Trung trực, Đường cao và Trực tâm
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em nhận biết được đường trung trực, tâm ngoại tiếp (tâm cách đều ba đỉnh), đường cao, và trực tâm của một tam giác, cùng vị trí của trực tâm trong tam giác nhọn so với tam giác tù.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước em đã học trung tuyến - trọng tâm và phân giác - tâm cách đều ba cạnh. Bài này hoàn thiện bộ bốn đường đặc biệt của tam giác bằng hai loại còn lại: đường trung trực (đã gặp ở bài tam giác cân) và đường cao (đã dùng liên tục để chứng minh các bài trước).
Ba ngôi làng nằm ở ba vị trí không thẳng hàng, muốn xây một trạm cấp nước cách đều cả ba làng. Trạm đó nên đặt ở đâu, và có luôn đặt được hay không?
Đường trung trực và tâm ngoại tiếp
Đường trung trực của một cạnh trong tam giác là đường trung trực của đoạn thẳng đó — vuông góc tại trung điểm. Giống trung tuyến và phân giác, ba đường trung trực của ba cạnh một tam giác luôn đồng quy tại một điểm.
Cho tam giác ABC.
Vậy điểm đồng quy của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác — đây chính là vị trí đặt trạm cấp nước trong câu hỏi khởi động. Điểm này còn gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, vì một đường tròn tâm tại đó, bán kính bằng khoảng cách chung tới ba đỉnh, sẽ đi qua đúng cả ba đỉnh.
Đường cao và trực tâm
Đường cao của một tam giác, xuất phát từ một đỉnh, là đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đó xuống đường thẳng chứa cạnh đối diện. Ba đường cao của một tam giác cũng luôn đồng quy — tại một điểm gọi là trực tâm.
Cho tam giác nhọn ABC.
Vậy với tam giác nhọn, trực tâm nằm ở bên trong tam giác, giống trọng tâm và tâm cách đều ba cạnh. Nhưng vị trí này không cố định kiểu đó với mọi tam giác — nó phụ thuộc hình dạng tam giác, như hình dưới đây cho thấy.
Cho tam giác ABC có góc B tù (góc B lớn hơn ).
Vậy trực tâm có thể nằm trong, trên cạnh (khi tam giác vuông, trực tâm trùng đỉnh góc vuông), hoặc ngoài tam giác — tùy tam giác đó nhọn, vuông, hay tù. Đây là điểm khác biệt lớn nhất giữa trực tâm và ba điểm đồng quy còn lại (trọng tâm, tâm cách đều ba cạnh, tâm ngoại tiếp), vốn luôn nằm bên trong tam giác.
Ví dụ minh hoạ
- 1Tam giác ABC có O là giao điểm ba đường trung trực, biết OA = $5$ cm. Độ dài OB và OC bằng bao nhiêu?
- 2
O là giao điểm ba đường trung trực nên O cách đều ba đỉnh: OA = OB = OC.
- 3
Vậy OB = OC = OA = cm.
- 1Tam giác ABC vuông tại A. a) Xác định trực tâm của tam giác. b) Nếu AB = $6$ cm, AC = $8$ cm, hai đường cao từ B và từ C có độ dài lớn hơn hay nhỏ hơn AB, AC? Giải thích ngắn gọn.
- 2Cạnh AB vuông góc với AC (vì góc A = $90°$), nên AB chính là đường cao hạ từ B xuống AC, và AC chính là đường cao hạ từ C xuống AB. Hai đường cao này cắt nhau ngay tại A.
- 3
Vậy trực tâm của tam giác vuông tại A trùng với chính đỉnh A.
- 4Đường cao từ B chính là đoạn AB = $6$ cm (không phải một đoạn khác cần tính thêm), và đường cao từ C chính là đoạn AC = $8$ cm — vì hai cạnh góc vuông đã đóng vai trò đường cao, không có đường cao "khác" dài hơn hay ngắn hơn để so sánh.
- 5
Vậy với tam giác vuông, hai trong ba đường cao trùng luôn với hai cạnh góc vuông — đây là lý do trực tâm luôn trùng đỉnh góc vuông, không cần dựng thêm đường nào.
Một nhầm lẫn hay gặp: cho rằng cả bốn điểm đặc biệt của tam giác — trọng tâm, tâm cách đều ba cạnh, tâm ngoại tiếp, trực tâm — luôn trùng nhau. Chúng chỉ trùng nhau khi tam giác đều; với tam giác thường, đó là bốn vị trí khác nhau, mỗi vị trí gắn với một loại đường riêng (trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao).