Bài học

Khai phương một tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng đúng quy tắc khai phương một tích $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ (với $a,b\ge0$ ) theo cả hai chiều: tính nhanh một tích hai căn thức, và rút gọn một căn thức bằng cách tách ra thừa số chính phương.

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng đúng quy tắc khai phương một tích $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ (với $a,b\ge0$) theo cả hai chiều: tính nhanh một tích hai căn thức, và rút gọn một căn thức bằng cách tách ra thừa số chính phương.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần vững hai điều đã học: định nghĩa căn bậc hai số học $\sqrt a$ (Bài 1) và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ (Bài 2). Bài này đặt câu hỏi mới: nếu có hai số $a,b\ge0$ nhân với nhau rồi mới khai căn, kết quả có bằng khai căn từng số rồi mới nhân lại hay không? Em cũng cần nhớ cách phân tích một số ra thừa số để nhận ra khi nào một trong hai thừa số là số chính phương — tức là bình phương đúng của một số tự nhiên, như $4=2^2$ , $9=3^2$ , $16=4^2$ , $25=5^2$ . Kỹ năng phân tích thừa số này em đã luyện từ lớp 6 khi tìm ƯCLN và BCNN, giờ được dùng lại theo một cách hoàn toàn mới.

Em cần vững hai điều đã học: định nghĩa căn bậc hai số học $\sqrt a$ (Bài 1) và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ (Bài 2). Bài này đặt câu hỏi mới: nếu có hai số $a,b\ge0$ nhân với nhau rồi mới khai căn, kết quả có bằng khai căn từng số rồi mới nhân lại hay không? Em cũng cần nhớ cách phân tích một số ra thừa số để nhận ra khi nào một trong hai thừa số là số chính phương — tức là bình phương đúng của một số tự nhiên, như $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, $25=5^2$. Kỹ năng phân tích thừa số này em đã luyện từ lớp 6 khi tìm ƯCLN và BCNN, giờ được dùng lại theo một cách hoàn toàn mới.

Khởi động

Tính $\sqrt4\cdot\sqrt9$ : được $2\times3=6$ . Bây giờ tính $\sqrt{4\times9}$ : $4\times9=36$ , và $\sqrt{36}=6$ . Hai cách tính ra cùng một kết quả — đó có phải là sự trùng hợp, hay là một quy tắc luôn đúng?

Tính $\sqrt4\cdot\sqrt9$: được $2\times3=6$. Bây giờ tính $\sqrt{4\times9}$: $4\times9=36$, và $\sqrt{36}=6$. Hai cách tính ra cùng một kết quả — đó có phải là sự trùng hợp, hay là một quy tắc luôn đúng?

Kiến thức trọng tâm

Với hai số $a\ge0$ và $b\ge0$ , ta luôn có $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ . Quy tắc này được gọi là khai phương một tích, và nó có nghĩa theo cả hai chiều đọc. Đọc từ trái sang phải: muốn khai căn một tích, khai căn từng thừa số rồi nhân lại. Đọc từ phải sang trái: muốn nhân hai căn thức, gộp chúng thành một căn thức của tích rồi tính một lần — cách này thường nhanh hơn hẳn việc tính gần đúng từng căn thức riêng lẻ rồi mới nhân.

Với hai số $a\ge0$ và $b\ge0$, ta luôn có $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$. Quy tắc này được gọi là **khai phương một tích**, và nó có nghĩa theo cả hai chiều đọc. Đọc từ trái sang phải: muốn khai căn một tích, khai căn từng thừa số rồi nhân lại. Đọc từ phải sang trái: muốn nhân hai căn thức, gộp chúng thành một căn thức của tích rồi tính một lần — cách này thường nhanh hơn hẳn việc tính gần đúng từng căn thức riêng lẻ rồi mới nhân.

Chiều thứ hai chính là công cụ để rút gọn một căn thức: nếu số dưới dấu căn tách được thành tích của một số chính phương với một số khác, ta tách riêng thừa số chính phương ra rồi khai căn nó. Chẳng hạn $75=25\times3$ , mà 25 là số chính phương ( $5^2=25$ ), nên $\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3$ — một dạng viết gọn hơn và dễ so sánh, cộng trừ hơn nhiều so với $\sqrt{75}$ để nguyên.

