Bài học

Ôn tập kiến thức trọng tâm căn bậc hai và căn bậc ba

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được nhiều tính chất đã học của căn bậc hai và căn bậc ba trong cùng một biểu thức, thay vì áp dụng riêng lẻ từng quy tắc như ở bốn bài trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không đưa thêm kiến thức mới — em ôn lại đúng bốn nội dung của khóa: định nghĩa và so sánh $\sqrt a$ (Bài 1), điều kiện xác định cùng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ (Bài 2), quy tắc khai phương một tích và một thương (Bài 3, 4), và căn bậc ba $\sqrt[3]a$ (Bài 5). Điểm khác biệt duy nhất: các bài toán dưới đây đòi hỏi dùng NHIỀU quy tắc trong cùng một lời giải, thay vì mỗi bài trước chỉ luyện một quy tắc tại một thời điểm.

Nếu năm bài trước là năm buổi tập riêng lẻ từng động tác, bài ôn tập này giống một trận đấu thật — em không còn được nhắc trước "bài này dùng quy tắc nào", mà phải tự đọc đề và quyết định nên bắt đầu từ đâu. Đó là kỹ năng thật sự được kiểm tra trong một đề thi, không chỉ là khả năng nhớ công thức.

Khởi động

Rút gọn $\sqrt{x^2}+2x$ với $x<0$ . Nếu chỉ áp dụng " $\sqrt{x^2}=x$ " theo phản xạ, em sẽ ra $3x$ . Nhưng $\sqrt{x^2}=|x|$ , và với $x<0$ thì $|x|=-x$ — kết quả đúng khác hẳn. Bài ôn tập này rèn đúng phản xạ kiểm tra điều kiện trước khi rút gọn, thay vì rút gọn theo quán tính — phản xạ này sẽ theo em suốt cả năm học.

Rút gọn $\sqrt{x^2}+2x$ với $x<0$. Nếu chỉ áp dụng \"$\sqrt{x^2}=x$\" theo phản xạ, em sẽ ra $3x$. Nhưng $\sqrt{x^2}=|x|$, và với $x<0$ thì $|x|=-x$ — kết quả đúng khác hẳn. Bài ôn tập này rèn đúng phản xạ kiểm tra điều kiện trước khi rút gọn, thay vì rút gọn theo quán tính — phản xạ này sẽ theo em suốt cả năm học.

Kiến thức trọng tâm

Một bài rút gọn biểu thức chứa căn tổng hợp thường đi qua bốn bước theo đúng thứ tự: trước hết tìm điều kiện xác định nếu biểu thức chứa ẩn dưới căn hoặc ở mẫu; sau đó đưa những phần có dạng bình phương về hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ và bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo đúng điều kiện đã tìm; tiếp theo dùng quy tắc khai phương một tích hoặc một thương để tính hoặc rút gọn từng phần còn lại; và cuối cùng kết luận kết quả rút gọn cùng với điều kiện đi kèm nếu có.

Nhiều bài tổng hợp còn cho một khoảng giá trị của ẩn (thay vì một dấu đơn giản), buộc em phải xét dấu của TỪNG biểu thức trong căn riêng biệt trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối — làm sai một dấu ở bước này sẽ kéo sai cả kết quả cuối cùng.

Một kỹ năng khác cần luyện lại là nhận diện NHANH loại biểu thức đang gặp trước khi đặt bút giải: biểu thức chỉ toàn số cụ thể (không có ẩn) thường giải nhanh bằng cách tách thừa số chính phương/lập phương rồi tính thẳng; biểu thức có ẩn kèm dấu cho sẵn cần hằng đẳng thức và giá trị tuyệt đối; biểu thức có ẩn nhưng chưa cho dấu, hoặc cho một khoảng, đòi hỏi xét dấu cẩn thận trước khi kết luận.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Phối hợp phép nhân và phép chia trong cùng một biểu thức

1
Rút gọn $E=\sqrt8\cdot\sqrt2:\sqrt4$ .
Rút gọn $E=\sqrt8\cdot\sqrt2:\sqrt4$.
2
$\sqrt8\cdot\sqrt2=\sqrt{8\times2}=\sqrt{16}=4$ .
$\sqrt8\cdot\sqrt2=\sqrt{8\times2}=\sqrt{16}=4$.
3
$E=4:\sqrt4=4:2=2$ .
$E=4:\sqrt4=4:2=2$.
4
$E=2$ .
$E=2$.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức chứa hằng đẳng thức khi biết dấu của ẩn

1
Rút gọn $F=\sqrt{9x^2}-\sqrt{4x^2}$ với $x>0$ .
Rút gọn $F=\sqrt{9x^2}-\sqrt{4x^2}$ với $x>0$.
2
$\sqrt{9x^2}=\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}=3|x|$ ; $\sqrt{4x^2}=\sqrt4\cdot\sqrt{x^2}=2|x|$ .
$\sqrt{9x^2}=\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}=3|x|$; $\sqrt{4x^2}=\sqrt4\cdot\sqrt{x^2}=2|x|$.
3
Vì $x>0$ nên $|x|=x$ . (1)
Vì $x>0$ nên $|x|=x$. (1)
4
$F=3x-2x=x$ .
$F=3x-2x=x$.
5
Vậy với $x>0$ , ta có $F=x$ .
Vậy với $x>0$, ta có $F=x$.

