).
- 3
Từ (1), (2), (3), theo cạnh - góc - cạnh, ΔABD = ΔACD, suy ra AB = AC. Vậy ΔABC cân tại A.
- 4Trong tam giác vuông ABD (vuông tại D), tổng ba góc bằng $180°$, nên góc BAD = $180° - 90° - 35° = 55°$.
- 5
Vậy ΔABC cân tại A, và góc BAD = .
Một ngộ nhận phổ biến: cho rằng đường trung tuyến của MỌI tam giác đều là đường trung trực của cạnh đối diện. Điều này chỉ đúng khi tam giác cân tại đúng đỉnh xuất phát của trung tuyến đó — với tam giác thường (không cân), trung tuyến từ một đỉnh nói chung không vuông góc với cạnh đối diện.