Bài học

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √(A²) = |A|

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm được điều kiện để một căn thức bậc hai $\sqrt{A}$ có nghĩa, và áp dụng đúng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ để rút gọn một biểu thức chứa ẩn dưới dấu căn.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết $\sqrt{a}$ chỉ xác định (có nghĩa) khi $a\ge0$ — bài trước dùng toàn số cụ thể nên điều kiện này luôn tự động đúng. Em cũng cần nhớ khái niệm giá trị tuyệt đối: $|A|=A$ nếu $A\ge0$ và $|A|=-A$ nếu $A<0$ — luôn cho kết quả không âm. Cuối cùng, em cần nhớ hằng đẳng thức đáng nhớ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ từ lớp 8, vì rất nhiều biểu thức dưới dấu căn ở bài này thật ra là một bình phương được viết dưới dạng khai triển.

Khởi động

Xét biểu thức $\sqrt{2x-3}$ . Với $x=5$ , biểu thức dưới dấu căn là $2\times5-3=7\ge0$ , nên $\sqrt7$ có nghĩa. Nhưng với $x=0$ , biểu thức dưới dấu căn là $-3<0$ — lúc đó $\sqrt{-3}$ không tồn tại trong tập số thực. Vậy với những giá trị x nào thì $\sqrt{2x-3}$ luôn có nghĩa — và làm sao tìm ra TẤT CẢ những giá trị đó thay vì thử từng số một?

Xét biểu thức $\sqrt{2x-3}$. Với $x=5$, biểu thức dưới dấu căn là $2\times5-3=7\ge0$, nên $\sqrt7$ có nghĩa. Nhưng với $x=0$, biểu thức dưới dấu căn là $-3<0$ — lúc đó $\sqrt{-3}$ không tồn tại trong tập số thực. Vậy với những giá trị x nào thì $\sqrt{2x-3}$ luôn có nghĩa — và làm sao tìm ra TẤT CẢ những giá trị đó thay vì thử từng số một?

Kiến thức trọng tâm

Biểu thức $\sqrt{A}$ , với $A$ là một biểu thức chứa ẩn, được gọi là một căn thức bậc hai. Căn thức $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi và chỉ khi $A\ge0$ . Nếu đề bài có nhiều căn thức, hoặc căn thức nằm ở mẫu, ta phải đặt đủ mọi điều kiện rồi kết hợp lại — mẫu chứa căn thì căn đó còn phải khác 0, tức biểu thức dưới căn phải dương thực sự, không chỉ không âm. Đây là điểm khác với bài trước: trước đây A luôn là một số cụ thể nên $A\ge0$ hiển nhiên đúng hoặc sai; bây giờ A chứa ẩn x, nên ĐKXĐ trở thành một bất phương trình cần giải để tìm ra TẬP giá trị của x, chứ không còn là một câu hỏi đúng/sai đơn giản nữa.

Biểu thức $\sqrt{A}$, với $A$ là một biểu thức chứa ẩn, được gọi là một **căn thức bậc hai**. Căn thức $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi và chỉ khi $A\ge0$. Nếu đề bài có nhiều căn thức, hoặc căn thức nằm ở mẫu, ta phải đặt đủ mọi điều kiện rồi kết hợp lại — mẫu chứa căn thì căn đó còn phải khác 0, tức biểu thức dưới căn phải dương thực sự, không chỉ không âm. Đây là điểm khác với bài trước: trước đây A luôn là một số cụ thể nên $A\ge0$ hiển nhiên đúng hoặc sai; bây giờ A chứa ẩn x, nên ĐKXĐ trở thành một bất phương trình cần giải để tìm ra TẬP giá trị của x, chứ không còn là một câu hỏi đúng/sai đơn giản nữa.

Song song đó là một hằng đẳng thức các em sẽ dùng suốt cả năm học: $\sqrt{A^2}=|A|$ , đúng với MỌI biểu thức $A$ (không cần điều kiện gì cho $A$ , vì $A^2$ luôn không âm). Điều dễ nhầm nhất: $\sqrt{A^2}$ không phải luôn bằng $A$ — nó chỉ bằng $A$ khi $A\ge0$ ; còn khi $A<0$ thì $\sqrt{A^2}=-A$ (một số dương, đúng nghĩa giá trị tuyệt đối). Muốn rút gọn đúng, bắt buộc phải biết dấu của A trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối — và đó chính là lý do ĐKXĐ và hằng đẳng thức này luôn đi cùng nhau trong một bài toán: điều kiện của x quyết định A mang dấu gì, dấu của A lại quyết định cách viết lại $|A|$ .