Ví dụ

Kết hợp căn bậc hai và căn bậc ba trong một biểu thức số

1
Tính $H=\sqrt{50}:\sqrt2+\sqrt[3]{-64}$ .
Tính $H=\sqrt{50}:\sqrt2+\sqrt[3]{-64}$.
2
$\sqrt{50}:\sqrt2=\sqrt{50:2}=\sqrt{25}=5$ . (1)
$\sqrt{50}:\sqrt2=\sqrt{50:2}=\sqrt{25}=5$. (1)
3
$\sqrt[3]{-64}=-4$ (vì $(-4)^3=-64$ ). (2)
$\sqrt[3]{-64}=-4$ (vì $(-4)^3=-64$). (2)
4
Từ (1) và (2): $H=5+(-4)=1$ .
Từ (1) và (2): $H=5+(-4)=1$.
5
$H=1$ .
$H=1$.

Ví dụ

Chứng tỏ một biểu thức không phụ thuộc vào x trên một khoảng cho trước

1
Rút gọn $G=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+2x+1}$ với $-1\le x\le1$ .
Rút gọn $G=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+2x+1}$ với $-1\le x\le1$.
2
$x^2-2x+1=(x-1)^2$ và $x^2+2x+1=(x+1)^2$ , nên $G=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2}=|x-1|+|x+1|$ .
$x^2-2x+1=(x-1)^2$ và $x^2+2x+1=(x+1)^2$, nên $G=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2}=|x-1|+|x+1|$.
3
Với $-1\le x\le1$ thì $x-1\le0$ , nên $|x-1|=1-x$ . (1)
Với $-1\le x\le1$ thì $x-1\le0$, nên $|x-1|=1-x$. (1)
4
Với $-1\le x\le1$ thì $x+1\ge0$ , nên $|x+1|=x+1$ . (2)
Với $-1\le x\le1$ thì $x+1\ge0$, nên $|x+1|=x+1$. (2)
5
$G=(1-x)+(x+1)=2$ .
$G=(1-x)+(x+1)=2$.
6
Vậy với mọi $-1\le x\le1$ , ta có $G=2$ — một hằng số, không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của x trong khoảng này.
Vậy với mọi $-1\le x\le1$, ta có $G=2$ — một hằng số, không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của x trong khoảng này.

Chú ý cách bốn ví dụ trên tăng dần độ khó: ví dụ đầu chỉ phối hợp nhân và chia; ví dụ hai thêm hằng đẳng thức; ví dụ ba trộn cả căn bậc hai lẫn căn bậc ba; và ví dụ bốn — khó nhất — yêu cầu xét dấu từng hạng tử riêng biệt để chứng tỏ kết quả là một hằng số. Đây chính xác là dải độ khó em sẽ gặp khi luyện đề tuyển sinh thật, từ câu dễ lấy điểm đến câu phân loại học sinh khá giỏi.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi biểu thức có nhiều căn thức cộng trừ với nhau (như ví dụ $G$ ở trên), nhiều bạn bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo MỘT dấu chung cho cả biểu thức, trong khi mỗi hạng tử phải được xét dấu RIÊNG theo đúng điều kiện của nó. Kết quả có thể là một hằng số bất ngờ như trong ví dụ trên, chứ không đơn giản như khi bỏ dấu ẩu. Cách tránh lỗi này: viết riêng từng hạng tử ra nháp, xét dấu của nó, rồi mới ghép lại thành biểu thức đầy đủ và kiểm tra lại một lần cuối trước khi kết luận.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài rút gọn tổng hợp luôn theo thứ tự: tìm ĐKXĐ, đưa về hằng đẳng thức và bỏ trị tuyệt đối đúng dấu, áp dụng quy tắc nhân/chia, rồi mới kết luận. Xét dấu từng hạng tử riêng biệt khi biểu thức có nhiều căn thức cộng trừ.

Bài ôn tập cuối khóa sẽ đặt những kỹ năng này vào đúng khuôn của một câu hỏi tuyển sinh vào lớp 10: một biểu thức cần rút gọn, rồi một câu hỏi phụ dùng ngay kết quả vừa rút gọn — đúng cấu trúc câu 1 của hầu hết các đề tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trên cả nước.