Chứng minh hai tam giác bằng nhau và suy ra các yếu tố tương ứng
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em viết được một chứng minh hai tam giác bằng nhau đúng cấu trúc — nêu giả thiết, chọn đúng trường hợp, kết luận — và biết dùng kết quả ΔABC = ΔDEF để suy ra thêm các cạnh, góc tương ứng khác còn chưa biết.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước em đã nhận diện được ba trường hợp c.c.c, c.g.c, g.c.g từ hình vẽ có đánh dấu sẵn. Bài này đi xa hơn một bước: từ một đề bài bằng lời, tự vẽ hình, tự tìm ra cặp tam giác cần xét, và trình bày chứng minh theo đúng thứ tự một bài làm được chấm điểm.
Một chứng minh hình học không phải phép tính ra một con số — nó là một chuỗi lập luận, mỗi bước phải có lý do. Đề bài cho AB = AC và AD vuông góc với BC tại D. Làm sao chỉ từ hai dữ kiện đó, chứng minh được D chính là trung điểm của BC, mà không cần đo đạc?
Cấu trúc một bài chứng minh hai tam giác bằng nhau
Tam giác ABC cân tại A: AB = AC.
Vậy từ hai dữ kiện AB = AC và AD ⟂ BC tại D, việc xét ΔABD và ΔACD theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông cho ngay kết luận D là trung điểm của BC — một kết quả về độ dài đoạn thẳng, suy ra hoàn toàn từ một lập luận về góc và cạnh, không cần đo đạc.
Ví dụ minh hoạ
- 1
Tam giác ABC cân tại A (AB = AC), M là trung điểm của BC. Chứng minh ΔABM = ΔACM, từ đó so sánh góc AMB và góc AMC.
- 2
Ta sẽ chứng minh ΔABM = ΔACM theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.
- 3
Xét ΔABM và ΔACM: AB = AC — giả thiết tam giác cân (1); BM = CM — M là trung điểm BC (2); AM chung (3).
- 4
Từ (1), (2), (3), theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c), ΔABM = ΔACM.
- 5Vậy ΔABM = ΔACM, suy ra góc AMB = góc AMC (hai góc tương ứng). Vì hai góc này kề bù (M nằm giữa B và C) nên mỗi góc bằng $90°$. Vậy AM cũng là đường cao, không chỉ là đường trung tuyến.
- 1
Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại O, sao cho O vừa là trung điểm của AC, vừa là trung điểm của BD. Chứng minh AB = CD.
- 2
Ta sẽ chứng minh ΔAOB = ΔCOD theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.
- 3
Xét ΔAOB và ΔCOD: OA = OC — O là trung điểm AC (1); OB = OD — O là trung điểm BD (2); góc AOB = góc COD — hai góc đối đỉnh (3).
- 4
Góc AOB (giữa OA, OB) xen đúng vị trí như góc COD (giữa OC, OD). Từ (1), (2), (3), theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ΔAOB = ΔCOD.
- 5
Vậy ΔAOB = ΔCOD, suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng).
- 1
Tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA. a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc A. b) Chứng minh tam giác ABD cân.
- 2
Ta chứng minh ΔABM = ΔACM theo c.c.c: AB = AC — giả thiết cân tại A (1); BM = CM — M là trung điểm BC (2); AM chung (3).
- 3
Từ (1), (2), (3), ΔABM = ΔACM, suy ra góc BAM = góc CAM (hai góc tương ứng). Vậy AM là tia phân giác của góc A.
- 4
Ta chứng minh ΔBMD = ΔCMA theo c.g.c: BM = CM — đã có ở câu a (4); MD = MA — giả thiết (5); góc BMD = góc CMA — hai góc đối đỉnh vì A, M, D thẳng hàng (6).
- 5
Góc BMD xen giữa BM, MD đúng vị trí như góc CMA xen giữa CM, MA. Từ (4), (5), (6), theo cạnh - góc - cạnh, ΔBMD = ΔCMA, suy ra BD = CA (hai cạnh tương ứng).
- 6
Mà CA = AB (giả thiết tam giác ABC cân tại A), nên BD = AB. Vậy tam giác ABD có BD = AB — ΔABD cân tại B.
Một lỗi trình bày rất hay gặp: nêu đúng ba cặp yếu tố bằng nhau nhưng quên gọi tên trường hợp (c.c.c, c.g.c hay g.c.g), hoặc gọi sai vị trí xen giữa. Bài chấm điểm hình học luôn trừ điểm khi thiếu bước gọi tên trường hợp — nó là "lý do" mà mọi kết luận bằng nhau phải dựa vào, không thể bỏ qua dù đã liệt kê đủ ba cặp yếu tố.