Bài học

Căn bậc ba

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa căn bậc ba $\sqrt[3]{a}$ của một số thực bất kỳ, so sánh được hai căn bậc ba, và áp dụng được các tính chất nhân chia của căn bậc ba trong những bài toán không có sẵn công thức bấm máy.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã quen với lập phương: $2^3=8$ , $(-3)^3=-27$ . Bài này đi theo chiều ngược lại như với căn bậc hai — nhưng lần này số dưới dấu căn được phép là số âm, và điều đó thay đổi hẳn cách bài toán được đặt ra so với bốn bài trước. Em cũng cần nhớ lại bốn bài trước đủ chắc, vì nhiều bài toán cuối khóa sẽ đặt căn bậc ba cạnh căn bậc hai trong cùng một biểu thức, buộc em phải nhận ra ngay đang làm việc với loại căn thức nào để áp dụng đúng luật chơi của nó, thay vì áp nhầm điều kiện của loại này sang loại kia.

Em đã quen với lập phương: $2^3=8$, $(-3)^3=-27$. Bài này đi theo chiều ngược lại như với căn bậc hai — nhưng lần này số dưới dấu căn được phép là số âm, và điều đó thay đổi hẳn cách bài toán được đặt ra so với bốn bài trước. Em cũng cần nhớ lại bốn bài trước đủ chắc, vì nhiều bài toán cuối khóa sẽ đặt căn bậc ba cạnh căn bậc hai trong cùng một biểu thức, buộc em phải nhận ra ngay đang làm việc với loại căn thức nào để áp dụng đúng luật chơi của nó, thay vì áp nhầm điều kiện của loại này sang loại kia.

Khởi động

Số $-8$ có căn bậc hai không? Không — vì không có số thực nào bình phương lên lại ra số âm. Nhưng số nào lập phương lên bằng $-8$ ? Có: $(-2)^3=-8$ . Vậy một loại căn thức khác — căn bậc ba — hoạt động theo luật chơi nào, và luật đó có gì khác so với căn bậc hai mà em vừa học xong bốn bài trước?

Số $-8$ có căn bậc hai không? Không — vì không có số thực nào bình phương lên lại ra số âm. Nhưng số nào lập phương lên bằng $-8$? Có: $(-2)^3=-8$. Vậy một loại căn thức khác — căn bậc ba — hoạt động theo luật chơi nào, và luật đó có gì khác so với căn bậc hai mà em vừa học xong bốn bài trước?

Kiến thức trọng tâm

Với MỌI số thực $a$ (không cần điều kiện gì), căn bậc ba của $a$ , ký hiệu $\sqrt[3]{a}$ , là số $x$ duy nhất sao cho $x^3=a$ . Khác hẳn căn bậc hai: hàm lập phương là một hàm đơn điệu tăng trên toàn bộ tập số thực — mỗi số âm, số 0, hay số dương đều có đúng một số lập phương bằng nó, nên không có chuyện "hai căn bậc ba" như "hai căn bậc hai", và cũng không cần khái niệm "căn bậc ba số học" riêng. Đây là lý do vì sao căn bậc ba dễ làm việc hơn căn bậc hai ở một mặt: em không bao giờ phải lo lắng về điều kiện xác định của nó, vì nó luôn xác định — dù số dưới dấu căn là số dương, số âm hay bằng 0.

Với MỌI số thực $a$ (không cần điều kiện gì), **căn bậc ba** của $a$, ký hiệu $\sqrt[3]{a}$, là số $x$ duy nhất sao cho $x^3=a$. Khác hẳn căn bậc hai: hàm lập phương là một hàm đơn điệu tăng trên toàn bộ tập số thực — mỗi số âm, số 0, hay số dương đều có đúng một số lập phương bằng nó, nên không có chuyện "hai căn bậc ba" như "hai căn bậc hai", và cũng không cần khái niệm "căn bậc ba số học" riêng. Đây là lý do vì sao căn bậc ba dễ làm việc hơn căn bậc hai ở một mặt: em không bao giờ phải lo lắng về điều kiện xác định của nó, vì nó luôn xác định — dù số dưới dấu căn là số dương, số âm hay bằng 0.

Vì hàm lập phương đơn điệu tăng trên $\mathbb R$ , phép so sánh giữ nguyên chiều với MỌI cặp số thực: $a<b \iff \sqrt[3]a<\sqrt[3]b$ (không cần $a,b\ge0$ như căn bậc hai). Hai quy tắc nhân, chia cũng có dạng tương tự như chương trước nhưng không kèm điều kiện dấu: $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]a\cdot\sqrt[3]b$ và $\sqrt[3]{a/b}=\sqrt[3]a/\sqrt[3]b$ (chỉ cần $b\ne0$ ) — đúng với mọi số thực a, b. Cách rút gọn bằng cách tách thừa số lập phương cũng làm y hệt như với căn bậc hai: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]2=3\sqrt[3]2$ , chỉ khác là ta tìm thừa số LẬP PHƯƠNG (như 8, 27, 64) thay vì thừa số chính phương.