Song song đó là một hằng đẳng thức các em sẽ dùng suốt cả năm học: $\sqrt{A^2}=|A|$, đúng với MỌI biểu thức $A$ (không cần điều kiện gì cho $A$, vì $A^2$ luôn không âm). Điều dễ nhầm nhất: $\sqrt{A^2}$ không phải luôn bằng $A$ — nó chỉ bằng $A$ khi $A\ge0$; còn khi $A<0$ thì $\sqrt{A^2}=-A$ (một số dương, đúng nghĩa giá trị tuyệt đối). Muốn rút gọn đúng, bắt buộc phải biết dấu của A trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối — và đó chính là lý do ĐKXĐ và hằng đẳng thức này luôn đi cùng nhau trong một bài toán: điều kiện của x quyết định A mang dấu gì, dấu của A lại quyết định cách viết lại $|A|$.

Một dạng biểu thức A rất hay gặp là một tam thức bậc hai viết được dưới dạng bình phương một hiệu hoặc một tổng, như $x^2-6x+9=(x-3)^2$ hay $x^2+4x+4=(x+2)^2$ . Nhận ra ngay dạng này (thường bằng cách kiểm tra số hạng giữa có gấp đôi tích căn bậc hai của hai số hạng còn lại hay không) giúp em tránh việc khai triển ngược lại từ đầu mỗi lần gặp một biểu thức tương tự.

Một dạng biểu thức A rất hay gặp là một tam thức bậc hai viết được dưới dạng bình phương một hiệu hoặc một tổng, như $x^2-6x+9=(x-3)^2$ hay $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Nhận ra ngay dạng này (thường bằng cách kiểm tra số hạng giữa có gấp đôi tích căn bậc hai của hai số hạng còn lại hay không) giúp em tránh việc khai triển ngược lại từ đầu mỗi lần gặp một biểu thức tương tự.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm điều kiện xác định của một căn thức đơn giản

1
Tìm $x$ để $\sqrt{2x-3}$ xác định.
Tìm $x$ để $\sqrt{2x-3}$ xác định.
2
Căn thức $\sqrt{2x-3}$ xác định khi biểu thức dưới căn không âm: $2x-3\ge0$ .
Căn thức $\sqrt{2x-3}$ xác định khi biểu thức dưới căn không âm: $2x-3\ge0$.
3
$2x-3\ge0 \iff 2x\ge3 \iff x\ge1,5$ .
$2x-3\ge0 \iff 2x\ge3 \iff x\ge1,5$.
4
Vậy $\sqrt{2x-3}$ xác định khi và chỉ khi $x\ge1,5$ .
Vậy $\sqrt{2x-3}$ xác định khi và chỉ khi $x\ge1,5$.

Ví dụ

Áp dụng hằng đẳng thức

\sqrt{A^2}=|A|

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$

1
Tính $\sqrt{(-7)^2}$ , và rút gọn $\sqrt{x^2-6x+9}$ tại $x=1$ .
Tính $\sqrt{(-7)^2}$, và rút gọn $\sqrt{x^2-6x+9}$ tại $x=1$.
2
Theo hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ với $A=-7$ : $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$ .
Theo hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ với $A=-7$: $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$.
3
$x^2-6x+9=(x-3)^2$ (hằng đẳng thức đáng nhớ). Do đó $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$ .
$x^2-6x+9=(x-3)^2$ (hằng đẳng thức đáng nhớ). Do đó $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.
4
$|x-3|=|1-3|=|-2|=2$ .
$|x-3|=|1-3|=|-2|=2$.
5
Vậy $\sqrt{(-7)^2}=7$ , và $\sqrt{x^2-6x+9}$ tại $x=1$ bằng 2.
Vậy $\sqrt{(-7)^2}=7$, và $\sqrt{x^2-6x+9}$ tại $x=1$ bằng 2.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức chứa căn khi biết dấu của ẩn

1
Rút gọn $A=\sqrt{x^2-4x+4}-x$ với $x<2$ .
Rút gọn $A=\sqrt{x^2-4x+4}-x$ với $x<2$.
2
$x^2-4x+4=(x-2)^2$ , nên $\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$ .
$x^2-4x+4=(x-2)^2$, nên $\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$.
3
Vì $x<2$ nên $x-2<0$ , do đó $|x-2|=2-x$ . (1)
Vì $x<2$ nên $x-2<0$, do đó $|x-2|=2-x$. (1)
4
Từ (1): $A=(2-x)-x=2-2x$ .
Từ (1): $A=(2-x)-x=2-2x$.
5
Vậy với $x<2$ , ta có $A=2-2x$ .
Vậy với $x<2$, ta có $A=2-2x$.