Chiều thứ hai chính là công cụ để **rút gọn** một căn thức: nếu số dưới dấu căn tách được thành tích của một số chính phương với một số khác, ta tách riêng thừa số chính phương ra rồi khai căn nó. Chẳng hạn $75=25\times3$, mà 25 là số chính phương ($5^2=25$), nên $\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3$ — một dạng viết gọn hơn và dễ so sánh, cộng trừ hơn nhiều so với $\sqrt{75}$ để nguyên.

Kỹ năng cần luyện là nhận ra NHANH thừa số chính phương lớn nhất có thể tách ra, thay vì tách một thừa số chính phương nhỏ rồi phải lặp lại nhiều lần. Với $\sqrt{72}$ , tách $72=36\times2$ (36 là số chính phương lớn nhất chia hết 72) cho ngay kết quả gọn $6\sqrt2$ trong một bước; còn nếu tách $72=4\times18$ trước, em sẽ phải rút gọn tiếp $\sqrt{18}=3\sqrt2$ mới ra cùng đáp số — vẫn đúng, nhưng mất thêm một bước không cần thiết.

Kỹ năng cần luyện là nhận ra NHANH thừa số chính phương lớn nhất có thể tách ra, thay vì tách một thừa số chính phương nhỏ rồi phải lặp lại nhiều lần. Với $\sqrt{72}$, tách $72=36\times2$ (36 là số chính phương lớn nhất chia hết 72) cho ngay kết quả gọn $6\sqrt2$ trong một bước; còn nếu tách $72=4\times18$ trước, em sẽ phải rút gọn tiếp $\sqrt{18}=3\sqrt2$ mới ra cùng đáp số — vẫn đúng, nhưng mất thêm một bước không cần thiết.

Một cách luyện phản xạ: học thuộc lòng vài số chính phương đầu tiên — 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — rồi khi gặp một số hai hoặc ba chữ số dưới dấu căn, thử chia lần lượt cho từng số đó xem có chia hết không. Với $\sqrt{200}$ , thử 100 trước ( $200=100\times2$ ) sẽ nhanh hơn nhiều so với dò từ số nhỏ lên.

Một cách luyện phản xạ: học thuộc lòng vài số chính phương đầu tiên — 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — rồi khi gặp một số hai hoặc ba chữ số dưới dấu căn, thử chia lần lượt cho từng số đó xem có chia hết không. Với $\sqrt{200}$, thử 100 trước ($200=100\times2$) sẽ nhanh hơn nhiều so với dò từ số nhỏ lên.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhân hai căn thức bằng cách gộp thành một tích

1
Tính $\sqrt{12}\cdot\sqrt3$ .
Tính $\sqrt{12}\cdot\sqrt3$.
2
Vì $12\ge0$ và $3\ge0$ , áp dụng $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ : $\sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{12\times3}=\sqrt{36}$ .
Vì $12\ge0$ và $3\ge0$, áp dụng $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$: $\sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{12\times3}=\sqrt{36}$.
3
$\sqrt{36}=6$ (vì $6\ge0$ , $6^2=36$ ).
$\sqrt{36}=6$ (vì $6\ge0$, $6^2=36$).
4
$\sqrt{12}\cdot\sqrt3=6$ .
$\sqrt{12}\cdot\sqrt3=6$.

Ví dụ

Rút gọn một căn thức bằng cách tách thừa số chính phương

1
Rút gọn $\sqrt{75}$ .
Rút gọn $\sqrt{75}$.
2
$75=25\times3$ , trong đó $25=5^2$ là số chính phương.
$75=25\times3$, trong đó $25=5^2$ là số chính phương.
3
$\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3$ .
$\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3$.
4
$\sqrt{75}=5\sqrt3$ .
$\sqrt{75}=5\sqrt3$.