Vì hàm lập phương đơn điệu tăng trên $\mathbb R$, phép so sánh giữ nguyên chiều với MỌI cặp số thực: $a<b \iff \sqrt[3]a<\sqrt[3]b$ (không cần $a,b\ge0$ như căn bậc hai). Hai quy tắc nhân, chia cũng có dạng tương tự như chương trước nhưng không kèm điều kiện dấu: $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]a\cdot\sqrt[3]b$ và $\sqrt[3]{a/b}=\sqrt[3]a/\sqrt[3]b$ (chỉ cần $b\ne0$) — đúng với mọi số thực a, b. Cách rút gọn bằng cách tách thừa số lập phương cũng làm y hệt như với căn bậc hai: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]2=3\sqrt[3]2$, chỉ khác là ta tìm thừa số LẬP PHƯƠNG (như 8, 27, 64) thay vì thừa số chính phương.

\sqrt[3]4 < \sqrt[3]5

vì

4<5

— phép so sánh giữ nguyên chiều dù không có điều kiện không âm như căn bậc hai.$\sqrt[3]4 < \sqrt[3]5$ vì $4<5$ — phép so sánh giữ nguyên chiều dù không có điều kiện không âm như căn bậc hai.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính căn bậc ba của một số dương, một số âm và một số thập phân

1
Tính $\sqrt[3]{8}$ , $\sqrt[3]{-27}$ và $\sqrt[3]{0,001}$ .
Tính $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[3]{-27}$ và $\sqrt[3]{0,001}$.
2
Vì $2^3=8$ nên $\sqrt[3]8=2$ .
Vì $2^3=8$ nên $\sqrt[3]8=2$.
3
Vì $(-3)^3=-27$ nên $\sqrt[3]{-27}=-3$ — khác hẳn căn bậc hai, số âm vẫn có căn bậc ba xác định.
Vì $(-3)^3=-27$ nên $\sqrt[3]{-27}=-3$ — khác hẳn căn bậc hai, số âm vẫn có căn bậc ba xác định.
4
Vì $0,1^3=0,001$ nên $\sqrt[3]{0,001}=0,1$ .
Vì $0,1^3=0,001$ nên $\sqrt[3]{0,001}=0,1$.
5
Vậy $\sqrt[3]8=2$ , $\sqrt[3]{-27}=-3$ , $\sqrt[3]{0,001}=0,1$ .
Vậy $\sqrt[3]8=2$, $\sqrt[3]{-27}=-3$, $\sqrt[3]{0,001}=0,1$.

Ví dụ

So sánh hai căn bậc ba

1
So sánh $\sqrt[3]5$ và $\sqrt[3]4$ .
So sánh $\sqrt[3]5$ và $\sqrt[3]4$.
2
Vì hàm lập phương đơn điệu tăng trên $\mathbb R$ , ta có $5>4 \iff \sqrt[3]5>\sqrt[3]4$ — không cần điều kiện $5,4\ge0$ như với căn bậc hai (dù ở đây cả hai đều dương).
Vì hàm lập phương đơn điệu tăng trên $\mathbb R$, ta có $5>4 \iff \sqrt[3]5>\sqrt[3]4$ — không cần điều kiện $5,4\ge0$ như với căn bậc hai (dù ở đây cả hai đều dương).
3
$\sqrt[3]5>\sqrt[3]4$ .
$\sqrt[3]5>\sqrt[3]4$.

Ví dụ

Nhân hai căn bậc ba của số âm

1
Tính $\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{-1}$ .
Tính $\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{-1}$.
2
$\sqrt[3]{-8}=-2$ (vì $(-2)^3=-8$ ); $\sqrt[3]{-1}=-1$ (vì $(-1)^3=-1$ ).
$\sqrt[3]{-8}=-2$ (vì $(-2)^3=-8$); $\sqrt[3]{-1}=-1$ (vì $(-1)^3=-1$).
3
$\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{-1}=(-2)\times(-1)=2$ .
$\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{-1}=(-2)\times(-1)=2$.
4
Vậy $\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{-1}=2$ — tích của hai căn bậc ba âm cho ra một số dương, khớp với quy tắc $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{(-8)\times(-1)}=\sqrt[3]8=2$ nếu tính gộp.
Vậy $\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{-1}=2$ — tích của hai căn bậc ba âm cho ra một số dương, khớp với quy tắc $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{(-8)\times(-1)}=\sqrt[3]8=2$ nếu tính gộp.