Ví dụ

Tìm điều kiện xác định khi biểu thức có hai căn thức

1
Tìm $x$ để $B=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-2x}$ có nghĩa.
Tìm $x$ để $B=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-2x}$ có nghĩa.
2
$B$ có nghĩa khi cả hai căn thức cùng có nghĩa: $x-1\ge0$ và $3-2x\ge0$ .
$B$ có nghĩa khi cả hai căn thức cùng có nghĩa: $x-1\ge0$ và $3-2x\ge0$.
3
$x-1\ge0 \iff x\ge1$ . (1) $3-2x\ge0 \iff x\le1,5$ . (2)
$x-1\ge0 \iff x\ge1$. (1) $3-2x\ge0 \iff x\le1,5$. (2)
4
Từ (1) và (2) suy ra $1\le x\le1,5$ .
Từ (1) và (2) suy ra $1\le x\le1,5$.
5
Vậy $B$ có nghĩa khi và chỉ khi $1\le x\le1,5$ .
Vậy $B$ có nghĩa khi và chỉ khi $1\le x\le1,5$.

Bốn ví dụ trên chia làm hai nhóm kỹ năng: hai ví dụ đầu luyện riêng từng kỹ năng (chỉ tìm ĐKXĐ, hoặc chỉ áp dụng hằng đẳng thức), hai ví dụ sau bắt đầu ghép cả hai lại — đúng như cách một đề thi thật sẽ hỏi. Càng về cuối khóa, kỹ năng ghép nhiều bước như vậy sẽ càng xuất hiện nhiều hơn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Rất nhiều bạn rút gọn $\sqrt{x^2-4x+4}$ thành $x-2$ ngay, quên mất phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo dấu của $x-2$ . Kết quả đúng luôn là $|x-2|$ trước khi biết thêm điều kiện của x — chỉ khi đề cho biết dấu (hoặc khoảng giá trị) của biểu thức trong căn, ta mới được bỏ dấu trị tuyệt đối thành một trong hai trường hợp cụ thể. Viết tắt luôn $|x-2|=x-2$ mà không kiểm tra dấu trước là lỗi bị trừ điểm nặng nhất ở dạng bài rút gọn có điều kiện.

Rất nhiều bạn rút gọn $\sqrt{x^2-4x+4}$ thành $x-2$ ngay, quên mất phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo dấu của $x-2$. Kết quả đúng luôn là $|x-2|$ trước khi biết thêm điều kiện của x — chỉ khi đề cho biết dấu (hoặc khoảng giá trị) của biểu thức trong căn, ta mới được bỏ dấu trị tuyệt đối thành một trong hai trường hợp cụ thể. Viết tắt luôn $|x-2|=x-2$ mà không kiểm tra dấu trước là lỗi bị trừ điểm nặng nhất ở dạng bài rút gọn có điều kiện.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\sqrt A$ xác định khi $A\ge0$ (mẫu chứa căn thì cần $A>0$ ); $\sqrt{A^2}=|A|$ với mọi A, và phải xét dấu A trước khi bỏ trị tuyệt đối. Khi có nhiều căn thức, tìm ĐKXĐ của TỪNG căn rồi kết hợp lại bằng phép giao, không được bỏ sót căn nào.

$\sqrt A$ xác định khi $A\ge0$ (mẫu chứa căn thì cần $A>0$); $\sqrt{A^2}=|A|$ với mọi A, và phải xét dấu A trước khi bỏ trị tuyệt đối. Khi có nhiều căn thức, tìm ĐKXĐ của TỪNG căn rồi kết hợp lại bằng phép giao, không được bỏ sót căn nào.

Bài sau dùng lại đúng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ này, nhưng đặt nó cạnh một câu hỏi mới: khi hai số nằm chung dưới một dấu căn, ta được tách chúng ra thành tích của hai căn riêng lẻ khi nào?