Ví dụ

Rút gọn căn thức chứa ẩn khi biết dấu

1
Rút gọn $\sqrt{9x^2}$ với $x<0$ .
Rút gọn $\sqrt{9x^2}$ với $x<0$.
2
$9x^2=9\cdot x^2$ , cả hai thừa số đều không âm nên $\sqrt{9x^2}=\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}=3\cdot|x|$ .
$9x^2=9\cdot x^2$, cả hai thừa số đều không âm nên $\sqrt{9x^2}=\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}=3\cdot|x|$.
3
Vì $x<0$ nên $|x|=-x$ . (1)
Vì $x<0$ nên $|x|=-x$. (1)
4
$\sqrt{9x^2}=3\cdot(-x)=-3x$ .
$\sqrt{9x^2}=3\cdot(-x)=-3x$.
5
Vậy với $x<0$ , ta có $\sqrt{9x^2}=-3x$ (một số dương, đúng vì căn bậc hai số học không âm).
Vậy với $x<0$, ta có $\sqrt{9x^2}=-3x$ (một số dương, đúng vì căn bậc hai số học không âm).

Ví dụ

Rút gọn và cộng hai căn thức cùng dạng

1
Rút gọn $\sqrt{20}+\sqrt{45}$ .
Rút gọn $\sqrt{20}+\sqrt{45}$.
2
$20=4\times5$ (4 là số chính phương); $45=9\times5$ (9 là số chính phương).
$20=4\times5$ (4 là số chính phương); $45=9\times5$ (9 là số chính phương).
3
$\sqrt{20}=\sqrt4\cdot\sqrt5=2\sqrt5$ ; $\sqrt{45}=\sqrt9\cdot\sqrt5=3\sqrt5$ .
$\sqrt{20}=\sqrt4\cdot\sqrt5=2\sqrt5$; $\sqrt{45}=\sqrt9\cdot\sqrt5=3\sqrt5$.
4
$\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt5+3\sqrt5=(2+3)\sqrt5=5\sqrt5$ .
$\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt5+3\sqrt5=(2+3)\sqrt5=5\sqrt5$.
5
Vậy $\sqrt{20}+\sqrt{45}=5\sqrt5$ .
Vậy $\sqrt{20}+\sqrt{45}=5\sqrt5$.

Bốn ví dụ trên đi từ nhân hai căn thức đơn giản, đến rút gọn một căn thức, đến rút gọn khi có ẩn kèm điều kiện dấu, và cuối cùng là cộng hai căn thức đã rút gọn — đúng thứ tự độ khó em sẽ gặp trong bài tập và đề thi thật.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Quy tắc $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ chỉ đúng khi CẢ HAI số $a,b$ đều không âm. Không được áp dụng tùy tiện cho số âm — chẳng hạn $\sqrt{(-4)\times(-9)}=\sqrt{36}=6$ là đúng, nhưng KHÔNG được viết thành $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$ vì mỗi căn thức riêng lẻ đó không tồn tại trong tập số thực. Một lỗi khác cũng thường gặp: cộng hai căn thức khác dạng như $\sqrt5+\sqrt3$ thành $\sqrt8$ — sai hoàn toàn, vì quy tắc khai phương một tích chỉ áp dụng cho phép NHÂN, không áp dụng cho phép cộng. Hai căn thức chỉ cộng được với nhau khi chúng thật sự cùng một căn sau khi đã rút gọn — như $2\sqrt5$ và $3\sqrt5$ ở ví dụ trên. Nếu chưa rút gọn mà đã vội kết luận "không cộng được", em có thể đang bỏ lỡ một cặp căn thức thật ra cùng dạng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với $a,b\ge0$ : $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ . Đọc xuôi để nhân, đọc ngược để tách thừa số chính phương và rút gọn căn thức. Hai căn thức chỉ cộng trừ trực tiếp được với nhau khi chúng CÙNG dạng sau khi rút gọn — luôn rút gọn trước, rồi mới xét xem có cộng trừ được hay không.

Với $a,b\ge0$: $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$. Đọc xuôi để nhân, đọc ngược để tách thừa số chính phương và rút gọn căn thức. Hai căn thức chỉ cộng trừ trực tiếp được với nhau khi chúng CÙNG dạng sau khi rút gọn — luôn rút gọn trước, rồi mới xét xem có cộng trừ được hay không.

Phép nhân dưới dấu căn tách được thành tích hai căn — vậy phép chia dưới dấu căn có tách được thành thương hai căn theo cách tương tự không? Bài sau trả lời câu hỏi đó.