Ví dụ

So sánh hai biểu thức chứa căn bậc ba bằng cách lập phương hai vế

1
So sánh $2\sqrt[3]3$ và $\sqrt[3]{24}$ .
So sánh $2\sqrt[3]3$ và $\sqrt[3]{24}$.
2
Hai biểu thức có dạng khác nhau (một bên nhân với 2, một bên là căn bậc ba của một số nguyên), nên không thể so sánh ngay bằng mắt. Vì hàm lập phương đơn điệu tăng trên toàn bộ số thực, ta so sánh hai số bằng cách so sánh LẬP PHƯƠNG của chúng.
3
$(2\sqrt[3]3)^3=2^3\times(\sqrt[3]3)^3=8\times3=24$ . (1)
$(2\sqrt[3]3)^3=2^3\times(\sqrt[3]3)^3=8\times3=24$. (1)
4
$(\sqrt[3]{24})^3=24$ . (2)
$(\sqrt[3]{24})^3=24$. (2)
5
Từ (1) và (2): $(2\sqrt[3]3)^3=(\sqrt[3]{24})^3=24$ . Vì hàm lập phương đơn điệu tăng (một-một) trên $\mathbb R$ , hai lập phương bằng nhau kéo theo hai số ban đầu cũng bằng nhau.
Từ (1) và (2): $(2\sqrt[3]3)^3=(\sqrt[3]{24})^3=24$. Vì hàm lập phương đơn điệu tăng (một-một) trên $\mathbb R$, hai lập phương bằng nhau kéo theo hai số ban đầu cũng bằng nhau.
6
Vậy $2\sqrt[3]3=\sqrt[3]{24}$ — hai biểu thức này thực chất bằng nhau.
Vậy $2\sqrt[3]3=\sqrt[3]{24}$ — hai biểu thức này thực chất bằng nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn ghi " $\sqrt[3]{-27}$ không tồn tại" theo phản xạ từ căn bậc hai. Đó là điều SAI lớn nhất của bài này — căn bậc ba của một số âm luôn tồn tại và là một số âm, vì lập phương của một số âm cũng là số âm. Lỗi thứ hai: nhầm dấu khi tính lập phương của một số âm, ví dụ tính $(-3)^3=-27$ thành $27$ — nhớ rằng số mũ lẻ giữ nguyên dấu của cơ số, khác với số mũ chẵn. Một cách kiểm tra nhanh: nếu số dưới dấu căn bậc ba âm, kết quả bắt buộc phải âm; nếu dương, kết quả bắt buộc phải dương.

Nhiều bạn ghi \"$\sqrt[3]{-27}$ không tồn tại\" theo phản xạ từ căn bậc hai. Đó là điều SAI lớn nhất của bài này — căn bậc ba của một số âm luôn tồn tại và là một số âm, vì lập phương của một số âm cũng là số âm. Lỗi thứ hai: nhầm dấu khi tính lập phương của một số âm, ví dụ tính $(-3)^3=-27$ thành $27$ — nhớ rằng số mũ lẻ giữ nguyên dấu của cơ số, khác với số mũ chẵn. Một cách kiểm tra nhanh: nếu số dưới dấu căn bậc ba âm, kết quả bắt buộc phải âm; nếu dương, kết quả bắt buộc phải dương.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\sqrt[3]a$ xác định với MỌI số thực $a$ , không cần điều kiện dấu; phép so sánh, nhân, chia của căn bậc ba giữ nguyên dạng như căn bậc hai nhưng bỏ hết điều kiện không âm. Muốn so sánh hai biểu thức khác dạng, lập phương cả hai vế rồi so sánh kết quả — cách này luôn dùng được vì hàm lập phương đơn điệu tăng trên toàn bộ $\mathbb R$ .

$\sqrt[3]a$ xác định với MỌI số thực $a$, không cần điều kiện dấu; phép so sánh, nhân, chia của căn bậc ba giữ nguyên dạng như căn bậc hai nhưng bỏ hết điều kiện không âm. Muốn so sánh hai biểu thức khác dạng, lập phương cả hai vế rồi so sánh kết quả — cách này luôn dùng được vì hàm lập phương đơn điệu tăng trên toàn bộ $\mathbb R$.

Em đã có trọn bộ công cụ của cả hai loại căn thức. Hai bài ôn tập cuối khóa sẽ ghép chúng lại với nhau trong những biểu thức và bài toán tổng hợp đúng phong cách đề tuyển sinh vào lớp 10.