Bài học

Đường vuông góc và Đường xiên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, và so sánh được độ dài các đường xiên kẻ từ cùng một điểm đến đường thẳng đó dựa vào hình chiếu của chúng.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết khái niệm hai đường thẳng vuông góc và cách kẻ một đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng cho trước — kỹ năng này vừa được dùng liên tục ở hai bài trước, khi kẻ đường cao trong tam giác cân. Bài này tách riêng quan hệ đó ra để nghiên cứu kỹ hơn.

Khởi động

Một người đứng ở một điểm trên bờ sông, muốn sang bờ bên kia bằng đường ngắn nhất. Nên bơi thẳng theo hướng nào so với dòng sông — vuông góc, hay theo một hướng xiên bất kỳ?

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, chỉ có đúng một đoạn thẳng nối A với d mà vuông góc với d — gọi là đường vuông góc, độ dài của nó gọi là khoảng cách từ A đến d. Mọi đoạn thẳng khác nối A với d — không vuông góc — gọi là đường xiên. Điểm chân của đường vuông góc (hoặc đường xiên) trên d gọi là hình chiếu của A (tương ứng của đầu mút kia) trên d.

Lời giải có hình

Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên; hình chiếu càng dài, đường xiên càng dài

Bước 1

Cho đường thẳng qua B, C và điểm A không nằm trên đường thẳng đó.

Vậy hai kết luận đi liền với nhau: trong mọi đoạn nối A với d, đường vuông góc luôn ngắn nhất; và trong các đường xiên, đường nào có hình chiếu dài hơn thì đường xiên đó cũng dài hơn. Nhờ vậy, so sánh độ dài đường xiên quy về so sánh độ dài hình chiếu — một việc dễ nhìn thấy trên đường thẳng, không cần đo trực tiếp đường xiên.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

So sánh đường vuông góc với một đường xiên

1
Từ điểm A, kẻ AH vuông góc với đường thẳng d tại H, và AK là một đường xiên đến điểm K khác H trên d. So sánh AH và AK.
2
AH là đường vuông góc từ A đến d, AK là một đường xiên từ A đến d.
3
Trong mọi đoạn nối A với d, đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên.
4
Vậy AH < AK.

Ví dụ

So sánh ba đường xiên bằng hình chiếu (dạng thi)

1
Từ một điểm A ngoài đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và ba đường xiên AM, AN, AP tới ba điểm M, N, P trên d. Biết hình chiếu thỏa HM = $2$ cm, HN = $5$ cm, HP = $3,5$ cm. Sắp xếp AM, AN, AP theo thứ tự tăng dần.
Từ một điểm A ngoài đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và ba đường xiên AM, AN, AP tới ba điểm M, N, P trên d. Biết hình chiếu thỏa HM = $2$ cm, HN = $5$ cm, HP = $3,5$ cm. Sắp xếp AM, AN, AP theo thứ tự tăng dần.
2
Ba hình chiếu là HM = $2$ cm, HP = $3,5$ cm, HN = $5$ cm, nên HM < HP < HN.
Ba hình chiếu là HM = $2$ cm, HP = $3,5$ cm, HN = $5$ cm, nên HM < HP < HN.
3
Hình chiếu càng dài thì đường xiên tương ứng càng dài, nên thứ tự đường xiên giữ nguyên thứ tự của hình chiếu.
4
Vậy AM < AP < AN.

Ví dụ

Bài toán con mương (dạng thi)

1
Một người đứng ở điểm A cách bờ mương thẳng d đúng bằng đường vuông góc $4$ m. Nếu người đó đi xiên tới một điểm K trên bờ mương, cách chân đường vuông góc H một đoạn HK = $3$ m, quãng đường AK có ngắn hơn $4$ m hay không?
Một người đứng ở điểm A cách bờ mương thẳng d đúng bằng đường vuông góc $4$ m. Nếu người đó đi xiên tới một điểm K trên bờ mương, cách chân đường vuông góc H một đoạn HK = $3$ m, quãng đường AK có ngắn hơn $4$ m hay không?
2
AH = $4$ m là đường vuông góc (khoảng cách từ A đến d); AK là một đường xiên, vì K khác H.
AH = $4$ m là đường vuông góc (khoảng cách từ A đến d); AK là một đường xiên, vì K khác H.
3
Đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên từ cùng một điểm đến cùng một đường thẳng, nên AK > AH.
4
Vậy AK > $4$ m — đi xiên luôn xa hơn đi thẳng vuông góc, dù điểm đến K nghe có vẻ "gần" trên bờ mương.
Vậy AK > $4$ m — đi xiên luôn xa hơn đi thẳng vuông góc, dù điểm đến K nghe có vẻ "gần" trên bờ mương.

Trực giác đằng sau hai tính chất này khá tự nhiên: đường vuông góc AH đo đúng "khoảng cách thật" từ A đến đường thẳng, còn mọi đường xiên đều phải "đi vòng" thêm một đoạn dọc theo đường thẳng để tới điểm đích — hình chiếu càng dài, phần "đi vòng" càng nhiều, nên đường xiên càng dài. Đây cũng là lý do đường vuông góc là lựa chọn ngắn nhất khi cần nối một điểm với một đường thẳng, một ý tưởng em sẽ gặp lại khi học về khoảng cách trong các lớp sau.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: đường vuông góc trong tam giác cân (dạng thi)

1
Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao (H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC). a) So sánh AH với AB. b) Lấy điểm K bất kỳ trên BC, K khác H. So sánh AK với AH.
2
AH là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC; AB là một đường xiên từ A đến BC (vì B nằm trên BC và AB không vuông góc với BC, trừ trường hợp suy biến). Theo tính chất, đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên.
3
Vậy AH < AB.
4
AK là một đường xiên từ A đến BC (vì K khác H, chân đường vuông góc). Theo đúng tính chất vừa dùng ở câu a, đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên khác từ cùng một điểm đến cùng một đường thẳng.
5
Vậy AH < AK, với mọi điểm K trên BC khác H — H chính là điểm gần A nhất trên toàn bộ đường thẳng BC.

Sai lầm thường gặp

Một lỗi thường gặp: so sánh trực tiếp độ dài hai đường xiên bằng mắt thường trên hình vẽ không chuẩn tỉ lệ, thay vì so sánh hình chiếu của chúng trên đường thẳng. Cách chắc chắn duy nhất là so sánh hình chiếu — hình chiếu dài hơn thì đường xiên chắc chắn dài hơn, bất kể hình vẽ trông thế nào.

Ghi nhớ

Từ một điểm ngoài một đường thẳng, đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên, và trong các đường xiên, đường có hình chiếu dài hơn thì dài hơn. Hai tính chất này thường dùng chung — so sánh hình chiếu để suy ra so sánh đường xiên mà không cần đo trực tiếp. Bài sau quay lại tam giác, nghiên cứu bốn loại đường đặc biệt cùng đi qua một điểm chung.